Плотность энергии, которую переносят электромагнитные волны
Электромагнитные волны переносят энергию. Ее объемную плотность (w) составляют электрическое и магнитное поля, то есть:
где wE -- плотность энергии электрического поля, wm -- плотность энергии магнитного поля. При этом известно, что:
Для электромагнитной волны выполняется соотношение для мгновенных значений E и H:
Из выражений (2) и (3), получается, что:
Иначе можно записать:
Из теории Максвелла следует вывод о том, что если тело полностью поглощает падающую на него перпендикулярно волну, то давление (p), которое она производит равно среднему значению объемной плотности энергии в данной волне:
Плотность импульса электромагнитной волны
При поглощении в веществе какого-нибудь тела электромагнитная волна оказывает на это тело давление, то есть сообщает ему импульс. Если обозначить плотность импульса как →G, то его можно определить, используя вектор Умова -- Пойнтинга (→P):
Пусть плоская волна падает перпендикулярно на плоскую поверхность тела. Положим, что ε=1, μ=1 плохо проводящего тела. Электрическое поле волны будет возбуждать в теле ток, плотность которого (→j):
σ -- удельная проводимость вещества. Магнитное поле волны действует на данный ток с удельной силой (→Fu) (силой на единицу объема):
Направление →Fu совпадает с направлением распространения волны.
При этом поверхностному слою тела толщиной △l, единичной площади волной сообщается импульс за 1с, (→j⊥→H) равный:
В том же слое за 1с поглощается энергия:
которая выделяется потом, как тепло. Найдем отношение импульса (10) к энергии (11), имеем:
Воспользуемся выражением (3) при ε=1, μ=1, получим:
Подставим (13) в формулу (13):
Из выражения (14) следует, что электромагнитная волна, обладающая энергией W, имеет импульс (G):
Из формулы (15) получаем, что плотность импульса (Gu) -- импульс единицы объема равен:
Воспользовавшись вектором Умова -- Пойнтинга, можно выражение (16) представить как:
В формуле (17) учтено, что направление вектора импульса электромагнитной волны имеет такое же направление, что и вектор Умова -- Пойнтинга.
Задание: Какое давление (p), производит плоская электромагнитная волна на тело? Она распространялась в вакууме, вдоль осиX, падает на тело перпендикулярно, поглощается полностью. Амплитуда напряженности магнитного поля равна Hm.
Решение:
В качестве основы для решения задачи примем вывод из теории Максвелла о том, что, если волна падает на тело перпендикулярно его поверхности и полностью поглощается, то:
p=⟨w⟩(1.1),где ⟨w⟩ -- средняя объемная плотность энергии электромагнитной волны.
Уравнения колебаний модулей векторов напряженностей электрического и магнитного полей запишем в соответствии с гармоническими законами:
E=Emcos(ωt−kx) (1.2),Плотность энергии электромагнитного поля (w) является суммой плотности электрического поля (wE) и плотности магнитного поля (wH):
w=wE+wH(1.4),где:
wE=εε0E22, wm=μμ0H22(1.5).При этом для электромагнитной волны мы имеем соотношение между мгновенными значениями характеристик полей:
√εε0E=√μμ0H(1.6).Следовательно, можем записать следующее:
w=2wm=2wE=μμ0H2(1.7).Используем выражение (1.3), подставив вместо H выражение, которое находится в правой части, получим:
w=μμ0Hm2cos2(ωt−kx)(1.8).Найдем среднее от объемной плотности энергии электромагнитной волны, получим:
⟨w⟩=⟨μμ0Hm2cos2(ωt−kx) ⟩(1.9).Примем во внимание, что:
⟨cos2(ωt−kx) ⟩=12(1.10).Тогда формула (1.9) будет переписана как:
⟨w⟩=μμ0Hm22→p=μμ0Hm22.Ответ: p=μμ0Hm22, где μ=1 .
Задание: Чему равна средняя (по времени) плотность импульса электромагнитной волны (⟨Gu⟩)? Если электромагнитная волна плоская, распространяется в вакууме по оси X, амплитуда ее магнитного поля равна Hm.
Решение:
За основу решения задачи примем формулу:
→Gu=1c2[→E→H]→Gu=1c2EH→⟨Gu⟩=1c2⟨EH⟩(2.1).Используя соотношение:
√ε0Em=√μ0Hm(2.2)найдем амплитуду электрического поля:
Em=√μ0ε0Hm(2.3).Уравнения колебаний модулей векторов напряженностей электрического и магнитного полей запишем в соответствии с гармоническими законами:
E=Emcos(ωt−kx) (2.4),Подставим выражения (2.3), (2.4) и (2.5) в формулу (2.1), получим:
⟨Gu⟩=1c2⟨Hmcos(ωt−kx)√μ0ε0Hmcos(ωt−kx) ⟩=1c2√μ0ε0Hm2⟨cos2(ωt−kx) ⟩=12c2√μ0ε0Hm2=12c2√4π⋅10−714π⋅9⋅109Hm2=4π⋅3⋅102c2Hm2=60πc2Hm2.Ответ: ⟨Gu⟩=60πc2Hm2.
