Возникновение теплопроводности
Явление теплопроводности возникает при наличии градиента температур.
Так как температура газа в различных местах неодинакова, то и средняя энергия молекул будет отличаться. Из-за теплового движения молекулы перемещаются из одних мест в другие и переносят имеющуюся у них энергию, что и обуславливает процесс теплопроводности. Очевидно, что количество переносимой молекулами энергии зависит от средней скорости движения молекул $\left\langle v\right\rangle $, средней длины свободного пробега молекулы $\left\langle \lambda \right\rangle $ и способности вещества запасать энергию -- теплоемкости вещества (с).
В одномерном стационарном случае (T=T(x)) явление теплопроводности описывается уравнением Фурье:
\[dQ=-\chi \frac{dT}{dx}dSdt\ \left(1\right),\]где $dQ$- количество теплоты, которое переносится за время $dt$ через площадку dS в направлении нормали к этой площадке в сторону убывания температуры, $\chi $- коэффициент теплопроводности, $\frac{dT}{dx}$ -- проекция градиента температуры на ось Ox.
Коэффициент теплопроводности
Плотность потока теплоты (количество проходящей в секунду через единичную площадку теплоты) пропорциональна градиенту температуры:
\[j_t=-\chi \frac{dE}{dx}(2)\]Коэффициент $\chi $ называется коэффициентом теплопроводности.
Рассмотрим теплопроводность в газе. Пусть в направлении оси х отмечается падение температуры. Рассчитаем поток энергии через единичную площадку dS.
рис. 1
Вследствие теплового движения поток энергии идет и слева-направо и справа-налево. Но первый преобладает над вторым, так как молекулы слева имеют более высокую температуру, чем молекулы справа. Разница в этих потоках и дает результирующий поток теплоты через площадку. Отступая от единичной площадки dS на длину свободного пробега вправо и влево, построим куб единичного объема. В среднем одна шестая часть молекул этих кубиков летит по направлению к площадке. Обозначим число степеней свободы молекулы газа через i. Каждая молекула несет тепловую энергию $(ikT)/2$, но из правого кубика она несет $\frac{ikT_1}{2}$, а из левого - $\frac{ikT_2}{2}$, ($T_2>T_1$). Учитывая, что кубики расположены на расстояниях $$ от площадки, то в среднем каждая молекула долетит до площадки и пройдёт через нее без столкновения с другими молекулами. Поток частиц к площадке равен $\nu =\frac{1}{6}n\left\langle v\right\rangle .\ $ Следовательно, разность потоков или поток теплоты (полагая, что площадь dS pавна 1 $см^2$) ( минус указывает уменьшение потока тепла):
\[j_t=-\frac{1}{6}\left\langle v\right\rangle n\frac{i}{2}k(T_2-T_1)(2)\]Так как $\lambda $ мала, то можно представить: $\frac{T_2-T_1}{2}=\frac{dT}{dx}.$ Следовательно:
\[j_t=-\frac{1}{3}\left\langle v\right\rangle n\frac{i}{2}k\frac{dT}{dx}\left(4\right).\]Получили, что $j_t\sim \frac{dT}{dx}.$ Коэффициент перед производной есть теплопроводность газа:
\[\chi =\frac{1}{3}\left\langle v\right\rangle \frac{i}{2}kn\ \left(5\right).\]Величина $\frac{i}{2}R=\frac{i}{2}kN_A\ $-- теплоемкость моля газа при постоянном объеме газа ${(c}_{\mu V})$, следовательно, $\frac{i}{2}kn=c_{nV}$=$c_V$ -- теплоемкость n молекул газа при V=const, то есть теплоёмкость единицы объема газа:
\[{\frac{i}{2}kn=\rho c}_V\ \left(5\right)\to \chi =\frac{1}{3}\left\langle v\right\rangle \rho c_V(6).\]Более строгий расчет приводит к тому же выражению для теплопроводности, но с немного отличным числовым коэффициентом. Из формулы (5) очевидно, что теплопроводность не зависит от давления. Это справедливо лишь до тех пор, пока $$ мало в сравнении с расстояниями между поверхностями, которые обмениваются теплотой. В противном случае зависимость $\chi $ от давления увеличивается, при чем, если уменьшается давление, то теплопроводность уменьшается.
