Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Теплопроводность

Возникновение теплопроводности

Явление теплопроводности возникает при наличии градиента температур.

Так как температура газа в различных местах неодинакова, то и средняя энергия молекул будет отличаться. Из-за теплового движения молекулы перемещаются из одних мест в другие и переносят имеющуюся у них энергию, что и обуславливает процесс теплопроводности. Очевидно, что количество переносимой молекулами энергии зависит от средней скорости движения молекул v, средней длины свободного пробега молекулы λ и способности вещества запасать энергию -- теплоемкости вещества (с).

В одномерном стационарном случае (T=T(x)) явление теплопроводности описывается уравнением Фурье:

dQ=χdTdxdSdt (1),

где dQ- количество теплоты, которое переносится за время dt через площадку dS в направлении нормали к этой площадке в сторону убывания температуры, χ- коэффициент теплопроводности, dTdx -- проекция градиента температуры на ось Ox.

Коэффициент теплопроводности

Плотность потока теплоты (количество проходящей в секунду через единичную площадку теплоты) пропорциональна градиенту температуры:

jt=χdEdx(2)

Коэффициент χ называется коэффициентом теплопроводности.

Рассмотрим теплопроводность в газе. Пусть в направлении оси х отмечается падение температуры. Рассчитаем поток энергии через единичную площадку dS.

Рис. 1

рис. 1

Вследствие теплового движения поток энергии идет и слева-направо и справа-налево. Но первый преобладает над вторым, так как молекулы слева имеют более высокую температуру, чем молекулы справа. Разница в этих потоках и дает результирующий поток теплоты через площадку. Отступая от единичной площадки dS на длину свободного пробега вправо и влево, построим куб единичного объема. В среднем одна шестая часть молекул этих кубиков летит по направлению к площадке. Обозначим число степеней свободы молекулы газа через i. Каждая молекула несет тепловую энергию (ikT)/2, но из правого кубика она несет ikT12, а из левого - ikT22, (T2>T1). Учитывая, что кубики расположены на расстояниях $$ от площадки, то в среднем каждая молекула долетит до площадки и пройдёт через нее без столкновения с другими молекулами. Поток частиц к площадке равен ν=16nv.  Следовательно, разность потоков или поток теплоты (полагая, что площадь dS pавна 1 см2) ( минус указывает уменьшение потока тепла):

jt=16vni2k(T2T1)(2)

Так как λ мала, то можно представить: T2T12=dTdx. Следовательно:

jt=13vni2kdTdx(4).

Получили, что jtdTdx. Коэффициент перед производной есть теплопроводность газа:

χ=13vi2kn (5).

Величина i2R=i2kNA -- теплоемкость моля газа при постоянном объеме газа (cμV), следовательно, i2kn=cnV=cV -- теплоемкость n молекул газа при V=const, то есть теплоёмкость единицы объема газа:

i2kn=ρcV (5)χ=13vρcV(6).

Более строгий расчет приводит к тому же выражению для теплопроводности, но с немного отличным числовым коэффициентом. Из формулы (5) очевидно, что теплопроводность не зависит от давления. Это справедливо лишь до тех пор, пока $$ мало в сравнении с расстояниями между поверхностями, которые обмениваются теплотой. В противном случае зависимость χ от давления увеличивается, при чем, если уменьшается давление, то теплопроводность уменьшается.

Пример 1

Задание: Используя основное уравнение переноса, получите уравнение для теплопроводности.

Решение:

Запишем основное уравнение переноса:

IG=I+G+IG=13n0vλGx(1.1).

В этом случае G- средняя энергия теплового движения, приходящаяся на одну молекулу. Она изменяется, если температура изменяется в пространстве. Поток теплоты будем обозначать (в общем уравнении переноса - это величина IG)jt. Из теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы имеем:

G=i2kT=i2kNANAT=i2kRNAT=CVNAT(1.2)

Тогда уравнение (1.1), имеет вид:

 jt=13n0vλCVNATx χ=13n0vλCVNA=13ρvλcV,

где ρ=n0m, плотность, CVNAm=cV- удельная теплоемкость при постоянном объеме.

Ответ: Получено уравнение для теплопроводности  jt=χTx. Это так называемое уравнение Фурье для теплопроводности.

«Теплопроводность» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти
Пример 2

Задание: Пространство между двумя очень длинными коаксиальными цилиндрами с радиусами $R_1

Решение:

Рис. 2

рис.2

Запишем уравнение плотности потока тепла через боковую поверхность цилиндра (площади верхней и нижней поверхности малы в сравнении с боковой, так как цилиндр бесконечно длинный), зная, что поле температур имеет цилиндрическую симметрию:

 q=jtS=χdTdrS=χdTdr2πrl (2.1)

По условию задачи получается q=const, так как температуры на боковых поверхностях цилиндров поддерживают постоянными. Мы получили дифференциальное уравнение с двумя переменными. Проведем их разделение:

dT=qχ2πldrr(2.2)

Проинтегрируем обе части уравнения (2.2):

ТТ1dT=qχ2πlrR1drr(2.3),

Надо отметить, что мы исследуем область между первым и вторым цилиндрами, поэтому выбираем гипотетическую цилиндрическую поверхность радиуса r (на рисунке изображена пунктиром). Поэтому пределы интегрирования от R1 до r и для температуры от Т1до T. Получаем:

Т1T2=qχ2πllnR2R1q=χ2πllnR2R1(Т1T2) (2.5

Найдем q. Для этого используем известное нам граничное условие: и r=R2, T=Т2, подставим в (2.4):

Т1T2=qχ2πllnR2R1q=χ2πllnR2R1(Т1T2) (2.5)

Подставим в (2.4) q и выразим T. Получаем:

T=Т1+(Т1+T2)χ2πllnR2R1lnrR1χ2πl=Т1+(T2Т1)lnrR1lnR2R1 (2.6)

Ответ: Зависимость температуры T от расстояния r выражается формулой:

T(r)=Т1+(T2Т1)lnrR1lnR2R1.
Дата последнего обновления статьи: 17.12.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Теплопроводность"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant