Так как парциальное давление и парциальный объем -- понятия, относящиеся к смесям газов, определим сначала, что такое смесь идеальных газов. Итак, смесью газов, называется совокупность нескольких разных газов, невступающих в химическую реакцию при заданных условиях. При других условиях (например, повышении давления) те же газы могут химически реагировать. Смеси характеризуются такой физической величиной, как весовая концентрация $g_i$ i -- го газа, являющегося компонентом смеси, при этом:
где N -- общее количество разных газов в смеси,
и молярной концентрацией $x_i\ i-го$ газа в смеси, при этом:
где ${\nu }_i$- количество молей $i-го$ газа в смеси.
Что такое парциальное давление
Характеристикой состояния компоненты смеси идеальных газов является парциальное давление.
Парциальное давление $(p_{i\ })$ $i-го$ газа в смеси называется давление, которое создавал бы этот газ, если кроме него все остальные газы отсутствовали, но объем и температура остались неизменными.
где $V-\ $объем смеси, $T$- температура смеси. Здесь необходимо отметить, что вследствие равенства средних кинетических энергий молекул смесей можно говорить о равенстве температур всех компонент смесей в состоянии термодинамического равновесия.
Давление смеси идеальных газов p определяется по закону Дальтона:
\[p=\sum\limits^N_{i=1}{p_i}=\frac{RT}{V}\sum\limits^N_{i=1}{{\nu }_i}\ \left(4\right).\]Следовательно, парциальное давление, можно выразить как:
\[p_i=x_ip\ \left(5\right).\]Что такое парциальный объем
Другим важным параметром состояния смеси газов является парциальный объем.
Парциальным объемом $V_i$ $i-го$ газа в смеси называют тот объем, который имел бы газ, если бы из смеси убрали все остальные газы, при неизменной температуре и объеме:
\[V_i=н_i\frac{RT}{p}\left(6\right).\]Для смеси идеальных газов выполняется закон Амага:
\[V=\sum\limits^N_{i=1}{V_i}\left(7\right).\]Действительно, если из (6) выразить ${\nu }_i$ и подставить в (4), получим:
\[{\nu }_i=\frac{pV_i}{RT};;\ p=\frac{RT}{V}\frac{p}{RT}\sum\limits^N_{i=1}{V_i}\to V=\sum\limits^N_{i=1}{V_i}\]Парциальный объем можно рассчитать по формуле:
\[V_i=x_iV\ \left(8\right).\]Параметры состояния смеси идеальных газов подчиняются уравнению Менделеева -- Клайперона в следующем виде:
\[pV=\frac{m}{{\mu }_{sm}}RT\ \left(9\right),\]где все параметры в уравнении (9) относятся к смеси в целом.
Или уравнение (9) иногда удобнее записывать в таком виде:
\[pV=mR_{sm}T\ \left(10\right),\]где $R_{sm}=\frac{R}{{\mu }_{sm}}=R\sum\limits^N_{i=1}{\frac{g_i}{{\mu }_i}}$ -- удельная газовая постоянная смеси.
Задание: При 290 K в сосуде объемом 1$м^3$ содержится 0,5${\cdot 10}^{-3}$ кг водорода и 0,10${\cdot 10}^{-3}$ кг гелия. Найдите парциальное давление гелия и давление смеси.
Решение:
Найдем количество молей для каждой компоненты смеси, используя формулу:
\[{\nu }_i=\frac{m_i}{{\mu }_i}\ \left(1.1\right),\]тогда количество молей водорода в смеси, если с помощью таблицы Менделеева находим, что молярная масс водорода ${\mu }_{H_2}=2\cdot {10}^{-3}\frac{кг}{моль}$:
\[{\nu }_{H_2}=\frac{m_{H_2}}{{\mu }_{H_2}}\]Проведем расчет:
\[{\nu }_{H_2}=\frac{0,5{\cdot 10}^{-3}}{2\cdot {10}^{-3}}=0,25\ (моль)\]Аналогично рассчитаем ${\nu }_{He}\ ({\mu }_{He}=4\cdot {10}^{-3}\frac{кг}{моль}):$
\[{\nu }_{He}=\frac{0,10{\cdot 10}^{-3}}{4\cdot {10}^{-3}}=0,025\ \left(моль\right).\]Используем уравнение Менделеева -- Клайперона найдем парциальные давления каждой компоненты смеси:
\[p_iV={\nu }_iRT\ \left(1.2\right).\]Тогда давление водорода:
\[p_{H_2}V={\nu }_{H_2}RT\to \ p_{H_2}=\frac{{\nu }_{H_2}RT}{V}\left(1.3\right)\]Рассчитаем парциальное давление водорода:
\[p_{H_2}=\frac{0,25\cdot 8,31\cdot 290}{1}=602,5\ (Па)\]Аналогично найдем парциальное давление гелия:
\[p_{He}=\frac{0,025\cdot 8,31\cdot 290}{1}=60,25\ (Па)\]Давление смеси найдем как сумму давлений составляющих ее компонент:
\[p=p_{H_2}+p_{He}\ \left(1.4\right).\]Следовательно, давление смеси равно:
$p=602,5+60,25=662,75$ (Па)
Ответ: Парциальное давление гелия равно $60,25$ Па, давление смеси $662,75$ Па.
Задание: В состав смеси газов входят 0,5 кг $O_2$ и 1 кг $CO_2$. Определить объем, который займет смесь газов при давлении в одну атмосферу, если газы считать идеальными. Температуру смеси принять равной 300 К.
Решение:
Найдем массу смеси газов:
\[m=m_{O_2}+m_{CO_2}\left(2.1\right).\]Следовательно,
\[m=1+0,5=1,5\ \left(кг\right).\]Найдем массовые компоненты смеси $g_i$:
\[g_{O_2}=\frac{0,5}{1,5}=0,33\] \[g_{CO_2}=\frac{1}{1,5}=0,67\]Рассчитаем газовую постоянную смеси:
\[R_{sm}=R\sum\limits^N_{i=1}{\frac{g_i}{{\mu }_i}}\ (2.2)\] \[R_{sm}=8,31\left(\frac{0,33}{32\cdot {10}^{-3}}+\frac{0,67}{46\cdot {10}^{-3}}\right)=200\ \left(\frac{Дж}{кгК}\right)\]Выражение для объема смеси, полученное из уравнение Менделеева -- Клайперона:
\[V_{sm}=\frac{m_{sm}R_{sm}T_{sm}\ }{p_{sm}}\left(2.3\right)\]Проведем вычисления объема, учитывая, что p=1атм.=$\ {10}^5Па$:
\[V_{sm}=\frac{1,5\cdot 200\cdot 300}{{10}^5}=0,9\ м^3\]Ответ: Смесь занимает объем 0,9 $м^3.$