Задание: Используя основное уравнение переноса, получите уравнение для теплопроводности.
Решение:
Запишем основное уравнение переноса:
\[I_G=I^+_G+I^-_G=-\frac{1}{3}n_0\left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle \frac{\partial G}{\partial x}\left(1.1\right).\]В этом случае G- средняя энергия теплового движения, приходящаяся на одну молекулу. Она изменяется, если температура изменяется в пространстве. Поток теплоты будем обозначать (в общем уравнении переноса - это величина $I_G){-j}_t.$ Из теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы имеем:
\[G=\frac{i}{2}kT=\frac{i}{2}\frac{kN_A}{N_A}T=\frac{i}{2}\frac{kR}{N_A}T=\frac{C_V}{N_A}T\left(1.2\right)\]Тогда уравнение (1.1), имеет вид:
\[{\ j}_t=-\frac{1}{3}n_0\left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle \frac{C_V}{N_A}\frac{\partial T}{\partial x}\ \to \chi =\frac{1}{3}n_0\left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle \frac{C_V}{N_A}=\frac{1}{3}\rho \left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle c_V,\]где $\rho =n_0m,\ -плотность,$ ${\frac{C_V}{N_Am}=c}_V$- удельная теплоемкость при постоянном объеме.
Ответ: Получено уравнение для теплопроводности ${\ j}_t=-\chi \frac{\partial T}{\partial x}$. Это так называемое уравнение Фурье для теплопроводности.
Задание: Пространство между двумя очень длинными коаксиальными цилиндрами с радиусами $R_1
Решение:
рис.2
Запишем уравнение плотности потока тепла через боковую поверхность цилиндра (площади верхней и нижней поверхности малы в сравнении с боковой, так как цилиндр бесконечно длинный), зная, что поле температур имеет цилиндрическую симметрию:
\[{\ q=j}_tS=-\chi \frac{dT}{dr}S=-\chi \frac{dT}{dr}\cdot 2\pi rl\ \left(2.1\right)\]По условию задачи получается $q=const$, так как температуры на боковых поверхностях цилиндров поддерживают постоянными. Мы получили дифференциальное уравнение с двумя переменными. Проведем их разделение:
\[-dT=\frac{q}{\chi \cdot 2\pi l}\frac{dr}{r}(2.2)\]Проинтегрируем обе части уравнения (2.2):
\[-\int\nolimits^Т_{Т_1}{dT}=\frac{q}{\chi \cdot 2\pi l}\int\nolimits^r_{R_1}{\frac{dr}{r}}(2.3),\]Надо отметить, что мы исследуем область между первым и вторым цилиндрами, поэтому выбираем гипотетическую цилиндрическую поверхность радиуса r (на рисунке изображена пунктиром). Поэтому пределы интегрирования от $R_1\ до\ r$ и для температуры от $Т_1$до T. Получаем:
\[Т_1-T_2=\frac{q}{\chi \cdot 2\pi l}ln\frac{R_2}{R_1}\to q=\frac{\chi \cdot 2\pi l}{ln\frac{R_2}{R_1}\left(Т_1-T_2\right)}\ (2.5\]Найдем q. Для этого используем известное нам граничное условие: и r=$R_2$, T=$Т_2$, подставим в (2.4):
\[Т_1-T_2=\frac{q}{\chi \cdot 2\pi l}ln\frac{R_2}{R_1}\to q=\frac{\chi \cdot 2\pi l}{ln\frac{R_2}{R_1}\left(Т_1-T_2\right)}\ (2.5)\]Подставим в (2.4) q и выразим T. Получаем:
\[T=Т_1+\left(-Т_1+T_2\right)\frac{\chi \cdot 2\pi l}{ln\frac{R_2}{R_1}}\frac{ln\frac{r}{R_1}}{\chi \cdot 2\pi l}=Т_1+(T_2-Т_1)\frac{ln\frac{r}{R_1}}{ln\frac{R_2}{R_1}}\ (2.6)\]Ответ: Зависимость температуры T от расстояния r выражается формулой:
\[T\left(r\right)=Т_1+\left(T_2-Т_1\right)\frac{ln\frac{r}{R_1}}{ln\frac{R_2}{R_1}}.\]
