Стоячие световые волны
Допустим, что монохроматические волны могут интерферировать, при этом распространяются они навстречу друг другу, в такой ситуации образуются стоячие волны. В электромагнитной стоячей волне существует возможность пространственного разделения электрического и магнитного полей. Что позволяет исследовать их свойства по отдельности.
Свет действует на вещество силами, которые действуют на электроны со стороны электрических и магнитных полей. Первая из этих сил, равная →FE=qe→E, вторая - →FL=qe[→v→B], →v - скорость электрона, qe - его заряд. Магнитная сила существенно меньше электрической, поэтому считается, что электрический вектор в световой волне более важен, иногда его даже называют световым.
Получить стоячие световые волны долго не удавалось в связи с малой длинной волны. Первым получил стоячие световые волны О. Винер в 1890 г.
Колебания вектора напряженности электрического поля в стоячей световой волне
Изучим суперпозицию 2 монохроматических волн, имеющих одинаковые частоты (ω), которые «движутся» навстречу друг другу. Пусть векторы напряженности электрических полей (→E) заданных волн имеют одинаковую амплитуду (E0) и совершают колебания параллельно оси X. При этом сами волны распространяются вдоль оси Z. В такой ситуации уравнения колебаний для векторов напряженности электрических полей волн запишем:
где знак минус около произведения kz означает то, что волна E1 распространяется по оси Z, знак плюс говорит о том, что волна E2 распространяется против оси Z. δ - сдвиг фаз. В результате появляется суммарная волна, которая подчиняется принципу суперпозиции, ее напряженность равна:
Волна, представленная выражением (3) бегущей не является, так как не имеет характерного для бегущей световой волны множителя вида t±zc. При этом выражение 2E0cos(2kz+δ2) можно принять (с точностью до знака) за изменяющуюся по гармоническому закону амплитуду колебаний напряженности поля волны. Напряженность во всех точках меняется с одинаковой частотой и в одной фазе, что показывает множитель cos(2ωt+δ2) . Выражение (3) - уравнение стоячей волны.
В точках на оси Z, которые удовлетворяют условию:
напряженность E≡0. Эти точки называют узлами.
Точки, в которых выполняется равенство:
называют пучностями, в них амплитуда напряженности поля максимальна. Расстояние между узлами (минимумами) (пучностями (максимумами)) (△z) получают из условия:
и оно равно λ2бегущей волны:
Различие между стоячей волной и бегущей в том, что во всех точках стоячей волны колебания напряженности электрического поля в момент времени t происходят в одной фазе. Для бегущей волны фазы колебаний →E не совпадают. Так, у стоячей волны существует момент времени, в который напряженность E во всех точках оси Z становится равной нулю.
Колебания вектора магнитной индукции в стоячей световой волне
Вектор магнитной индукции (→B) полей волн, как и вектор →E можно найти, используя принцип суперпозиции. Как известно, векторы →E, →B, →k волны образуют правую винтовую тройку векторов, тогда, если волны распространяется вдоль оси Z, векторы →B1 и →B2 можно выразить, используя формулы (1) и (2) как:
Знак минус в правой части выражения (9) учитывает то, что правовинтовая тройка векторов составляется вектором →E по направлению оси X, вектором →В в против направления оси Y, волновым вектором в отрицательном направлении оси Z. Индукция результирующего поля двух световых волн будет:
Выражение (10) показывает, что →В образует стоячую волну, узлы которой совпадают с пучностями стоячей волны →E. Как известно, векторы →E и →В лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях.
При сравнении выражений (3) и (10) можно сделать вывод о том, что колебания во времени электрического и магнитного полей в стоячей световой волне различаются по фазе на 14 периода.
Энергия в стоячей световой волне
Плотность потока энергии определяет вектор Умова - Пойнтинга (→P):
Значит, в точках, где →E=0 или →H=0 (узлы и пучности) потока энергии нет, так как пучность напряженности →E совпадает узлом →H (узлом →B) и наоборот. Получается, что энергия в течение некоторого времени перемещается между соседними узлами и пучностями, переходя из энергии магнитного поля в энергию электрического поля и обратно. То есть энергия стоячей волны, находящаяся между соседними узлами и пучностями не сохраняется во времени.
Задание: Определите координаты пучностей для электрического вектора →E стоячей плоской световой волны, если она образуется как суперпозиция двух плоских монохроматических световых волн, имеющих амплитуды E0, распространяющихся вдоль оси X в противоположных направлениях. Считайте, что начальные фазы волн равны нулю.
Решение:
Запишем уравнения колебаний вектора →E в волнах, которые описаны в задаче по оси:
E1=E0cos(ωt−kx) (1.1),волна, движущая против оси:
E2=E0cos(ωt+kx) (1.2),Сумма этих волн будет выглядеть как:
E=E1+E2=E0cos(ωt−kx) +E0cos(ωt+kx) =2E0cos2πxλcosωt(1.3).Условие возникновения пучностей в результирующей волне:
2πxλ=±mπ(1.4).Соответственно, координатами пучностей станут:
xmax=±mλ2 (m=0,1,2…).Ответ: xmax=±mλ2 (m=0,1,2…).
Задание: Определите координаты узлов для магнитного вектора →H стоячей плоской волны, если она образуется как суперпозиция двух плоских монохроматических световых волн, имеющих амплитуды H0, распространяющихся вдоль оси X в противоположных направлениях. Считайте, что начальные фазы волн равны нулю.
Решение:
Запишем уравнения колебаний вектора →H в волнах, которые описаны в задаче по оси:
H1=H0cos(ωt−kx) (2.1),волна, движущая против оси:
H2=−H0cos(ωt+kx) (2.2),Сумма этих волн будет выглядеть как:
H=H1+H2=H0cos(ωt−kx) −H0cos(ωt+kx) =H0{cos(ωt−kx) −cos(ωt+kx) }=−2H0sin((ωt+kx)sin(−kx) ) =2H0sin((ωt)sin(kx) ) =2H0sin(ωt)sin(2πλx) (2.3).Условия минимумов (узлов) запишем следующим образом:
2πλx=±mπ(2.4).Соответственно координаты узлов будут:
xmin=±mλ2(m=0,1,2…).Ответ: xmin=±mλ2(m=0,1,2…). Исходя из полученных результатов примера 1 и примера 2, можно сделать вывод том, что пучности →E совпадают с узлами →H.