Соотношение скорости света в веществе и в вакууме
Электромагнитные волны, имеющие длины волн в диапазоне (приблизительно) 380 нмсветом.Светвоспринимаетсяглазомчеловека.Онпроходитчерезпрозрачныевеществабеззаметногоуменьшенияамплитудыэлектромагнитныхколебаний.ЭлектромагнитныеволныописываютсяспомощьюсистемыуравненийМаксвелла.Дляобластиполя,котораянесодержитсвободныхзарядовитоков(\overrightarrow{j}=0,\ \rho =0$) волновые уравнения для векторов →B и →E имеют вид:
△→B−εμc2∂2→B∂t2=0(1),Уравнения (1) и (2) - это обычные уравнения волнового движения, которые обозначают, что световые волны распространяются в однородной изотропной среде со скоростью (v) равной:
v=c√εμ=1√εμε0μ0=cn(3),где n -- показатель преломления диэлектрика.
Само понятие скорости электромагнитной волны имеет определенный смысл лишь в связи с волнами простого вида, например, плоскими. Скорость v не является скоростью распространения волны в случае произвольного решения уравнений (1) и (2), так как эти уравнения допускают решения в виде стоячих волн.
Рассматриваемая нами скорость является фазовой скоростью. Строго говоря, мы имеем дело со скоростью перемещения фазы волны. Фазовую скорость определяют как:
v=ωk(4),где ω -- циклическая частота волны, k=2πλ -- волновое число.
Для большинства прозрачных веществ можно считать μ≈1. В таком случае выражение, определяющее скорость света в диэлектрике будет равна:
Для больших частот, которыми характеризуется видимый свет диэлектрическая проницаемость среды (ε), в общем случае зависима от частоты (ν), то есть не является постоянной величиной, как это считалось в электростатике. Следуя выражению (2) надо сделать вывод, что скорость распространения свет в веществе также зависит от частоты. Зависимость скорости волн в веществе от частоты называют дисперсией.
Зависимость скорости света в диэлектрике от частоты колебаний
Явление дисперсии, прежде всего, объясняется поляризацией молекул вещества, при прохождении в нем световой волны, как следствия взаимодействия частиц вещества с электрическим полем (→E) электромагнитной волны. Поляризованность среды пропорциональна напряженности электрического поля. Уравнение вынужденных упругих колебаний электрона (здесь k−коэфиициент упругости) в этом явлении можно записать как (мы всегда помним, что физический смысл имеет только реальная часть выражения, даже если для удобства вычислений используем формулы в комплексной форме):
Решением уравнения (6) является выражение вида:
Учитывая, что:
Подставим (7) в уравнение (6), имеем:
Пусть концентрация электронов N, диэлектрическая восприимчивость вещества ϰ, поляризация вещества Pm, тогда можно записать, что:
где p0=qexm -- индуцированный дипольный момент. Выразим коэффициент ϰ из формулы (9), получим:
Для однородной, изотропной среды диэлектрическая восприимчивость ϰ связана с диэлектрической проницаемостью вещества (ε) выражением:
Следовательно, выражение для диэлектрической проницаемости с учетом ее зависимости от частоты световой волны примет вид:
Из выражения (12) следует, что ε может быть как больше, так меньше единицы или вовсе меньше нуля.
Тогда скорость света в веществе, применяя выражения (5) и (12) можно записать как:
В некоторых веществах электроны в атомах имеют разные собственные частоты (ω0k), отличаться могут их концентрации (Nk), этом случае выражение для фазовой скорости распространения света в диэлектрике можно представить:
Скорость распространения света в движущемся диэлектрике
Допустим, что однородный, изотропный диэлектрик движется со скоростью →u. Пусть свет распространяется вдоль осиZ, направление скорости →u совпадает с движением волны. |→u|=±uz. В таком случае, скорость света в перемещающемся диэлектрике будет равна:
Формула (15) справедлива для случая произвольного угла между направлением вектора скорости вещества и направлением распространения волны.
Задание: Каков максимальный модуль скорости вынужденных колебаний свободного электрона, если в точке, где находится этот электрон источник света частотой ν, создает электромагнитное поле, в котором амплитуда электрического поля - Em. Действием магнитной составляющей поля пренебречь.
Решение:
Уравнение вынужденных колебаний электрона запишем как:
¨x+ω0x=qeEmmecos(ωt)(1.1).Решением данного уравнения служит выражение:
x=xmcos(ωt) (1.2),где:
ω=2πν(1.3).Подставим (1.2) в уравнение колебаний (1.1), получим:
−xmω2cos(ωt) +ω0xmcos(ωt) =qeEmmecos(ωt) .Получаем, что xm:
xm=qeEm(ω0−ω2)me=−qeEmω2me (при ω0=0)(1.4).Тогда скорость может быть найдена как:
v=dxdt=−xmωsin(ωt) =qeEmωω2mesin(ωt)= qeEmωmesin(ωt) (1.5)Из (1.4) следует, что |vmax| равна:
|vmax|=qeEm2πνme.Ответ: |vmax|=qeEm2πνme.
Задание: Чему равна скорость света в белом алмазе, если показатель преломления его равен 2,4 для длины волны равной 589 нм.
Решение:
Используя значение показателя преломления, найдем скорость света в веществе, применяя формулу:
v=cn(2.1),где c=3⋅108мс -- скорость света в вакууме. Проведем вычисления:
v=3⋅1082,4=1,25⋅108(мс).Ответ: v=1,25⋅108мс.
