Специфическим признаком, который позволяет физические системы и их свойства отнести к категории термодинамических -- это строение этих систем. Макросистемы состоят из большого числа частиц, движение которых очень сложное. Такие системы называют статистическими. К статистическим системам динамические методы описания состояния применить нельзя. В таких системах используют методы математической статистики: теорию вероятностей, тот раздел, который занимается приближенным описанием сложных систем с большой массой элементов. Статистические методы заведомо неточны, однако статистическая неопределённость тем меньше, чем большее число элементов образует систему.
Итак, существует два способа (метода) описания процессов, происходящих в макроскопических телах: статистический и термодинамический. Макроскопическим телом называют тело, состоящее из очень большого числа частиц (атомов или молекул).
Статистический метод
Статистический метод состоит в изучении свойств макроскопических систем на основе анализа, с помощью методов математической статистики, законов теплового движения большого числа частиц, образующих эти системы.
Раздел физики, который использует статистический метод, называется статистической физикой. Он посвящен изучению свойств образующих тело частиц и взаимодействий между ними. Статистическая физика изучает статистические закономерности, используя при этом вероятностные методы и объясняет свойства тел, наблюдаемые на опыте (такие как давление, температура), как результат суммарного действия отдельных частиц. Статистическая физика оперирует микропараметрами, которые относят к характеристикам отдельных частиц (скорость частицы, масса частицы и т.д.). Статистическая физика делится на статистическую термодинамику и физическую кинетику. Статистическая термодинамика исследует системы в состоянии равновесия, физическая кинетика изучает неравновесные процессы. Основной метод физической кинетики: решение кинетического уравнения Больцмана.
Термодинамический метод
Термодинамический метод состоит в изучении свойств системы взаимодействующих тел путем анализа условий и количественных соотношений происходящих в системе превращений энергий.
Эти вопросы изучает термодинамика. В основе термодинамики лежит небольшое количество фундаментальных законов (начал термодинамики), установленных путем обобщения опытных фактов. Термодинамический метод, в отличие от статистического, не связан с каким--либо конкретным представлением о внутреннем строении тел и характером движения отдельных частиц. Термодинамика оперирует макроскопическими величинами, которые характеризуют состояние системы в целом (давление, температура, объем и т.д.). Термодинамический метод используется для теоретического анализа общих закономерностей разнообразных явлений. В силу общности исходных предположений методы термодинамики обладают большой строгостью. В этом их достоинство. Термодинамика, именно из-за ее общности, часто не в состоянии вывести частные закономерности, характеризующие специфические свойства тех или иных конкретных физических систем. Роль дополнения выполняет молекулярно-кинетическая теория. Эта теория целиком опирается на статистические методы. Молекулярно-кинетическая теория исходит из модели молекулярного строения рассматриваемого объекта. Опираясь на механику (атомы рассматриваются как механические системы) и статистику, она выводит затем те или иные термодинамические закономерности. Главное ее достоинство - большая глубина объяснений, наблюдаемых свойств и явлений. Статистическая физика начинает изучение явлений с описания строения тел.
Разница между этими двумя методами касается не предмета изучения, а применяемых подходов. Термодинамика хотя и изучает статистические закономерности физических процессов, но строится по дедуктивному плану (наподобие механики) исходя из небольшого числа начальных принципов, в формулировке которых статистика никак не отражается.
Так как в макросистемах динамические методы описания не применяются, то возникает вопрос о способах описания таких систем. Движения микрочастиц описывается законами квантовой механики. Их положение в принципе не может быть предсказано, положение частицы в некоторой области является случайным событием. Поэтому необходим специальный математический аппарат. Так, в идеальном газе координаты и скорости отдельных молекул являются случайными величинами. Задача теории по предсказанию случайных событий сводится к нахождению количественной характеристики возможности наступления события, коей является вероятность.
Разделим объем, занятый идеальным газом, на две равные части. Пусть N -- число наблюдений, NA -- число наблюдений в которых «маркированная» частица находилась в правой части объема, А -- само событие. Тогда Вероятность наступления события А определяется формулой:
W(A)=limN→∞NAN (1).Вычисление вероятности с помощью формулы (1) и комбинаторных методов производится следующим образом: если испытание может приводить к N равным исходам и из этих исходов NA раз наступало событие А, то его вероятность дается формулой (1).
