Как вычислить постоянную Больцмана
Коэффициент $k=1,38\cdot {10\ }^{-23}\frac{Дж}{K}$ - постоянная Больцмана - входит в большое количество формул физики. Назван он в честь австрийского физика Людвига Больцмана, который был одним из создателей молекулярно-кинетической теории. Постоянную Больцмана можно вычислить разными способами, что описаны в Википедии и энциклопедиях по физике. Приведем два из них.
Универсальный метод нахождения постоянной Больцмана
Используем уравнение состояния идеального газа, которое входит искомый коэффициент:
$p=nkT,\ \ \ p=\frac{N}{V}kT\ \left(1\right) $
Из опытов известно, что если нагревать газ (неважно какой) от $T_0$=273 K до $T_1$=373 K его давление изменится от $p_0=1,013\cdot {10}^5Па\ $ до $p_1=1,38\cdot {10}^5Па$. Опыт простой его можно провести, даже если в качестве газа использовать воздух. Температуру, измеряем термометром, а давление - манометром. При этом мы помним, что один моль любого газа содержит около $6\cdot {10}^{23}$ молекул и при давлении в одну атмосферу занимает объем V=22,4л. Зная вышеназванные параметры состояния системы, проведем расчет постоянной Больцмана. Для этого запишем уравнение (1) дважды, подставляя, параметры состояний:
$p_0=\frac{N}{V_0}kT_0$
$p_1=\frac{N}{V_1}kT_1$
$k=\frac{p_1V_1-p_0V_0}{N\left(T_1-T_0\right)}\ \left(2\right) $
Используем выше перечисленные данные, найдем значение $k$ по формуле:
$k=\frac{1,38\cdot {10}^5\cdot 22,4\cdot {10}^{-3}-1,013\cdot {10}^5\cdot 22,4\cdot {10}^{-3}}{6\cdot {10}^{23}\cdot 100}\approx 1,38\cdot {10}^{-23}\frac{Дж}{К}$
Второй метод нахождения постоянной Больцмана
Приведем еще один метод нахождения постоянной Больцмана с помощью маленького зеркала, подвешенного на упругой нити в воздухе. Пусть система воздух - зеркало находится в состоянии статического равновесия. Зеркало подвергается ударам со стороны молекул воздуха и ведет себя, по сути, как броуновская частица, но так как оно подвешено на нити, то мы будем наблюдать крутильные колебания этого зеркала вокруг оси, которая совпадает с вертикальной нитью - подвесом. Поверхность зеркала освещаем лучом света, отраженный луч будет ощутимо смещаться даже при небольших поворотах зеркала. Значит, эти крутильные колебания можно увидеть и измерить. Обозначим модуль кручения нити через$ L$, момент инерции зеркала относительно оси вращения - $J$, поворот зеркала характеризует угол $\varphi $. Тогда уравнение крутильных колебаний примет вид:
$J\ddot{\varphi }=-L\varphi \ \left(3\right) $
Минус в (3) означает то, что момент сил упругости направлен таким образом, что стремится вернуть зеркало в положение равновесия. Умножим обе части уравнения (3) на $\varphi $ и проведем интегрирование, получим:
$\frac{1}{2}J{\dot{\varphi }}^2+\frac{1}{2}L{\varphi }^2=Const\ \left(4\right) $
Уравнение (4) - закон сохранения энергии для колебаний (кинетическая энергия переходит в потенциальную и наоборот). Малые крутильные колебания можно считать гармоническими, поэтому:
$\frac{1}{2}J\left\langle {\dot{\varphi }}^2\right\rangle =\frac{1}{2}L\left\langle {\varphi }^2\right\rangle =\frac{1}{2}kT\ \left(5\right) $
Записывая в уравнении (5) последнюю его часть, мы использовали закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Из (5) легко получаем:
$\left\langle {\dot{\varphi }}^2\right\rangle =\frac{kT}L\ \left(6\right)$
Угол поворота, как уже отмечалось, можно измерить. Например, в опыте при $T\approx 290K,\ L\approx {10}^{-15}Н\cdot м$ $\left\langle {\varphi }^2\right\rangle \approx 4\cdot {10}^{-6}$. В таком случае несложно рассчитать значение$ k$:
$k=\frac{\left\langle {\varphi }^2\right\rangle L}{T}\approx \frac{4\cdot {10}^{-6}\cdot {10}^{-15}}{290}\approx 1,38\cdot {10}^{-23}\frac{Дж}{K}$
Из приведенного примера можно сделать вывод о том, что броуновское движение дает возможность вычислить, чему равен коэффициент Больцмана, измеряя макропараметры.
