Предположим, что газ находится во внешнем потенциальном поле. В таком случае молекула газа массы m0 , движущаяся со скоростью →v имеет энергию εp, которая выражается формулой:
Вероятность (dw) нахождения этой частицы в фазовом объеме dxdydzdpxdpydpz равно:
Плотности вероятности координат частицы и ее импульсов независимы, следовательно:
где
Формула (5) дает распределение Максвелла для скоростей молекул. Рассмотрим внимательнее выражение (4), которое приводит к распределению Больцмана. dw1(x,y,z) -- плотность вероятности нахождения частицы в объеме dxdydz вблизи точки с координатами (x,y,z). Будем считать, что молекулы газа независимы и в выделенном объеме газа n частиц. Тогда по формуле сложения вероятностей получим:
Коэффициент A1 находится из условия нормировки, которое в имеющемся у нас случае значит, что в выделенном объеме n частиц:
Что такое распределение Больцмана
Распределением Больцмана называют выражение:
Выражение (8) задает пространственное распределение концентрации частиц в зависимости от их потенциальной энергии. Коэффициент A1 не вычисляют, если необходимо знать только распределение концентрации частиц, а не их количество. Допустим, что в точке (x0,y0,z0) задана концентрация n0=n0 (x0,y0,z0)=dndx0dy0dz0, потенциальная энергия в той же точке U0=U0(x0,y0,z0). Обозначим концентрацию частиц в точке (x,y,z) n0 (x,y,z). Подставим данные в формулу (8), получим для одной точки:
для второй точки:
Выразим A1 из (9), подставим в (10):
Чаще всего распределение Больцмана используют именно в виде (11). Особенно удобно подобрать нормировку, при которой U0(x,y,z)=0.
Распределение Больцмана в поле сил тяжести
Распределение Больцмана в поле сил тяжести имеет можно записать в следующем виде:
dn(x,y,z)=Cexp[−m0gzkT] dxdydz (12),где U(x,y,z)=m0gz -- потенциальная энергия молекулы массы m0 в поле тяжести Земли, g -- ускорение свободного падения, z -- высота. Или для плотности газа распределение (12) запишется как:
ρ=ρ0exp[−m0gzkT] (13).Выражение (13) называют барометрической формулой.
При выводе распределения Больцмана никаких ограничений для массы частицы не применялось. Следовательно, оно применимо и для тяжелых частиц. Если масса частицы велика, то показатель экспоненты быстро изменяется с высотой. Таким образом, сама экспонента быстро стремится к нулю. Для того, чтобы тяжелые частицы "не осели на дно", необходимо, чтобы их потенциальная энергия была малой. Это достигается в том случае, если частицы помещают, например, в плотную жидкость. Потенциальная энергия частицы U(h) на высоте h взвешенная в жидкости:
U(h)=V0(ρ−ρ0)gh (14),где V0- объем частиц, ρ- плотность частиц, ρ0 -- плотность жидкости, h -- расстояние (высота) от дна сосуда. Следовательно, распределение концентрации частиц взвешенных в жидкости:
n0(h)=n0(0)exp[−V0(ρ−ρ0)ghkT] (15).Для того, чтобы эффект был заметен, частицы должны быть малы. Визуально этот эффект наблюдают с помощью микроскопа.
Задание: В поле силы тяжести находятся два вертикальных сосуда с разными газами (водород при T1=200K и гелий при T2=400K). Сравнить плотности этих газов на высоте h, если на уровне h=0 плотности газов были одинаковы.
Решение:
В качестве основы для решения задачи используем барометрическую формулу:
ρ=ρ0exp[−m0gzkT] (1.1)Запишем (1.1) для водорода:
ρ1=ρ0exp[−mH2ghkT1] (1.2),где mH2=μH2NA , μH2 - молярная масса водорода, NA -- постоянная Авогадро.
Запишем (1.1) для гелия:
ρ2=ρ0exp[−mHeghkT2] (1.3),где mH2=μHeNA , μHe - молярная масса гелия.
Найдем отношение плотностей:
ρ1ρ2=exp[−μH2NA ghkT1] exp[−μHeNAghkT2] =expghkNA[−μH2T1+μHeT2]=expgh(μHeT1−μH2T2)kNAT1T2 (1.4).Подставим имеющиеся данные, вычислим отношения плотностей:
ρ1ρ2=expgh(4⋅200−2⋅400)kNA200⋅400=1Ответ: Плотности газов одинаковы.
Задание: Эксперименты с распределением взвешенных частиц в жидкости проводил, начиная с 1906 г., Ж.Б. Перрен. Он использовал распределение частиц гуммигута в воде для измерения постоянной Авогадро. При этом плотность частиц гуммигута составляла ρ=1,2⋅103кгм3, их объем V0=1,03⋅10−19м3. Температура, при которой проводился эксперимент, T=277K. Найдите высоту h, на которой плотность распределения гуммигута уменьшилась в два раза.
Рис. 1
Решение:
Используем распределение концентрации частиц, взвешенных в жидкости:
n0(h)=n0(0)exp[−V0(ρ−ρ0)ghkT] (2.1).Зная плотность воды ρ0=1000кгм3, имеем: V0(ρ−ρ0)=1,03•10−19(1,2−1)⋅103=0,22•10−16 (кг). Подставим полученный результат в (2.1):
n0(h1)=n0(0)exp[−V0(ρ−ρ0)gh1kT]Найдем
n0(h1)n0(h2)=exp−[V0(ρ−ρ0)gkT] ⋅[h1−h2]=2 (2.2)Прологарифмируем правую и левую части (2.2):
ln(2) =−[V0(ρ−ρ0)gkT] ⋅△h→△h=ln(2) kTV0(ρ−ρ0)g=ln(2) ⋅1,38⋅10−23⋅2770,22⋅10−16⋅9,8=Ответ: Плотность распределения гуммигута уменьшится в два раза при изменении высоты на 1,23 ⋅10−5м.