Интерференция монохроматических волн

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Интерференцией называют изменение средней плотности потока энергии, которое вызывается суперпозицией электромагнитных волн. Так как плотность потока энергии и объемная плотность энергии пропорциональны квадрату амплитуды электромагнитной волны, при этом коэффициенты пропорциональности для определенной среды являются постоянными величинами, плотность потока энергии и объемную плотность энергии монохроматической волны связывают с интенсивностью света ( $I$ ):

$I=\left\langle ReE\cdot ReE\right\rangle =\frac{1}{2}{E_m}^2\left(1\right),$

где поле представляется в комплексном виде, но $E_m$ -- действительная величина (амплитуда световой волны).

Определение 2

Интерференция, которая возникает при сложении двух пучков света, называется двухлучевой. Интерференция, которая является суперпозицией большого их количества, носит название многолучевой интерференции.

Примечание 1

Практическое применение интерференция имеет, например, в спектроскопии, метрологии. Реальные источники света монохроматическими не являются.

Суперпозиция двух монохроматических волн

Пусть мы имеем две линейно поляризованные в одном направлении волны, которые имеют две одинаковые амплитуды. Их представим в комплексном виде как:

Согласно принципу суперпозиции волн напряжённость результирующего поля равна:

При этом интенсивность результирующей волны примет вид:

где ${E^*}_1$ , ${E^*}_2$ комплексно сопряженные величины к соответствующим величинам $E_1$ и $E_2$ . Причем из выражений (2) следует, что:

Используя выражения, представленные в (5), перепишем уравнение (4) в виде:

где $\delta ={\varphi }_2-{\varphi }_1,\ I_m=\frac{{E_m}^2}{2}.\$

Из выражения (6) очевидно, что результирующая интенсивность зависит от разности фаз между исходными волнами.

Если складывать волны различных амплитуд:

«Интерференция монохроматических волн» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

тогда формула (4) предстанет в виде:

где $I_1=\frac{{E_{m1}}^2}{2}$ , $I_2=\frac{{E_{m2}}^2}{2}$ . Из выражения (8) следует, что результирующая интенсивность изменяется от минимального значения равного:

до максимального:

Для того чтобы реализовать интерференцию двух лучей надо иметь две монохроматические (или квазимонохроматические) волны одинаковой частоты.

Определение 3

В том случае, если разность фаз $(\delta =const)$ колебаний постоянна во времени, то волны называют когерентными. Если волны не когерентны $\delta$ , непрерывно изменяется, среднее по времени значение равно нулю ( $\left\langle {cos \delta \ }\right\rangle$ =0). В этом случае выражение (8) трансформируется в:

$I=I_1+I_2\left(11\right).$

Из выражения (8) следует, что наложение когерентных световых волн вызывает перераспределение потока света, как результат в одних точках пространства появляются максимумы, в других минимумы интенсивности. Особенно отчетливо интерференция проявляется, если интенсивность волн одинакова.

Условия возникновения интерференционных максимумов и минимумов

Обозначим через $\triangle$ - оптическую разность хода волн. Она равна:

где $n_1$ -- показатель преломления первого вещества, $n_2$ - показатель преломления второго вещества, $s_1$ -- путь, который проходит первая волна в первой среде, $s_2$ -- путь, который проходит вторая волна во второй среде. Допустим, что ${\lambda }_0$ - длина волны в вакууме, тогда можно получить, что:

Из выражения (13) очевидно, что если $\ величина\ \triangle \ в\ вукууме$ :

то $\delta$ кратна $2\pi .$ Это есть условие интерференционного максимума.

В том случае, если разность хода двух волн равна в вакууме:

то

мы получаем условие интерференционных минимумов.

Пример 1

Задание: Получите выражение для суммарной интенсивности двух световых волн, если складываются волны разных амплитуд: $E_1=E_{m1}exp\left[-i(\omega t-{\varphi }_1)\right],\ E_2=E_{m2}exp\left[-i\left(\omega t-{\varphi }_2\right)\right]\left(1.1\right).$

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем выражение:

$I==\frac{1}{2}Re\left({E^*}_1E_1+{E^*}_2E_1+{E^*}_1E_2+{E^*}_2E_2\right)(1.2),$

где ${E_1}^*=E_{m1}exp\left[i(\omega t-{\varphi }_1)\right],\ {E_2}^*=E_{m2}exp\left[i\left(\omega t-{\varphi }_2\right)\right].$

Найдем произведения, которые входят в состав правой части выражения (1.2):

${E^*}_1E_1=E_{m1}exp\left[i\left(\omega t-{\varphi }_1\right)\right]\cdot E_{m1}exp\left[-i\left(\omega t-{\varphi }_1\right)\right]={E_{m1}}^2\left(1.3\right),$

${E^*}_2E_2=E_{m2}exp\left[i\left(\omega t- \varphi_2\right)\right]E_{m2}exp\left[-i\left(\omega t- \varphi_2\right)\right]={E_{m2}}^2\left(1.4\right),$

${E^*}_2E_1=E_{m2}exp\left[i\left(\omega t- \varphi_2\right)E_{m1}exp\left[-i\left(\omega t-{\varphi }_1\right)\right]\right]=E_{m1}E_{m2}exp\left[-i\left(\varphi_2- \varphi_1\right)\right]\left(1.5\right),$

${E^*}_1E_2=E_{m1}exp\left[i(\omega t-\varphi_1)\right]E_{m2}exp\left[-i\left(\omega t- \varphi_2\right)\right]=E_{m1}E_{m2}exp\left[i\left(\varphi_2- \varphi_1\right)\right]\left(1.6\right).$

Подставим выражения (1.3) -- (1.6) в формулу (1.2), получим:

$I=\frac{1}{2}\left[{E_{m1}}^2+{E_{m2}}^2+2E_{m1}E_{m2}{cos \left({\varphi }_2-{\varphi }_1\right)\ }\right]\left(1.7\right).$

Учтем, что $I_1=\frac{{E_{m1}}^2}{2}$ , $I_2=\frac{{E_{m2}}^2}{2}\$ запишем выражение (1.7) для интенсивности в виде:

$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1}\sqrt{I_2}{cos \left({\varphi }_2-{\varphi }_1\right)\ }.$

Ответ: $I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1}\sqrt{I_2}{cos \left({\varphi }_2-{\varphi }_1\right)\ }.$

Пример 2

Задание: Поясните, почему при освещении любой поверхности несколькими естественными источниками света интерференционной картины не возникает.

Решение:

Если какая -- либо поверхность освещена несколькими естественными источниками света, то ее освещённость монотонно убывает при увеличении расстояния от источников света, при этом интерференционной картины (чередования максимумов и минимумов нет). Это объясняется тем, что естественные источники света не когерентны.

Некогерентность этих источников вызвана тем, что излучение светящихся тел является суммой волн, которые испускаются большим количеством атомов. В световой волне, излучение, которое испускается одной группой атомов через время около ${\approx 10}^{-8}с$ сменяется излучением другой группы, при этом фаза суммарной волны терпит случайные изменения.