Комплексная форма представления величин, которые характеризуют электрические колебания
Используем комплексную форму представления величин изменяющихся по гармоническому закону. Рассматривать будем установившийся режим. Если внешнее напряжение, подаваемое на цепь, изменяется по закону:
то сила тока должна изменяться как:
надо заметить, что величины U,Um,I,Im в общем случае могут быть комплексными. Уравнение Ома для переменного тока в принятой форме обозначения имеет вид:
где импеданс Z=R+i(ωL−1ωC). В такой форме представления импеданс учитывает не только соотношение между амплитудами тока и напряжения, но и соотношение между их фазами. При этом:
Резонанс токов
В разветвленной цепи (рис.1) с двумя ветвями, одна из которых имеет индуктивность L, другая емкость (C) при равенстве ωL=1ωC наступает резонанс токов.
Допустим, что у нас имеется цепь, которая изображена на рис.1.
Рисунок 1.
Сила тока, которая течет в цепи, равна:
Запишем уравнение (5) в комплексном представлении:
Если
то получается, что сдвиг фаз между внешним напряжением и силой тока равен нулю. Разделим уравнение (7) на ω2LC, получим:
В том случае, если принять, что ωL≫R, то решением уравнения служит частота равная:
Частота ω0 называется резонансной частотой. При резонансной частоте импеданс максимален, а амплитуда силы тока минимальна. Однако силы тока на емкости и индуктивности не являются минимальными. Векторная диаграмма сил токов для контура рис.1 изображена на рис.2.
Рисунок 2.
В условиях приближения к резонансу диаграмма токов приобретает вид, который отображен на рис.3. При частоте, близкой к ω0 внутри контура циркулируют большие токи по сравнению с токами, которые подводят к данному контуру. Заряд внутри контура течет от емкости к индуктивности и наоборот. В контуре происходят колебания силы тока. В резонансе друг с другом находятся силы тока IC и IL. Они компенсируют друг друга. Такой резонанс называют резонансом токов.
Рисунок 3.
Контур рис.1 выступает как резонансная система, которая совершает вынужденные колебания, под воздействием внешней силы. Колебания тока первым рассмотрел Томсон в 1853 г.
Отсутствие в цепи (или приближенное равенство нулю) активного сопротивления говорит о том, что энергия, запасённая в контуре, не рассеивается.
Одним из элементов электронного генератора является колебательный контур в состоянии резонанса токов. Резонанс токов используют в полосно -- заграждающих фильтрах.
Задание: Объясните, что происходит с энергией в контуре с параллельными емкостью и индуктивностью (рис.1). Если считать, что активное сопротивление равно нулю.
Решение:
В течение первой четверти периода напряжение на конденсаторе от нуля увеличивается до максимума (UmC), при этом его энергия становится равна:
WmC=CUmC2(1.1).В течение следующей четверти периода напряжение на конденсаторе уменьшается до нуля. Происходит освобождение энергии электрического поля.
За первую четверть периода колебаний в контуре ток в катушке от ImL уменьшается до нуля .Происходит освобождение энергии магнитного поля. За вторую четверть периода ток в катушке увеличивается до ImL, энергия магнитного поля растет до величины:
WmL=LI2mL2(1.2).В течение первой четверти периода колебаний кинетическая энергия магнитного поля преобразуется в потенциальную энергию электрического поля, в течение следующей четверти периода идет обратный процесс. Обмен энергиями повторяется. При этом обмена энергией между контуром и источником питания нет, так как суммарный ток (ток в неразветвленной цепи равен нулю).
Задание: Чему равна ширина резонансной кривой, если в колебательный контур входят L, C?
Решение:
Ширина резонансной кривой (2△ω) определяется относительно квадрата амплитуды и ее можно определить как:
2△ω=ω0O(2.1)Резонансную частоту выразим как:
ω0=1√LC(2.2).Добротность контура O равна:
O=1R√LC(2.3).Подставим правые части выражений (2.2) и (2.3) в (2.1), получим:
2△ω=RL.Ответ: 2△ω=RL.