Различают следующие скорости, характеризующие движение молекул.
Средняя скорость движения молекул
средняя скорость движения молекул ⟨v⟩, которая определяется как:
где N -- число молекул. Или, среднюю скорость можно найти как:
где F(v)=4π(m02πkT)32exp(−m0v22kT)v2 -- функция распределения молекул по модулю скорости, указывающая долю молекул со скоростями, находящимися в единичном интервале dv около величины скорости v, m0- масса молекулы, k- постоянная Болцмана, T -- термодинамическая температура. Для того, чтобы определить, как средняя скорость молекулы связана с макропараметрами газа, как системы частиц, найдем значение интеграла (2).
Произведем замену:
Следовательно:
Подставим (4) и (5) в (3), получим:
Проведем интегрирование по частям, получим:
где R -- универсальная газовая постоянная, μ- молярная масса газа.
Среднюю скорость движения молекул называют также скоростью теплового движения молекул.
Средняя относительная скорость молекул:
⟨votn⟩=√2√8kTπm0=√2⟨v⟩(7).Средней квадратичной скоростью движения молекул газа называют величину:
⟨vkv⟩=√1NN∑i=1vi2(8).Или
⟨vkv⟩2=∫∞0v2F(v)dv (9).Проводя интегрирование, которое аналогично интегрированию при получении связи средней скорости с температурой газа, получим:
⟨vkv⟩=√3kTm0=√3RTμ(10).Именно средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул газа входит в основное уравнение молекулярно-кинетической теории:
p=13nm0⟨vkv⟩2(11),где n=NV -- концентрация частиц вещества, N- число частиц вещества, V- объем.
Задание: Определите, как изменяется средняя скорость движения молекул идеального газа при увеличении давления в процессе, представленном на графике (рис.1).
Рис. 1
Решение:
Запишем выражение для средней скорости движения молекул газа в виде:
⟨v⟩=√8kTπm0 (1.1)По графику видим, что p∼ρ или p=Cρ, где C- некоторая константа.
m0=ρn, p=nkT=Cρ→kT=Cρn (1.2).Подставим (1.2) в (1.1), получим:
⟨v⟩=√8kTπm0=√8Cρπnnρ=√8Cπ(1.3)Ответ: В процессе, изображенном на графике, с ростом давления средняя скорость движения молекул не изменяется.
Задание: Можно ли вычислить среднюю квадратичную скорость молекулы идеального газа, если известны: давление газа (p), молярная масса газа (μ) и концентрация молекул газа (n)?
Решение:
Используем выражение для ⟨vkv⟩:
⟨vkv⟩=√3RTμ(2.1).Кроме того, из уравнения Менделеева -- Клайперона и зная, что mμ=NNA:
pV=mμRT=NNART(2.2).Разделим правую и левую части (2.2) на V, зная, что NV=n получим:
p=nNART→RT=pNAn (2.3).Подставим (2.3) в выражение для среднеквадратичной скорости (2.1), имеем:
⟨vkv⟩=√3pNAμn (2.4).Ответ: По заданным в условии задачи параметрам среднеквадратичную скорость движения молекул газа вычислить можно с помощью формулы ⟨vkv⟩=√3pNAμn.