Соотношение скорости света в веществе и в вакууме
Электромагнитные волны, имеющие длины волн в диапазоне (приблизительно)$\ 380\ нмсветом. Свет воспринимается глазом человека. Он проходит через прозрачные вещества без заметного уменьшения амплитуды электромагнитных колебаний. Электромагнитные волны описываются с помощью системы уравнений Максвелла. Для области поля, которая не содержит свободных зарядов и токов ($\overrightarrow{j}=0,\ \rho =0$) волновые уравнения для векторов $\overrightarrow{B}$ и $\overrightarrow{E}$ имеют вид:
\[\triangle \overrightarrow{B}-\frac{\varepsilon \mu }{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{B}}{\partial t^2}=0\left(1\right),\] \[\triangle \overrightarrow{E}-\frac{\varepsilon \mu }{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=0\left(2\right).\]Уравнения (1) и (2) - это обычные уравнения волнового движения, которые обозначают, что световые волны распространяются в однородной изотропной среде со скоростью ($v$) равной:
\[v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon \mu }}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu {\varepsilon }_0{\mu }_0}}=\frac{c}{n}\left(3\right),\]где $n$ -- показатель преломления диэлектрика.
Само понятие скорости электромагнитной волны имеет определенный смысл лишь в связи с волнами простого вида, например, плоскими. Скорость $v$ не является скоростью распространения волны в случае произвольного решения уравнений (1) и (2), так как эти уравнения допускают решения в виде стоячих волн.
Рассматриваемая нами скорость является фазовой скоростью. Строго говоря, мы имеем дело со скоростью перемещения фазы волны. Фазовую скорость определяют как:
\[v=\frac{\omega }{k}\left(4\right),\]где $\omega $ -- циклическая частота волны, $k=\frac{2\pi }{\lambda }$ -- волновое число.
Для большинства прозрачных веществ можно считать $\mu \approx 1$. В таком случае выражение, определяющее скорость света в диэлектрике будет равна:
Для больших частот, которыми характеризуется видимый свет диэлектрическая проницаемость среды ($\varepsilon $), в общем случае зависима от частоты ($\nu $), то есть не является постоянной величиной, как это считалось в электростатике. Следуя выражению (2) надо сделать вывод, что скорость распространения свет в веществе также зависит от частоты. Зависимость скорости волн в веществе от частоты называют дисперсией.
Зависимость скорости света в диэлектрике от частоты колебаний
Явление дисперсии, прежде всего, объясняется поляризацией молекул вещества, при прохождении в нем световой волны, как следствия взаимодействия частиц вещества с электрическим полем ($\overrightarrow{E}$) электромагнитной волны. Поляризованность среды пропорциональна напряженности электрического поля. Уравнение вынужденных упругих колебаний электрона (здесь $k-коэфиициент\ упругости$) в этом явлении можно записать как (мы всегда помним, что физический смысл имеет только реальная часть выражения, даже если для удобства вычислений используем формулы в комплексной форме):
Решением уравнения (6) является выражение вида:
Учитывая, что:
Подставим (7) в уравнение (6), имеем:
Пусть концентрация электронов $N$, диэлектрическая восприимчивость вещества $\varkappa $, поляризация вещества $P_m$, тогда можно записать, что:
где ${p_0=q}_ex_m$ -- индуцированный дипольный момент. Выразим коэффициент $\varkappa $ из формулы (9), получим:
Для однородной, изотропной среды диэлектрическая восприимчивость $\varkappa $ связана с диэлектрической проницаемостью вещества ($\varepsilon $) выражением:
Следовательно, выражение для диэлектрической проницаемости с учетом ее зависимости от частоты световой волны примет вид:
Из выражения (12) следует, что $\varepsilon $ может быть как больше, так меньше единицы или вовсе меньше нуля.
Тогда скорость света в веществе, применяя выражения (5) и (12) можно записать как:
В некоторых веществах электроны в атомах имеют разные собственные частоты (${\omega }_{0k}$), отличаться могут их концентрации $(N_k)$, этом случае выражение для фазовой скорости распространения света в диэлектрике можно представить:
Скорость распространения света в движущемся диэлектрике
Допустим, что однородный, изотропный диэлектрик движется со скоростью $\overrightarrow{u}$. Пусть свет распространяется вдоль $оси Z$, направление скорости $\overrightarrow{u}$ совпадает с движением волны. $\left|\overrightarrow{u}\right|=\pm u_z$. В таком случае, скорость света в перемещающемся диэлектрике будет равна:
Формула (15) справедлива для случая произвольного угла между направлением вектора скорости вещества и направлением распространения волны.
Задание: Каков максимальный модуль скорости вынужденных колебаний свободного электрона, если в точке, где находится этот электрон источник света частотой $\nu $, создает электромагнитное поле, в котором амплитуда электрического поля - $E_m.$ Действием магнитной составляющей поля пренебречь.
Решение:
Уравнение вынужденных колебаний электрона запишем как:
\[\ddot{x}+{\omega }_0x=\frac{q_eE_m}{m_e}cos(\omega t)\left(1.1\right).\]Решением данного уравнения служит выражение:
\[x=x_mco{s \left(\omega t\right)\ }\left(1.2\right),\]где:
\[\omega =2\pi \nu \left(1.3\right).\]Подставим (1.2) в уравнение колебаний (1.1), получим:
\[-x_m{\omega }^2co{s \left(\omega t\right)\ }+{\omega }_0x_mco{s \left(\omega t\right)\ }=\frac{q_eE_m}{m_e}{cos \left(\omega t\right)\ }.\]Получаем, что $x_m$:
\[\ \ x_m=\frac{q_eE_m}{\left({\omega }_0-{\omega }^2\right)m_e}=-\frac{q_eE_m}{{\omega }^2m_e}\ \left(при\ {\omega }_0=0\right)(1.4).\]Тогда скорость может быть найдена как:
\[v=\frac{dx}{dt}=-x_m\omega {sin \left(\omega t\right)\ }={\frac{q_eE_m\omega }{{\omega }^2m_e}sin \left(\omega t\right)=\ }{\frac{q_eE_m}{{\omega m}_e}sin \left(\omega t\right)\ }\left(1.5\right)\]Из (1.4) следует, что $\left|v_{max}\right|$ равна:
\[\left|v_{max}\right|=\frac{q_eE_m}{2 \pi \nu m_e}.\]Ответ: $\left|v_{max}\right|=\frac{q_eE_m}{2\pi \nu m_e}.$
Задание: Чему равна скорость света в белом алмазе, если показатель преломления его равен $2,4$ для длины волны равной $589\ нм.$
Решение:
Используя значение показателя преломления, найдем скорость света в веществе, применяя формулу:
\[v=\frac{c}{n}\left(2.1\right),\]где $c=3\cdot {10}^8\frac{м}{с}$ -- скорость света в вакууме. Проведем вычисления:
\[v=\frac{3\cdot {10}^8}{2,4}=1,25\cdot {10}^8\left(\frac{м}{с}\right).\]Ответ: $v=1,25\cdot {10}^8\frac{м}{с}.$
