Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Распределение Больцмана

Предположим, что газ находится во внешнем потенциальном поле. В таком случае молекула газа массы m0 , движущаяся со скоростью v имеет энергию εp, которая выражается формулой:

Вероятность (dw) нахождения этой частицы в фазовом объеме dxdydzdpxdpydpz равно:

Плотности вероятности координат частицы и ее импульсов независимы, следовательно:

где

Формула (5) дает распределение Максвелла для скоростей молекул. Рассмотрим внимательнее выражение (4), которое приводит к распределению Больцмана. dw1(x,y,z) -- плотность вероятности нахождения частицы в объеме dxdydz вблизи точки с координатами (x,y,z). Будем считать, что молекулы газа независимы и в выделенном объеме газа n частиц. Тогда по формуле сложения вероятностей получим:

Коэффициент A1 находится из условия нормировки, которое в имеющемся у нас случае значит, что в выделенном объеме n частиц:

Что такое распределение Больцмана

Распределением Больцмана называют выражение:

Выражение (8) задает пространственное распределение концентрации частиц в зависимости от их потенциальной энергии. Коэффициент A1 не вычисляют, если необходимо знать только распределение концентрации частиц, а не их количество. Допустим, что в точке (x0,y0,z0) задана концентрация n0=n0 (x0,y0,z0)=dndx0dy0dz0, потенциальная энергия в той же точке U0=U0(x0,y0,z0). Обозначим концентрацию частиц в точке (x,y,z) n0 (x,y,z). Подставим данные в формулу (8), получим для одной точки:

для второй точки:

Выразим A1 из (9), подставим в (10):

Чаще всего распределение Больцмана используют именно в виде (11). Особенно удобно подобрать нормировку, при которой U0(x,y,z)=0.

Распределение Больцмана в поле сил тяжести

Распределение Больцмана в поле сил тяжести имеет можно записать в следующем виде:

dn(x,y,z)=Cexp[m0gzkT] dxdydz (12),
«Распределение Больцмана» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

где U(x,y,z)=m0gz -- потенциальная энергия молекулы массы m0 в поле тяжести Земли, g -- ускорение свободного падения, z -- высота. Или для плотности газа распределение (12) запишется как:

ρ=ρ0exp[m0gzkT]  (13).

Выражение (13) называют барометрической формулой.

При выводе распределения Больцмана никаких ограничений для массы частицы не применялось. Следовательно, оно применимо и для тяжелых частиц. Если масса частицы велика, то показатель экспоненты быстро изменяется с высотой. Таким образом, сама экспонента быстро стремится к нулю. Для того, чтобы тяжелые частицы "не осели на дно", необходимо, чтобы их потенциальная энергия была малой. Это достигается в том случае, если частицы помещают, например, в плотную жидкость. Потенциальная энергия частицы U(h) на высоте h взвешенная в жидкости:

U(h)=V0(ρρ0)gh (14),

где V0- объем частиц, ρ- плотность частиц, ρ0 -- плотность жидкости, h -- расстояние (высота) от дна сосуда. Следовательно, распределение концентрации частиц взвешенных в жидкости:

n0(h)=n0(0)exp[V0(ρρ0)ghkT]  (15).

Для того, чтобы эффект был заметен, частицы должны быть малы. Визуально этот эффект наблюдают с помощью микроскопа.

Пример 1

Задание: В поле силы тяжести находятся два вертикальных сосуда с разными газами (водород при T1=200K  и гелий при T2=400K). Сравнить плотности этих газов на высоте h, если на уровне h=0 плотности газов были одинаковы.

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем барометрическую формулу:

ρ=ρ0exp[m0gzkT] (1.1)

Запишем (1.1) для водорода:

ρ1=ρ0exp[mH2ghkT1] (1.2),

где mH2=μH2NA , μH2 - молярная масса водорода, NA -- постоянная Авогадро.

Запишем (1.1) для гелия:

ρ2=ρ0exp[mHeghkT2] (1.3),

где mH2=μHeNA , μHe - молярная масса гелия.

Найдем отношение плотностей:

ρ1ρ2=exp[μH2NA ghkT1] exp[μHeNAghkT2] =expghkNA[μH2T1+μHeT2]=expgh(μHeT1μH2T2)kNAT1T2 (1.4).

Подставим имеющиеся данные, вычислим отношения плотностей:

ρ1ρ2=expgh(42002400)kNA200400=1

Ответ: Плотности газов одинаковы.

Пример 2

Задание: Эксперименты с распределением взвешенных частиц в жидкости проводил, начиная с 1906 г., Ж.Б. Перрен. Он использовал распределение частиц гуммигута в воде для измерения постоянной Авогадро. При этом плотность частиц гуммигута составляла ρ=1,2103кгм3, их объем V0=1,031019м3. Температура, при которой проводился эксперимент, T=277K. Найдите высоту h, на которой плотность распределения гуммигута уменьшилась в два раза.

Рис. 1

Рис. 1

Решение:

Используем распределение концентрации частиц, взвешенных в жидкости:

n0(h)=n0(0)exp[V0(ρρ0)ghkT] (2.1).

Зная плотность воды ρ0=1000кгм3, имеем: V0(ρρ0)=1,031019(1,21)103=0,221016 (кг). Подставим полученный результат в (2.1):

n0(h1)=n0(0)exp[V0(ρρ0)gh1kT] 
n0(h2)=n0(0)exp[V0(ρρ0)gh2kT] 

Найдем

n0(h1)n0(h2)=exp[V0(ρρ0)gkT] [h1h2]=2 (2.2)

Прологарифмируем правую и левую части (2.2):

ln(2) =[V0(ρρ0)gkT] hh=ln(2) kTV0(ρρ0)g=ln(2) 1,3810232770,2210169,8=
=1,23 105(м).

Ответ: Плотность распределения гуммигута уменьшится в два раза при изменении высоты на 1,23 105м.

Дата последнего обновления статьи: 18.12.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Распределение Больцмана"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant