Плотность энергии, которую переносят электромагнитные волны
Электромагнитные волны переносят энергию. Ее объемную плотность ($w$) составляют электрическое и магнитное поля, то есть:
где $w_E$ -- плотность энергии электрического поля, $w_m$ -- плотность энергии магнитного поля. При этом известно, что:
Для электромагнитной волны выполняется соотношение для мгновенных значений $E$ и $H$:
Из выражений (2) и (3), получается, что:
Иначе можно записать:
Из теории Максвелла следует вывод о том, что если тело полностью поглощает падающую на него перпендикулярно волну, то давление ($p$), которое она производит равно среднему значению объемной плотности энергии в данной волне:
Плотность импульса электромагнитной волны
При поглощении в веществе какого-нибудь тела электромагнитная волна оказывает на это тело давление, то есть сообщает ему импульс. Если обозначить плотность импульса как $\overrightarrow{G}$, то его можно определить, используя вектор Умова -- Пойнтинга ($\overrightarrow{P}$):
Пусть плоская волна падает перпендикулярно на плоскую поверхность тела. Положим, что $\varepsilon =1,\ \mu =1$ плохо проводящего тела. Электрическое поле волны будет возбуждать в теле ток, плотность которого ($\overrightarrow{j}$):
$\sigma $ -- удельная проводимость вещества. Магнитное поле волны действует на данный ток с удельной силой (${\overrightarrow{F}}_u$) (силой на единицу объема):
Направление ${\overrightarrow{F}}_u$ совпадает с направлением распространения волны.
При этом поверхностному слою тела толщиной $\triangle l$, единичной площади волной сообщается импульс за $1 с$, ($\overrightarrow{j}\bot \overrightarrow{H}$) равный:
В том же слое за $1 с$ поглощается энергия:
которая выделяется потом, как тепло. Найдем отношение импульса (10) к энергии (11), имеем:
Воспользуемся выражением (3) при $\varepsilon =1,\ \mu =1,$ получим:
Подставим (13) в формулу (13):
Из выражения (14) следует, что электромагнитная волна, обладающая энергией $W$, имеет импульс ($G$):
Из формулы (15) получаем, что плотность импульса ($G_u$) -- импульс единицы объема равен:
Воспользовавшись вектором Умова -- Пойнтинга, можно выражение (16) представить как:
В формуле (17) учтено, что направление вектора импульса электромагнитной волны имеет такое же направление, что и вектор Умова -- Пойнтинга.
Задание: Какое давление ($p$), производит плоская электромагнитная волна на тело? Она распространялась в вакууме, вдоль $оси X$, падает на тело перпендикулярно, поглощается полностью. Амплитуда напряженности магнитного поля равна $H_m$.
Решение:
В качестве основы для решения задачи примем вывод из теории Максвелла о том, что, если волна падает на тело перпендикулярно его поверхности и полностью поглощается, то:
\[p=\left\langle w\right\rangle \left(1.1\right),\]где $\left\langle w\right\rangle $ -- средняя объемная плотность энергии электромагнитной волны.
Уравнения колебаний модулей векторов напряженностей электрического и магнитного полей запишем в соответствии с гармоническими законами:
\[E=E_m{cos \left(\omega t-kx\right)\ }\left(1.2\right),\] \[H=H_m{cos \left(\omega t-kx\right)\ }\left(1.3\right).\]Плотность энергии электромагнитного поля ($w$) является суммой плотности электрического поля ($w_E$) и плотности магнитного поля ($w_H$):
\[w=w_E+w_H\left(1.4\right),\]где:
\[w_E=\frac{\varepsilon \varepsilon_0E^2}{2},\ w_m=\frac{\mu \mu_0H^2}{2}\left(1.5\right).\]При этом для электромагнитной волны мы имеем соотношение между мгновенными значениями характеристик полей:
\[\sqrt{\varepsilon {\varepsilon }_0}E=\sqrt{\mu {\mu }_0}H\left(1.6\right).\]Следовательно, можем записать следующее:
\[w=2w_m=2w_E=\mu \mu_0H^2\left(1.7\right).\]Используем выражение (1.3), подставив вместо H выражение, которое находится в правой части, получим:
\[w=\mu \mu_0{H_m}^2{cos^2 \left(\omega t-kx\right)\left(1.8\right).\ }\]Найдем среднее от объемной плотности энергии электромагнитной волны, получим:
\[\left\langle w\right\rangle =\left\langle \mu {\mu }_0{H_m}^2{cos^2 \left(\omega t-kx\right)\ }\right\rangle \left(1.9\right).\]Примем во внимание, что:
\[\left\langle {cos^2 \left(\omega t-kx\right)\ }\right\rangle =\frac{1}{2}\left(1.10\right).\]Тогда формула (1.9) будет переписана как:
\[\left\langle w\right\rangle =\frac{\mu {\mu }_0{H_m}^2}{2}\to p=\frac{\mu {\mu }_0{H_m}^2}{2}.\]Ответ: $p=\frac{\mu {\mu }_0{H_m}^2}{2},\ где\ \mu =1\ .$
Задание: Чему равна средняя (по времени) плотность импульса электромагнитной волны ($\left\langle G_u\right\rangle $)? Если электромагнитная волна плоская, распространяется в вакууме по оси X, амплитуда ее магнитного поля равна $H_m.$
Решение:
За основу решения задачи примем формулу:
\[\overrightarrow{G_u}=\frac{1}{c^2}\left[\overrightarrow{E}\overrightarrow{H}\right]\to G_u=\frac{1}{c^2}EH\to \left\langle G_u\right\rangle =\frac{1}{c^2}\left\langle EH\right\rangle \left(2.1\right).\]Используя соотношение:
\[\sqrt{{\varepsilon }_0}E_m=\sqrt{{\mu }_0}H_m(2.2)\]найдем амплитуду электрического поля:
\[E_m=\sqrt{\frac{{\mu }_0}{{\varepsilon }_0}}H_m\left(2.3\right).\]Уравнения колебаний модулей векторов напряженностей электрического и магнитного полей запишем в соответствии с гармоническими законами:
\[E=E_m{cos \left(\omega t-kx\right)\ }\left(2.4\right),\] \[H=H_m{cos \left(\omega t-kx\right)\ }\left(2.5\right).\]Подставим выражения (2.3), (2.4) и (2.5) в формулу (2.1), получим:
\[\left\langle G_u\right\rangle =\frac{1}{c^2}\left\langle H_m{cos \left(\omega t-kx\right)\sqrt{\frac{{\mu }_0}{{\varepsilon }_0}}H_m{cos \left(\omega t-kx\right)\ }\ }\right\rangle =\frac{1}{c^2}\sqrt{\frac{{\mu }_0}{{\varepsilon }_0}}{H_m}^2\left\langle {cos^2 \left(\omega t-kx\right)\ }\right\rangle =\frac{1}{{2c}^2}\sqrt{\frac{{\mu }_0}{{\varepsilon }_0}}{H_m}^2=\frac{1}{{2c}^2}\sqrt{\frac{4\pi \cdot {10}^{-7}}{\frac{1}{4\pi \cdot 9\cdot {10}^9}}}{H_m}^2=\frac{4\pi \cdot 3\cdot 10}{{2c}^2}{H_m}^2=\frac{60\pi }{c^2}{H_m}^2.\]Ответ: $\left\langle G_u\right\rangle =\frac{60 \pi}{c^2}{H_m}^2.$