Если множество событий не является счетным, их описание осуществляется с помощью плотности вероятности. Представим замкнутый сосуд с газом, находящийся в неизменных внешних условиях. Молекулы в сосуде беспорядочно движутся. Разделим все пространство на небольшие объемы △Vi, i=1,2,… Число актов наблюдения N. При каждом акте наблюдения молекула окажется обнаруженной в каком-то объеме △Vi. Пусть при N актах наблюдения (N→∞) молекула обнаружена Ni раз в объеме △Vi. Тогда плотность вероятности определяется равенством:
f(x,y.z)=lim△Vi→∞W(△Vi)△Vi =lim△Vi→∞N→∞Ni△ViN(2) ,где x, y, z - координаты точки, к которой стягивается бесконечно малый объем △Vi.
Вероятность W(V1) для молекулы быть обнаруженной в объеме V1 равна:
W(V1)=N(V1)N0=∫V1f(x,y,z)dxdydz (3).Если в качестве V1 взять все пространство, то вероятность нахождения частицы равна 1:
∫V1→∞f(x,y,z)dxdydz=1 (4).Уравнение (4) называется условием нормировки плотности вероятности.
Если молекула находится в замкнутом объеме, то условие нормировки:
∫VfdV=1 (5)Рассмотрим событие, заключающееся в том, что частица находится либо в объеме V1, либо в объеме V2. Вероятность этого события:
W(V1+V2)=V1+V2V=W(V1)+W(V2) (6).Формула (6) выражает правило сложения вероятностей для взаимно исключающих друг друга событий.
Формула, выражающая вероятность совместного наступления событий имеет вид:
W(A+B)=W(A)+W(B)−W(AB) (7),где W(AB)=NABN -- вероятность совместного наступления событий A и B.
Вероятность наступления события A при условии, что произошло событие B, называется условной вероятностью:
W(AB)=NABNB=W(AB)W(B)(8).(8) -- формула умножения вероятностей.
Для независимых событий:
W(AB)=W(A)W(B)(9).Важное значение в статистической физике имеет понятие средней дискретной величины. Если случайная величина X принимает ряд значений: x1,x2,…xn , то ее среднее значение определяется равенством:
⟨x⟩=1NN∑i=1xi=∑jWjxj(10)где Wj- вероятность того, что X принимает значение xj.
Для непрерывно изменяющейся величины среднее значение находят по формуле:
⟨x⟩=∫∞−∞xf(x)dx (11),где f(x)- плотность вероятности распределения величины x.
Задание: В урне имеется n=30 черных и m=10 белых шаров одинаковых между собой (за исключением цвета). Шары перемешаны. Найти вероятность извлечения черного и белого шаров из ящика при одном испытании. Проверить условие выполнения нормировки.
рис.1
Решение: Так как обстоятельства, которые обеспечивали бы предпочтительные условия для извлечения какого-либо конкретного шара, отсутствуют, вероятность извлечения при испытании для всех шаров одинакова и равна 1/ (m+n). Следовательно, используем формулу сложения вероятности (для черного шара):
W(bl)=1m+n+1m+n+⋯+1m+n=nn+m=0,75Аналогично для белого шара:
W(w)=mn+m=0,25Так как эти два события составляют полный набор возможных результатов испытания, то должно выполняться условие нормировки вероятности.
W(bl)+W(w)=0,75+0,25=1Ответ: Вероятность извлечения черного шара -- 0,75, вероятность извлечения белого шара 0,25. Условие нормировки выполняется.
Задание: Найти средний возраст работников в коллективе, если распределение работников по возрасту:
Средний возраст должен представлять собой результат равномерного распределения общего (суммарного) возраста всех работников. Общий (суммарный) возраст всех людей согласно исходной информации табл. 1, можно получить как сумму произведений значений признака в каждой группе Xi, на число человек с таким возрастом fi (частоты). Получим формулу:
=N∑i=1XifiN∑i=1fi (2.1),где i -- число групп.
Проведем расчет:
=17⋅3+18⋅5+19⋅7+20⋅4+21⋅221=39621=≈18,86 ( лет)Ответ: Средний возраст работников в коллективе 18,86 лет.