Плотность вероятности
В квантовой механике состояние микрочастиц описывают при помощи волновой функции $\Psi(\overrightarrow{r},t)$. Она является основным носителем информации о свойствах частиц. Вероятность ($dP$) нахождения частицы в элементе, который имеет объем $dV=dxdydz$ около точки с координатами $(x,y,z)$:
где величина равная:
называется плотностью вероятности. Она определяет вероятность того, что частица находится в единичном объеме в окрестности точки ($x,y,z$). Физический смысл имеет не сама волновая функция, квадрат ее модуля (${\left|\Psi\right|}^2$).
Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V по теореме о сложении вероятности равна:
Так как величина ${\left|\Psi\right|}^2dV$ определена как вероятность, волновую функцию следует нормировать. Вероятность достоверного события должна быть равна единице, если в качестве объема ($V=\infty )$ принимать все пространство. Это означает, что при данном условии частица находится в пространстве, где -- либо. Условие нормировки вероятности записывается как:
Интеграл в выражении (1) вычисляется по всему пространству. Условие (4) отражает факт объективного существования частицы во времени и пространстве.
Так, например, величина ${\left|\Psi(x)\right|}^2$ определяет плотность вероятности нахождения частицы в точке $x$ для одномерного движения. Следовательно, среднее значение координаты частицы можно найти как:
Плотность потока вероятности
Найдем производную по времени ($\frac{d}{dt}$) от вероятности нахождения частицы в объеме $V$, то есть:
В классической физике функцией Гамильтона ($H\left(\overrightarrow{r},\overrightarrow{p}\right)$) называют полную энергию, которая выражена через импульсы и координаты частицы. Для одной частицы полная энергия равна:
В квантовой механике функции Гамильтона соответствует оператор. Он получится, если в выражение (7) вместо вектора импульса подставить оператор $\hat{p}$, равный:
То есть имеем:
Используя выражение (9), запишем:
Получаем, применяя (10):
Применим тождество:
Получаем:
где вектор $\overrightarrow{j}$ равен выражению:
По теореме Гаусса имеем:
Из выражения (15) видно, что вектор $\overrightarrow{j}$ может быть назван вектором плотности потока вероятности (плотность потока). Интеграл от данного вектора по поверхности $S$ - вероятность того, что частица за единицу времени пересечет выделенную поверхность. Вектор плотности потока вероятности и плотность вероятности удовлетворяют уравнению:
Уравнение (16) можно назвать аналогом уравнения непрерывности в классической физике.
Задание: Собственная волновая функция частицы, которая находится в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике, равна: $\Psi\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{l}}{\sin \left(\frac{\pi nx}{l}\right)\ }\left(n=1,2,3,\dots \right),$ где $l$ -- длина ящика, $x$ -- координата ($0
Решение:
Вероятность ($dP$) нахождения частицы в интервале $dx$ определим, используя плотность вероятности ${\left|\Psi\right|}^2$ и выражение (для одномерного случая):
\[dP={\left|\Psi\right|}^2dx\left(1.1\right).\]Следовательно, сама вероятность будет найдена как:
\[P=\int\limits^{\frac{l}{3}}_0{{\left|\Psi\right|}^2dx\left(1.2\right)}.\]Если частица находится в основном состоянии, то для нее $n=1$. Используем волновую функцию, заданную в условиях, подставим ее в интеграл (1.2), получим:
\[P=\int\limits^{\frac{l}{3}}_0{{\left(\sqrt{\frac{2}{l}}{sin \left(\frac{\pi x}{l}\right)\ }\right)}^2dx=\frac{2}{l}\int\limits^{\frac{l}{3}}_0{{\left({sin \left(\frac{\pi x}{l}\right)\ }\right)}^2dx}\left(1.3\right).}\]Применим тригонометрическую формулу:
\[{sin}^2\alpha =\frac{1-{\cos \left(2\alpha \right)\ }}{2}\left(1.4\right).\]Вычислим интеграл (1.3), получаем:
\[P=\frac{1}{l}\left[\int\limits^{\frac{l}{3}}_0{dx}-\int\limits^{\frac{l}{3}}_0{{\rm cos}\Psi(\frac{2\pi x}{l})dx}\right]=\frac{1}{l}\left[\frac{l}{3}-\frac{l}{2\pi }{\rm sin}\Psi(\frac{2\pi x}{l})\right]=\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4\pi }\approx 0,195.\]Ответ: $P=0,195.$
Задание: Частица находится в сферически симметричном потенциальном поле. Волновая функция некоторой частицы имеет вид: $\Psi\left(r\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi a}}\frac{e^{-\frac{r}{a}}}{r}$, где $r$ -- расстояние от частицы до силового центра, $a=const$. Каково среднее расстояние ($\left\langle r\right\rangle $) от частицы до силового центра.
Решение:
Используем формулу, для вычисления среднего значения величины, через плотность вероятности:
\[\left\langle r\right\rangle =\int{{\left|\Psi\left(r\right)\right|}^2rdV\left(2.1\right),}\]где $dV=4\pi r^2dr-\ $сферический слой с радиусами $r$ и $r+dr$.
В интеграл (2.1) подставим ${\left|\Psi\left(r\right)\right|}^2$, возьмем интеграл по частям, имеем:
\[\left\langle r\right\rangle =\frac{1}{2\pi a}\int\limits^{\infty }_0{\frac{e^{-2\frac{r}{a}}}{r^2}r4\pi r^2dr=\frac{2}{a}\int\limits^{\infty }_0{e^{-2\frac{r}{a}}\cdot rdr=\frac{a}{2}}(2.2)}.\]Ответ: $\left\langle r\right\rangle =\frac{a}{2}$.
