Возникновение теплопроводности
Явление теплопроводности возникает при наличии градиента температур.
Так как температура газа в различных местах неодинакова, то и средняя энергия молекул будет отличаться. Из-за теплового движения молекулы перемещаются из одних мест в другие и переносят имеющуюся у них энергию, что и обуславливает процесс теплопроводности. Очевидно, что количество переносимой молекулами энергии зависит от средней скорости движения молекул ⟨v⟩, средней длины свободного пробега молекулы ⟨λ⟩ и способности вещества запасать энергию -- теплоемкости вещества (с).
В одномерном стационарном случае (T=T(x)) явление теплопроводности описывается уравнением Фурье:
dQ=−χdTdxdSdt (1),где dQ- количество теплоты, которое переносится за время dt через площадку dS в направлении нормали к этой площадке в сторону убывания температуры, χ- коэффициент теплопроводности, dTdx -- проекция градиента температуры на ось Ox.
Коэффициент теплопроводности
Плотность потока теплоты (количество проходящей в секунду через единичную площадку теплоты) пропорциональна градиенту температуры:
jt=−χdEdx(2)Коэффициент χ называется коэффициентом теплопроводности.
Рассмотрим теплопроводность в газе. Пусть в направлении оси х отмечается падение температуры. Рассчитаем поток энергии через единичную площадку dS.
рис. 1
Вследствие теплового движения поток энергии идет и слева-направо и справа-налево. Но первый преобладает над вторым, так как молекулы слева имеют более высокую температуру, чем молекулы справа. Разница в этих потоках и дает результирующий поток теплоты через площадку. Отступая от единичной площадки dS на длину свободного пробега вправо и влево, построим куб единичного объема. В среднем одна шестая часть молекул этих кубиков летит по направлению к площадке. Обозначим число степеней свободы молекулы газа через i. Каждая молекула несет тепловую энергию (ikT)/2, но из правого кубика она несет ikT12, а из левого - ikT22, (T2>T1). Учитывая, что кубики расположены на расстояниях $$ от площадки, то в среднем каждая молекула долетит до площадки и пройдёт через нее без столкновения с другими молекулами. Поток частиц к площадке равен ν=16n⟨v⟩. Следовательно, разность потоков или поток теплоты (полагая, что площадь dS pавна 1 см2) ( минус указывает уменьшение потока тепла):
jt=−16⟨v⟩ni2k(T2−T1)(2)Так как λ мала, то можно представить: T2−T12=dTdx. Следовательно:
jt=−13⟨v⟩ni2kdTdx(4).Получили, что jt∼dTdx. Коэффициент перед производной есть теплопроводность газа:
χ=13⟨v⟩i2kn (5).Величина i2R=i2kNA -- теплоемкость моля газа при постоянном объеме газа (cμV), следовательно, i2kn=cnV=cV -- теплоемкость n молекул газа при V=const, то есть теплоёмкость единицы объема газа:
i2kn=ρcV (5)→χ=13⟨v⟩ρcV(6).Более строгий расчет приводит к тому же выражению для теплопроводности, но с немного отличным числовым коэффициентом. Из формулы (5) очевидно, что теплопроводность не зависит от давления. Это справедливо лишь до тех пор, пока $$ мало в сравнении с расстояниями между поверхностями, которые обмениваются теплотой. В противном случае зависимость χ от давления увеличивается, при чем, если уменьшается давление, то теплопроводность уменьшается.
Задание: Используя основное уравнение переноса, получите уравнение для теплопроводности.
Решение:
Запишем основное уравнение переноса:
IG=I+G+I−G=−13n0⟨v⟩⟨λ⟩∂G∂x(1.1).В этом случае G- средняя энергия теплового движения, приходящаяся на одну молекулу. Она изменяется, если температура изменяется в пространстве. Поток теплоты будем обозначать (в общем уравнении переноса - это величина IG)−jt. Из теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы имеем:
G=i2kT=i2kNANAT=i2kRNAT=CVNAT(1.2)Тогда уравнение (1.1), имеет вид:
jt=−13n0⟨v⟩⟨λ⟩CVNA∂T∂x →χ=13n0⟨v⟩⟨λ⟩CVNA=13ρ⟨v⟩⟨λ⟩cV,где ρ=n0m, −плотность, CVNAm=cV- удельная теплоемкость при постоянном объеме.
Ответ: Получено уравнение для теплопроводности jt=−χ∂T∂x. Это так называемое уравнение Фурье для теплопроводности.
Задание: Пространство между двумя очень длинными коаксиальными цилиндрами с радиусами $R_1
Решение:
рис.2
Запишем уравнение плотности потока тепла через боковую поверхность цилиндра (площади верхней и нижней поверхности малы в сравнении с боковой, так как цилиндр бесконечно длинный), зная, что поле температур имеет цилиндрическую симметрию:
q=jtS=−χdTdrS=−χdTdr⋅2πrl (2.1)По условию задачи получается q=const, так как температуры на боковых поверхностях цилиндров поддерживают постоянными. Мы получили дифференциальное уравнение с двумя переменными. Проведем их разделение:
−dT=qχ⋅2πldrr(2.2)Проинтегрируем обе части уравнения (2.2):
−∫ТТ1dT=qχ⋅2πl∫rR1drr(2.3),Надо отметить, что мы исследуем область между первым и вторым цилиндрами, поэтому выбираем гипотетическую цилиндрическую поверхность радиуса r (на рисунке изображена пунктиром). Поэтому пределы интегрирования от R1 до r и для температуры от Т1до T. Получаем:
Т1−T2=qχ⋅2πllnR2R1→q=χ⋅2πllnR2R1(Т1−T2) (2.5Найдем q. Для этого используем известное нам граничное условие: и r=R2, T=Т2, подставим в (2.4):
Т1−T2=qχ⋅2πllnR2R1→q=χ⋅2πllnR2R1(Т1−T2) (2.5)Подставим в (2.4) q и выразим T. Получаем:
T=Т1+(−Т1+T2)χ⋅2πllnR2R1lnrR1χ⋅2πl=Т1+(T2−Т1)lnrR1lnR2R1 (2.6)Ответ: Зависимость температуры T от расстояния r выражается формулой:
T(r)=Т1+(T2−Т1)lnrR1lnR2R1.