Эффективным (действующим) называют значение переменного тока равное величине эквивалентного постоянного тока, который при прохождении через такое же сопротивление, что и переменный ток выделяет на нем то же количество тепла за одинаковые промежутки времени.
Количественная связь амплитуд силы и напряжения переменного тока и эффективных значений
Количество тепла, которое выделяется переменным током на сопротивлении $R$ за малый промежуток времени $dt$, равно:
Тогда за один период переменный ток выделяет тепла ($W$):
Обозначим через $I_{ef}$ силу постоянного тока, который на сопротивлении $R$ выделяет такое же количество тепла ($W$), как и переменный ток $I$ за время равное периоду колебаний переменного тока ($T$). Тогда выразим $W$ через постоянный ток и приравняем выражение к правой части уравнения (2), имеем:
Выразим из уравнения (3) силу эквивалентного постоянного тока, получим:
Если сила тока изменяется по синусоидальному закону:
подставим выражение (5) для переменного тока в формулу (4), тогда величина постоянного тока выразится как:
Следовательно, выражение (6) может быть преобразовано к виду:
где $I_{ef}$ называют эффективным значением силы тока. Аналогично записывают выражения для эффективных (действующих) значений напряжений:
Применение действующих значений тока и напряжения
Когда в электротехнике говорят о силе переменного тока и напряжении, то имеют в виду их эффективные значения. В частности, вольтметры и амперметры градуируют обычно на эффективные значения. Следовательно, максимальное значение напряжения в цепи переменного тока примерно в 1,5 раза больше того, что показывает вольтметр. Этот факт следует учесть при расчете изоляторов, исследовании проблем безопасности.
Эффективные значения используют для характеристики формы сигнала переменного тока (напряжения). Так, вводят коэффициент амплитуды ($k_a$). равный:
и коэффициент формы ($k_f$):
где $I_{sr\ v}=\frac{2}{\pi }\cdot I_m$ --средневыпрямленное значение силы тока.
Для синусоидального тока $k_a=\sqrt{2},\ k_f=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}=1,11.$
Задание: Напряжение, которое показал вольтметр равно $U=220 В$. Какова амплитуда напряжения?
Решение:
Как было сказано, вольтметры и амперметры обычно градуируют на действующие значения напряжения (силу тока), следовательно, прибор показывает в наших обозначениях $U_{ef}=220\ В.$ В соответствии с известным соотношением:
\[U_{ef}=\frac{U_m}{\sqrt{2}}\left(1.1\right)\]найдем амплитудное значение напряжения, как:
\[U_m=\sqrt{2}U_{ef}.\]Вычислим:
\[U_m\approx 1,41\cdot 220=310,2\ \left(В\right).\]Ответ: $U_m\approx 310,2\ В.$
Задание: Как связана мощность переменного тока на сопротивлении $R$ и эффективные значения тока и напряжения?
Решение:
Среднее значение мощности переменного тока в цепи равно
\[\left\langle P\right\rangle =\frac{A_T}{T}=\frac{U_mI_mcos\varphi }{2}\left(2.1\right),\]где $cos\varphi $- коэффициент мощности, который показывает эффективность передачи мощности от источника тока к потребителю. С другой стороны средние мощности тока на отдельных элементах цепи $\left\langle P_{tC}\right\rangle =0,\left\langle P_{tL}\right\rangle =0,\left\langle P_{tR}\right\rangle =\frac{1}{2}{I^2}_mR,$ а результирующая мощность может быть найдена как сумма мощностей:
\[\left\langle P\right\rangle =\left\langle P_{tC}\right\rangle +\left\langle P_{tL}\right\rangle +\left\langle P_{tR}\right\rangle \left(2.2\right).\]Следовательно, можно записать, что:
\[\left\langle P\right\rangle =P_{tR}=\frac{1}{2}{I^2}_mR=\frac{U_mI_mcos \varphi}{2}\left(2.3\right),\]где $I_m\ $- амплитуда силы тока, $U_m$ -- амплитуда внешнего напряжения, $\varphi$ -- разность фаз между силой тока и напряжением.
У постоянного тока мгновенная мощность совпадает со средней. Для $I_{ef}$=const можно положить $cos\varphi =1,\ $значит формулу (2.3) можно записать как:
\[P=I_{ef}U\ \left(2.4\right),\]если вместо амплитудных значений ($U_m\ и\ I_m$) использовать их эффективные (действующие) значения:
\[I_{ef}=\frac{I_m}{\sqrt{2}},\ U_{ef}=\frac{U_m}{\sqrt{2}}\left(2.5\right).\]Следовательно, мощность тока можно записать как:
\[P_{tR}=U_{ef}I_{ef}cos \varphi \left(2.6\right),\]где $cos \varphi$ -- коэффициент мощности. В технике этот коэффициент делают как можно большим. При малом $cos\varphi $ для того, чтобы в цепи выделялась необходимая мощность нужно пропускать большой ток, что ведет к росту потерь в подводящих проводах.
Такую же мощность (как в выражении (2.3)) развивает постоянный ток, сила которого представлена в формуле (2.5).
Ответ: $P_{tR}=U_{ef}I_{ef}cos\varphi .$
