Электромагнитная сущность света
Дж. Максвелл предсказал своей теорией существование электромагнитных волн. Как следствие его уравнений, скорость электромагнитных волн в вакууме получилась равной:
В то время величина $c$ (1) называлась электродинамической постоянной. Ее численное значение было эмпирически получено В. Е. Вебером и Р.Г. Кольраушем в 1856 г. ($c=3,1\cdot {10}^8\frac{м}{с}$). Причем, величина электродинамической постоянной практически совпала со скорость света в вакууме, которую измерил И.Л. Физо в 1849 г ($c=3,15\cdot {10}^8\frac{м}{с}$).
Другое важное совпадение свойств электромагнитных волн и света -- это поперечность. Поперечность электромагнитных волн является следствием уравнений Максвелла. Поперечность волн света была доказана опытами Юнга по поляризации света. Данные два факта позволили Максвеллу сделать вывод о том, что световые волны по своей природе являются электромагнитными волнами. Подтвердило, также, данный взгляд на свет, как волну открытие Фарадеем в 1846 г. вращения плоскости поляризации света в магнитном поле.
Физическое существование электромагнитных волн эмпирически доказал Г. Р. Герц в 1888 г. Длина волн, которые он генерировал и регистрировал, была равна $66 см$. Герц показал отражение, преломление, поляризацию этих волн, получил стоячие волны, показал способность электромагнитных волн к интерференции.
Электромагнитная теория света устранила проблемы, с которыми столкнулась теория упругого эфира, но физики XIX век считали, что она дала символическое решение вопроса о природе света, рассматривая ее как формальную схему. Считалось, что уравнения верно передают количественные соотношения между величинами и явлениями, нет отчетливого физического толкования символов, которые входят в уравнения. Ученые думали, что система уравнений Максвелла составят математическое основание полной физической теории световых явлений после того как будут найдены механические свойства эфира. Однако попытки обнаружить механические свойства электромагнитного эфира не увенчались успехом. Гипотеза механического эфира, как и попытка построения механической картины мира канули в лету. Поэтому в современной волновой теории говорят, что свет -- это колебания электромагнитного поля, при этом не считают, что эти колебания можно свести к чему-то «более простому и наглядному».
Надо отметить, что классическая физика не способна истолковать явления атомного масштаба. Здесь требуется введение квантовых представлений. Так, классическая теория, например, не объясняет распределение энергии в спектре абсолютно черного тела. Возвращение к представлению о частицах света (фотонах) потребовало, например, объявление такого явления как фотоэффект, эффекта Комптона и некоторых других. Получается, что явления распространения света, следует описывать как волновые процессы в рамках соответствующей электромагнитной теории, а для объяснения эффектов взаимодействие света и вещества применять корпускулярные представления. Полная теория света является корпускулярно волновой.
Волновое уравнение
Волновое уравнение для света как электромагнитной волны поучают из системы уравнений Максвелла - если свободных зарядов и токов нет, то для вектора магнитной индукции волновое уравнение в вакууме имеет вид:
где $\triangle =\nabla \cdot \nabla $ - оператор Лапласа. Волновое уравнение при аналогичных условиях для вектора напряженности электрического поля световой волны имеет вид:
Часто уравнения (2) и (3) записывают, используя оператор Д' Аламбера ($\square=\triangle -\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}$), где скорость света в вакууме равна:
В таком случае волновые уравнения (2) и (3) запишутся в виде:
Световая волна
В электромагнитной волне совершают колебания векторы $\overrightarrow{B}\ и\ \overrightarrow{E}$. Из опыта известно, что физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света вызваны колебаниями вектора напряженности. В связи свыше сказанным, чаще всего говорят о световом векторе, имея в виду под ним вектор напряженности электрического поля. Изменение в пространстве и времени проекции светового вектора на направление распространения волны описывается уравнением:
где $E_m$ -- модуль амплитуды светового вектора (для плоской волны $E_m=const,\ $для сферической - $E_m\sim \frac{1}{r}$), $k$ -- волновое число, $r$ -- расстояние, которое считается вдоль направления распространения волны.
Отношение скорости световой волны в вакууме к фазовой скорости ($v$) в некоторой среде называют абсолютным показателем преломления среды. Обозначают его $n$. Так:
Соответственно, получается из классической электромагнитной теории :
где для подавляющего большинства прозрачных веществ $\mu \approx 1.$ Формула (8) осуществляет связь между оптическими и электромагнитными свойствами вещества. При этом следует помнить, что диэлектрическая проницаемость вещества зависит от частоты колебаний электрического поля. Что объясняет дисперсию света, то есть зависимость показателя преломления от частоты.
Величина показателя преломления ($n$) дает характеристику оптической плотности среды.
