Плотность вероятности
В квантовой механике состояние микрочастиц описывают при помощи волновой функции Ψ(→r,t). Она является основным носителем информации о свойствах частиц. Вероятность (dP) нахождения частицы в элементе, который имеет объем dV=dxdydz около точки с координатами (x,y,z):
где величина равная:
называется плотностью вероятности. Она определяет вероятность того, что частица находится в единичном объеме в окрестности точки (x,y,z). Физический смысл имеет не сама волновая функция, квадрат ее модуля (|Ψ|2).
Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V по теореме о сложении вероятности равна:
Так как величина |Ψ|2dV определена как вероятность, волновую функцию следует нормировать. Вероятность достоверного события должна быть равна единице, если в качестве объема (V=∞) принимать все пространство. Это означает, что при данном условии частица находится в пространстве, где -- либо. Условие нормировки вероятности записывается как:
Интеграл в выражении (1) вычисляется по всему пространству. Условие (4) отражает факт объективного существования частицы во времени и пространстве.
Так, например, величина |Ψ(x)|2 определяет плотность вероятности нахождения частицы в точке x для одномерного движения. Следовательно, среднее значение координаты частицы можно найти как:
Плотность потока вероятности
Найдем производную по времени (ddt) от вероятности нахождения частицы в объеме V, то есть:
В классической физике функцией Гамильтона (H(→r,→p)) называют полную энергию, которая выражена через импульсы и координаты частицы. Для одной частицы полная энергия равна:
В квантовой механике функции Гамильтона соответствует оператор. Он получится, если в выражение (7) вместо вектора импульса подставить оператор ˆp, равный:
То есть имеем:
Используя выражение (9), запишем:
Получаем, применяя (10):
Применим тождество:
Получаем:
где вектор →j равен выражению:
По теореме Гаусса имеем:
Из выражения (15) видно, что вектор →j может быть назван вектором плотности потока вероятности (плотность потока). Интеграл от данного вектора по поверхности S - вероятность того, что частица за единицу времени пересечет выделенную поверхность. Вектор плотности потока вероятности и плотность вероятности удовлетворяют уравнению:
Уравнение (16) можно назвать аналогом уравнения непрерывности в классической физике.
Задание: Собственная волновая функция частицы, которая находится в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике, равна: Ψ(x)=√2lsin(πnxl) (n=1,2,3,…), где l -- длина ящика, x -- координата ($0
Решение:
Вероятность (dP) нахождения частицы в интервале dx определим, используя плотность вероятности |Ψ|2 и выражение (для одномерного случая):
dP=|Ψ|2dx(1.1).Следовательно, сама вероятность будет найдена как:
P=l3∫0|Ψ|2dx(1.2).Если частица находится в основном состоянии, то для нее n=1. Используем волновую функцию, заданную в условиях, подставим ее в интеграл (1.2), получим:
P=l3∫0(√2lsin(πxl) )2dx=2ll3∫0(sin(πxl) )2dx(1.3).Применим тригонометрическую формулу:
sin2α=1−cos(2α) 2(1.4).Вычислим интеграл (1.3), получаем:
P=1l[l3∫0dx−l3∫0cosΨ(2πxl)dx]=1l[l3−l2πsinΨ(2πxl)]=13−√34π≈0,195.Ответ: P=0,195.
Задание: Частица находится в сферически симметричном потенциальном поле. Волновая функция некоторой частицы имеет вид: Ψ(r)=1√2πae−rar, где r -- расстояние от частицы до силового центра, a=const. Каково среднее расстояние (⟨r⟩) от частицы до силового центра.
Решение:
Используем формулу, для вычисления среднего значения величины, через плотность вероятности:
⟨r⟩=∫|Ψ(r)|2rdV(2.1),где dV=4πr2dr− сферический слой с радиусами r и r+dr.
В интеграл (2.1) подставим |Ψ(r)|2, возьмем интеграл по частям, имеем:
⟨r⟩=12πa∞∫0e−2rar2r4πr2dr=2a∞∫0e−2ra⋅rdr=a2(2.2).Ответ: ⟨r⟩=a2.
