Поле элементарного тока и элементарный ток в магнитном поле

В разделе «Элементарный ток и его магнитный момент» нами была получена формула для векторного потенциала магнитного поля элементарного тока:

$$\overrightarrow{A}\left(\overrightarrow{r}\right)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{\overrightarrow{p_m}\times \overrightarrow{r}}{r^3}\left(1\right),$$

где $\overrightarrow{p_m}$ -- магнитный момент элементарного тока, $\overrightarrow{r}$ -- радиус -- вектор от витка с током до точки, в которой рассматривается поле.

Используя формулу (1) и определение векторного магнитного потенциала(2):

$$\overrightarrow{B}=rot\overrightarrow{A}\ (2)$$

применяя операцию rot к формуле (1) получаем формулу, определяющую магнитную индукцию элементарного замкнутого тока:

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\left\{\frac{3(\overrightarrow{p_m}\cdot \overrightarrow{r})\overrightarrow{r}}{r^5}-\frac{\overrightarrow{p_m}}{r^3}\right\}\left(3\right).$$

Элементарный ток в магнитном поле

Теперь выясним, каково поведение элементарного тока, если его поместить во внешнее магнитное поле. Допустим, что поле однородно ($\overrightarrow{B}=const$). Известно, что на подобный контур будет действовать сила Ампера, которая вычисляется в соответствии с одноимённым законом:

$$\overrightarrow{F}=\oint{I\left[\overrightarrow{dl}\overrightarrow{B}\right]}=I\left(\oint{dl}\right)\times \overrightarrow{B}\left(4\right),$$

где силу тока и вектор магнитной индукции вследствие их постоянства вынесли за знак интеграла. При этом мы помним, что имеем дело с векторным произведением. Интеграл:

$$\oint{dl}=0\ \left(5\right).$$

Формула (5) справедлива для контуров любой формы и при любом расположении контура относительно направления линий поля. Получаем, что в однородном магнитном поле результирующая сила равна нулю ($\overrightarrow{F}=0,\ при\ \overrightarrow{B}=const$).

Вращающий момент ($\overrightarrow{M}$), создаваемый силами, которые приложены к контуру относительно некоторой точки О, в однородном магнитном поле равен:

$$\overrightarrow{M}=\left[\overrightarrow{p_m}\overrightarrow{B}\right](6),$$

где $\overrightarrow{p_m}$=I$\overrightarrow{S}=IS\overrightarrow{n}$ -- магнитный момент элементарного контура, $\overrightarrow{n}$ -- положительная нормаль к контуру. Модуль $\overrightarrow{M}$ равен:

$$М=p_mBsin\alpha \ \left(7\right),$$

где $\alpha$ -- угол между векторами$\overrightarrow{{\ p}_m}$ и $\overrightarrow{B}$.

Если $\overrightarrow{p_m}\uparrow \uparrow \overrightarrow{B}$ магнитные силы, которые действуют на отдельные участки контура, не пытаются ни повернуть, ни сдвинуть контур. Они пытаются его только растянуть в его плоскости. В случае $\overrightarrow{p_m}\uparrow \downarrow \overrightarrow{B}$ магнитные силы сжимают контур с током.

Если надо увеличить угол между векторами индукции магнитного поля и вектором магнитного момента элементарного тока на $d\alpha \ $надо совершить работу против сил магнитного поля равную:

$$dA=Md\alpha =p_mBsin\alpha \ d\alpha \ \left(8\right).$$

Работа (8) идет на увеличении потенциальной энергии $W_{pmeh}$, которую имеет контур с током в магнитном поле:

$${dW}_{pmeh}=p_mBsin\alpha \ d\alpha \ \left(9\right).$$

Найдем интеграл от (9), получим:

$$W_{pmeh}={-p}_mBcos\alpha +const\left(10\right).$$

Допустим, что в (10) $const$=0, в таком случае имеем:

$$W_{pmeh}={-p}_mBcos\alpha ={-\overrightarrow{p}}_m\overrightarrow{B}\left(11\right).$$

Если векторы ${\overrightarrow{p}}_m\ и\ \overrightarrow{B}$ ориентированы параллельно, то мы имеем минимум потенциальной энергии, то есть положение устойчивого равновесия. Величина $W_{pmeh}$- это не полная потенциальная энергия контура с током, а только та ее часть, которая обусловлена вращательным моментом.