Длина волны света в среде ($\lambda $) связывается с длиной волны в вакууме (${\lambda }_0$) соотношением:
Модуль средней (по времени) величины плотности потока энергии, которую переносит световая волна, называется интенсивностью света (I) в данной точке пространства:
где $\overrightarrow{P}$ -- вектор Умова -- Пойнтинга. Основными единицами измерения интенсивности служат $\left[I\right]=\frac{Вт}{м^2}=\frac{лм}{м^2}$ (люмен на кв. метр). Так как для модулей амплитуд векторов напряженностей электрического и магнитного полей имеем соотношение:
Из (11) можно записать, что:
Так как $\left|\left\langle \overrightarrow{P}\right\rangle \right|\sim E_mH_m,$ значит, что $I\sim n{E_m}^2.$
Линии, вдоль которых распространяется световая энергия, называют лучами. Средний вектор Пойнтинга направлен в каждой точке по касательной к лучу. Если мы рассматриваем изотропную среду, то направление $\left\langle \overrightarrow{P}\right\rangle $ совпадает с нормалью к волновой поверхности (волновым вектором $\overrightarrow{k}$). Получается, что лучи перпендикулярны волновым поверхностям.
Задание: Получите волновое уравнение для вектора магнитной индукции световой волны, которая распространяется в вакууме, где нет свободных зарядов и токов из системы уравнений Максвелла и материальных уравнений.
Решение:
Уравнения Максвелла для вакуума, в котором нет свободных зарядов ($\rho =0$) и токов ($\overrightarrow{j}=0$) имеют вид:
\[rot\overrightarrow{H}=\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}\left(1.1\right),\] \[rot\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\left(1.2\right),\] \[div\overrightarrow{B}=0\left(1.3\right),\] \[div\overrightarrow{D}=0\left(1.4\right).\]материальные уравнения при этом:
\[\overrightarrow{D}={\varepsilon }_0\overrightarrow{E},\ \overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{H}\left(1.5\right).\]Применим операцию rot к уравнению (1.1), и используем материальные уравнения из системы (1.5), получим:
\[\frac{1}{{\mu }_0}rotrot\overrightarrow{B}={\varepsilon }_0rot\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\left(1.6\right).\]В выражении (1.6) можно изменить порядок дифференцирования в правой части выражения, так как пространственные координаты и время -- независимые переменные, следовательно, имеем:
\[\frac{1}{{\mu }_0}rotrot\overrightarrow{B}={\varepsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}rot\overrightarrow{E}\left(1.7\right).\]Учтем, что $rotrot\overrightarrow{B}=graddiv\overrightarrow{B}-{\nabla }^2\overrightarrow{B}$ , выражения (1.2) и (1.3), получаем:
\[\frac{1}{{\mu }_0}\left(graddiv\overrightarrow{B}-{\nabla }^2\overrightarrow{B}\right)=-{\varepsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\to {\nabla }^2\overrightarrow{B}-{\mu }_0{\varepsilon }_0\frac{{\partial }^2\overrightarrow{B}}{\partial t^2}=0.\]Ответ: ${\nabla }^2\overrightarrow{B}-{\mu }_0{\varepsilon }_0\frac{{\partial }^2\overrightarrow{B}}{\partial t^2}=0.$
Задание: Для плоской световой волны можно записать, что $\overrightarrow{E}\left(\overrightarrow{r},\ t\right)=\overrightarrow{E_0}{exp \left(-i\left(\omega t-\overrightarrow{k}\overrightarrow{r}\right)\right)(2.1)\ },\ \overrightarrow{B}\left(\overrightarrow{r},\ t\right)=\overrightarrow{B_0}{exp \left(-i\left(\omega t-\overrightarrow{k}\overrightarrow{r}\right)\right)\ }\left(2.2\right),$ где $\overrightarrow{E_0}=const,\ \overrightarrow{B_0}=const.$ Покажите, что векторы $\overrightarrow{E}\bot \overrightarrow{B}\bot \overrightarrow{k}$.
Решение:
За основу решения задачи примем систему уравнений Максвелла, записанную в виде:
\[\nabla \times \overrightarrow{B}={\varepsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t},\ \nabla \times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t},\ \nabla \cdot \overrightarrow{B}=0,\ \nabla \cdot \overrightarrow{E}=0\left(2.3\right).\]Подставим выражения (2.1) и (2.1) в уравнения системы (2.3), используя $\nabla e^{i\overrightarrow{k}\overrightarrow{r}}=i\overrightarrow{k}\nabla e^{i\overrightarrow{k}\overrightarrow{r}},\ \frac{\partial }{\partial t}e^{-i\omega t}=-i\omega e^{-i\omega t}$, получим соотношения:
\[-\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{B}=\omega {\mu }_0{\varepsilon }_0\overrightarrow{E}\ \left(2.4\right),\] \[\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{E}=\omega \overrightarrow{B}\ \left(2.5\right),\] \[\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{B}=0\ \left(2.6\right),\] \[\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{E}=0\ \left(2.7\right).\]Ответ: Выражения (2.6) и (2.7) показывают, что векторы $\overrightarrow{B}$ и $\overrightarrow{E}$ плоской световой волны перпендикулярны вектору $\overrightarrow{k}$, то есть направлению распространения. Выражение (2.4)и (2.5) указывают на то, что $\overrightarrow{B}$ $\bot $ $\overrightarrow{E}$.
