В соответствии с взглядами, существующими в классической электродинамике, электромагнитные волны в вакууме создаются электрическими зарядами, которые движутся с ускорением. Самая простая излучающая система -- дипольный осциллятор. Дипольный момент ($\overrightarrow{p}$) такого диполя изменяется во времени. Такой диполь называют элементарным вибратором.
Пусть система излучения электрически нейтральна. Eе размеры малы, в сравнении с длиной волны ($\lambda $), которую излучает рассматриваемая система. Тогда в точках, которые находятся на расстояниях ($r$) много больше, чем длина волны ($r ≫ \lambda $) (в волновой зоне), поле излучения близко к полю, которое создает осциллятор, имеющий электрический момент равный моменту всей излучающей системы.
Одним из самых значимых свойств дипольного осциллятора является то, что он излучает электромагнитную энергию.
Рассмотрим некоторые законы излучения линейного гармонического осциллятора. Будем считать, что размер электрического диполя много меньше длины волны ($l ≪ \lambda $), а дипольный момент ($\overrightarrow{p}$) изменяется как:
где $\overrightarrow{p_m}$- амплитудное значение $\overrightarrow{p}.$ Длина волны излучения в вакууме определена как:
Электрическое поле постоянного диполя уменьшается при увеличении расстояния в соответствии с законом:
В случае осцилляции диполя вблизи от диполя картина электромагнитного поля является сложной. Ее упрощение происходит в волновой зоне, так статическое поле быстро уменьшается почти до нуля. Остается только поле излучения осциллирующих зарядов. Это расходящаяся сферическая волна, имеющая туже частоту, что и осциллятор. При этом амплитуда волны уменьшается как:
где $\vartheta$ -- угол между осью диполя и радиус -- вектором ($\overrightarrow{r}$), проведенном в точку наблюдения поля.
Интенсивность электромагнитной волны (I) пропорционально:
Так как масса нейтрального атома много больше, чем масса электрона, причем атом совершает как единое целое медленные движения в сравнении с осцилляциями электрона, значит, центр колебаний можно считать неподвижным. В этом случае закон сохранения энергии для системы: электромагнитное поле -- осциллятор представим как:
где $\overrightarrow{P}$ -- вектор Умова -- Пойнтинга, $w_{em}$- плотность энергии электромагнитного поля, $w_{mat}$ -- плотность энергии вещества. Для перехода от плотности энергий к самой энергии возьмем интеграл от выражения (6) по объему малой сферы с центром, который лежит в осцилляторе. Получим:
где произведен переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности сферы $S$.
Диполь теряет энергию на излучение с малой скоростью. Потеря энергии становится существенной только на протяжении времени, большего в сравнении с $t=\frac{2\pi }{{\omega }_p}$ (${\omega }_p$)- собственная частота диполя. Следовательно, количество электромагнитной энергии в маленьком объеме V в течение большого промежутка времени остается почти постоянным. Значит слагаемым ($\frac{\partial W_{em}}{\partial t}$) в выражении (7) можно пренебречь. Кроме того, можно сделать вывод о том, что колебания диполя являются почти гармоническими, тогда энергию осциллятора с номером n можно записать как:
где усреднение проводят по быстрым колебаниям с частотой $2{\omega }_n.$
Скорость излучения энергии диполем сквозь сферу с центром на диполе равна:
Получается, что уравнение (7) эквивалентно выражению:
Следовательно, в рамках принятых приближений колебания затухают по экспоненте:
При этом относительная скорость затухания равна:
Медленное затухание амплитуды и энергии излучающего диполя часто вводят в уравнение движения диполя. В таком случае, уравнение для лоренцевых вынужденных колебаний принимает вид:
где поле E рассматривается как поле других зарядов и токов, которые действуют на диполь с номером n.
Для теории дисперсии значение имеет только частное решение уравнения (13), которое представляет вынужденные колебания осциллятора:
Амплитуда $x_{0n}$ находится подстановкой выражения (14) в формулу (13), получаем:
Электромагнитная волна излучается диполем. Излучение таково, что в волновой зоне на луче, который нормален к оси диполя, на расстоянии r от него интенсивность $I_0$. Какова средняя мощность $\left\langle N\right\rangle \ $излучения диполя? Считайте, что волна распространяется в вакууме.
Решение:
В качестве элементарной площадки, через которую проходит мощность излучения $dN,\ $выберем кольцевую полосу площади $dS$ на сфере радиуса $r$. При этом $dS$ равна:
\[dS=2\pi rsin\left(\vartheta\right)rd\vartheta\left(1.1\right).\]Примем во внимание, что:
\[I=\left\langle P\right\rangle \sim \frac{1}{r^2}{sin}^2\vartheta\left(1.2\right),\]тогда можно записать, что:
\[\frac{I}{I_0}={sin}^2\vartheta\left(1.3\right),\]где I -- интенсивность под углом $\vartheta,\ I_0$ -- интенсивность под углом $\frac{\pi }{2}.$ В таком случае, можно записать, что:
\[dN=IdP=I_0{sin}^2\vartheta2\pi rsin\left(\vartheta\right)rd\vartheta={2\pi I}_0{sin}^3\left(\vartheta\right)r^2d\vartheta\left(1.4\right).\]Найдем среднюю мощность, интегрируя выражение (1.4):
\[\left\langle N\right\rangle =\int\limits^{\pi }_0{{2\pi I}_0{sin}^3\left(\vartheta\right)r^2d\vartheta=\frac{8\pi }{3}}r^2I_0.\]Ответ: $\left\langle N\right\rangle =\frac{8\pi}{3}r^2I_0$.
Как связана средняя мощность излучения диполя и его частота?
Решение:
Из теории известно, что мощность излучения N диполя (энергия, которая излучается в единицу времени по всем направлениям) может быть определена как:
\[N=\frac{{\mu }_0}{6\pi c}{\left(\ddot{\overrightarrow{p}}\right)}^2\left(2.1\right).\]Используем зависимость дипольного момента от времени:
\[\overrightarrow{p}=\overrightarrow{p_m}{cos \left(\omega t\right)\ }\left(2.2\right).\]Имеем:
\[N=\frac{{\mu }_0}{6\pi c}{\omega }^4p_m{{cos}^2 \left(\omega t\right)\left(2.3\right).\ }\]Из выражения (2.3) средняя мощность излучения диполя равна:
\[\left\langle N\right\rangle =\frac{{\mu }_0}{12\pi c}{\omega }^4p_m.\]Ответ: $\left\langle N\right\rangle \sim {\omega }^4.$