Значение постоянной Больцмана заключается в том, что она позволяет связать параметры, описывающие микромир, с параметрами макромира.
Так, например, она связывает среднюю энергию поступательного движения молекул с термодинамической температурой:
$\left\langle E\right\rangle =\frac{3}{2}kT\ \left(7\right) $
МКТ постоянная Больцмана входит в большинство уравнений. Среди них: уравнение состояния идеального газа, средняя энергия молекулы, распределение Максвелла - Больцмана, основное уравнение кинетической теории газов и др. Кроме того, постоянная Больцмана используется в определении энтропии. Она имеет роль в физике полупроводников, к примеру, входит в уравнение, которое устанавливает зависимость электропроводимости от температуры.
Задание:
Газ, состоящий из N-атомных молекул, имеет температуру Т, при которой у молекул возбуждены все степени свободы (поступательные, вращательные и колебательные). Найти среднюю энергию молекулы такого газа. Считать молекулы объемными.
Решение:
Согласно закону равномерного распределения энергии по степеням свободы на каждую степень свободы в среднем приходится одинаковая кинетическая энергия равная $\left\langle {\varepsilon }_i\right\rangle =\frac{1}{2}kT$. В таком случае, можно сказать, что средняя энергия молекулы $\left\langle \varepsilon \right\rangle $ равна:
$\left\langle \varepsilon \right\rangle =\frac{i}{2}kT\left(1.1\right) $
где $i=m_{post}+m_{vr}+2m_{kol}$ - сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного количества колебательных степеней свободы, $k$ - постоянная Больцмана, T- термодинамическая температура.
Для успешного решения задачи, в первую очередь определим количество степеней свободы молекулы:
$m_{post}=3$, $m_{vr}=3$, тогда $m_{kol}=3N-6$.
$i=6+6N-12=6N-6\ (1.2) $
$\left\langle \varepsilon \right\rangle =\frac{6N-6\ }{2}kT=(3N-3)kT$
Ответ: Средняя энергия молекулы такого газа $\left\langle \varepsilon \right\rangle =(3N-3)kT$.
Задание:
Плотность смеси двух разных идеальных газов при нормальных условиях $\rho $. Найти концентрацию атомов одного из газов в данной смеси. Считать, что молярные массы газов (${\mu }_1$, ${\mu }_2$), известны.
Решение:
Общая масса смеси равна:
$m=\rho V=N_1m_{01}+N_2m_{02}=n_1{Vm}_{01}+n_2{Vm}_{02}\to \rho =n_1m_{01}+n_2m_{02}\left(2.1\right) $
$m_{01}$ - масса молекулы первого газа, $m_{02}$ - масса молекулы второго газа, $n_1$- концентрация молекул первого газа, $n_2$- концентрация молекул второго газа, $\rho $ - плотность смеси.
Выразим концентрацию $n_1 $ из (2.1):
$n_1=\frac{\rho -n_2m_{02}}{m_{01}}\ \left(2.2\right) $
$n_2=n-n_1\to n_1=\frac{\rho -\left(n-n_1\right)m_{02}}{m_{01}}\to n_1=\frac{\rho -nm_{02}+n_1m_{02}}{m_{01}}\to$
$n_1m_{01}-n_1m_{02}=\rho -nm_{02}\to n_1{(m}_{01}-m_{02})=\rho -nm_{02}(2.3) $
Используем уравнение состояния идеального газа:
$p=nkT\to n=\frac{p}{kT}\left(2.4\right) $
Подставим (2.4) в (2.3), получим:
$n_1{(m}_{01}-m_{02})=\rho -\frac{p}{kT}m_{02}\to n_1=\frac{\rho -\frac{p}{kT}m_{02}}{{(m}_{01}-m_{02})}\ (2.5) $
В условии задачи сказано, что известны молярные массы газов (${\mu }_1$, ${\mu }_2$), следовательно, можно найти массы молекул $m_{01}$ и $m_{02}$.
$m_{01}=\frac{{\mu }_1}{N_A},\ m_{02}=\frac{{\mu }_2}{N_A}\ \left(2.6\right) $7
Кроме того, сказано, что газы находятся при нормальных условиях, это значит, что известны давление 1 атм. и температура около 290 К. Таким образом, можно считать, что задача решена.
Ответ: При заданных условиях концентрация одного из газов может быть рассчитана как $n_1=\frac{\rho -\frac{p}{kT}m_{02}}{{(m}_{01}-m_{02})},\ $где $m_{01}=\frac{{\mu }_1}{N_A},\ m_{02}=\frac{{\mu }_2}{N_A}.$
