Специфическим признаком, который позволяет физические системы и их свойства отнести к категории термодинамических -- это строение этих систем. Макросистемы состоят из большого числа частиц, движение которых очень сложное. Такие системы называют статистическими. К статистическим системам динамические методы описания состояния применить нельзя. В таких системах используют методы математической статистики: теорию вероятностей, тот раздел, который занимается приближенным описанием сложных систем с большой массой элементов. Статистические методы заведомо неточны, однако статистическая неопределённость тем меньше, чем большее число элементов образует систему.
Итак, существует два способа (метода) описания процессов, происходящих в макроскопических телах: статистический и термодинамический. Макроскопическим телом называют тело, состоящее из очень большого числа частиц (атомов или молекул).
Статистический метод
Статистический метод состоит в изучении свойств макроскопических систем на основе анализа, с помощью методов математической статистики, законов теплового движения большого числа частиц, образующих эти системы.
Раздел физики, который использует статистический метод, называется статистической физикой. Он посвящен изучению свойств образующих тело частиц и взаимодействий между ними. Статистическая физика изучает статистические закономерности, используя при этом вероятностные методы и объясняет свойства тел, наблюдаемые на опыте (такие как давление, температура), как результат суммарного действия отдельных частиц. Статистическая физика оперирует микропараметрами, которые относят к характеристикам отдельных частиц (скорость частицы, масса частицы и т.д.). Статистическая физика делится на статистическую термодинамику и физическую кинетику. Статистическая термодинамика исследует системы в состоянии равновесия, физическая кинетика изучает неравновесные процессы. Основной метод физической кинетики: решение кинетического уравнения Больцмана.
Термодинамический метод
Термодинамический метод состоит в изучении свойств системы взаимодействующих тел путем анализа условий и количественных соотношений происходящих в системе превращений энергий.
Эти вопросы изучает термодинамика. В основе термодинамики лежит небольшое количество фундаментальных законов (начал термодинамики), установленных путем обобщения опытных фактов. Термодинамический метод, в отличие от статистического, не связан с каким--либо конкретным представлением о внутреннем строении тел и характером движения отдельных частиц. Термодинамика оперирует макроскопическими величинами, которые характеризуют состояние системы в целом (давление, температура, объем и т.д.). Термодинамический метод используется для теоретического анализа общих закономерностей разнообразных явлений. В силу общности исходных предположений методы термодинамики обладают большой строгостью. В этом их достоинство. Термодинамика, именно из-за ее общности, часто не в состоянии вывести частные закономерности, характеризующие специфические свойства тех или иных конкретных физических систем. Роль дополнения выполняет молекулярно-кинетическая теория. Эта теория целиком опирается на статистические методы. Молекулярно-кинетическая теория исходит из модели молекулярного строения рассматриваемого объекта. Опираясь на механику (атомы рассматриваются как механические системы) и статистику, она выводит затем те или иные термодинамические закономерности. Главное ее достоинство - большая глубина объяснений, наблюдаемых свойств и явлений. Статистическая физика начинает изучение явлений с описания строения тел.
Разница между этими двумя методами касается не предмета изучения, а применяемых подходов. Термодинамика хотя и изучает статистические закономерности физических процессов, но строится по дедуктивному плану (наподобие механики) исходя из небольшого числа начальных принципов, в формулировке которых статистика никак не отражается.
Так как в макросистемах динамические методы описания не применяются, то возникает вопрос о способах описания таких систем. Движения микрочастиц описывается законами квантовой механики. Их положение в принципе не может быть предсказано, положение частицы в некоторой области является случайным событием. Поэтому необходим специальный математический аппарат. Так, в идеальном газе координаты и скорости отдельных молекул являются случайными величинами. Задача теории по предсказанию случайных событий сводится к нахождению количественной характеристики возможности наступления события, коей является вероятность.
Разделим объем, занятый идеальным газом, на две равные части. Пусть N -- число наблюдений, $N_A$ -- число наблюдений в которых «маркированная» частица находилась в правой части объема, А -- само событие. Тогда Вероятность наступления события А определяется формулой:
\[W\left(A\right)={\mathop{lim}_{N\to \infty } \frac{N_A}{N}\ }\ \left(1\right).\]Вычисление вероятности с помощью формулы (1) и комбинаторных методов производится следующим образом: если испытание может приводить к N равным исходам и из этих исходов $N_A$ раз наступало событие А, то его вероятность дается формулой (1).
Если множество событий не является счетным, их описание осуществляется с помощью плотности вероятности. Представим замкнутый сосуд с газом, находящийся в неизменных внешних условиях. Молекулы в сосуде беспорядочно движутся. Разделим все пространство на небольшие объемы $\triangle V_i,\ i=1,2,\dots $ Число актов наблюдения N. При каждом акте наблюдения молекула окажется обнаруженной в каком-то объеме $\triangle V_i.$ Пусть при N актах наблюдения ($N\to \infty )\ $молекула обнаружена $N_i\ $ раз в объеме $\triangle V_i.$ Тогда плотность вероятности определяется равенством:
\[f\left(x,y.z\right)={\mathop{lim}_{\triangle V_i\to \infty } \frac{W(\triangle V_i)}{\triangle V_i}\ }={\mathop{lim}_{ \begin{array}{c} \triangle V_i\to \infty \\ N\to \infty \end{array} } \frac{N_i}{\triangle V_iN}\left(2\right)\ },\]где x, y, z - координаты точки, к которой стягивается бесконечно малый объем $\triangle V_i$.
Вероятность $W\left(V_1\right)$ для молекулы быть обнаруженной в объеме $V_1$ равна:
\[W\left(V_1\right)=\frac{N\left(V_1\right)}{N_0}=\int\nolimits_{V_1}{f\left(x,y,z\right)}dxdydz\ \left(3\right).\]Если в качестве $V_1$ взять все пространство, то вероятность нахождения частицы равна 1:
\[\int\nolimits_{V_1\to \infty }{f\left(x,y,z\right)}dxdydz=1\ \left(4\right).\]Уравнение (4) называется условием нормировки плотности вероятности.
Если молекула находится в замкнутом объеме, то условие нормировки:
\[\int\nolimits_V{f}dV=1\ \left(5\right)\]Рассмотрим событие, заключающееся в том, что частица находится либо в объеме $V_1$, либо в объеме $V_2$. Вероятность этого события:
\[W\left(V_1+V_2\right)=\frac{V_1+V_2}{V}=W\left(V_1)+W(V_2\right)\ \left(6\right).\]Формула (6) выражает правило сложения вероятностей для взаимно исключающих друг друга событий.
Формула, выражающая вероятность совместного наступления событий имеет вид:
\[W\left(A+B\right)=W\left(A\right)+W\left(B\right)-W\left(AB\right)\ \left(7\right),\]где $W\left(AB\right)=\frac{N_{AB}}{N}$ -- вероятность совместного наступления событий A и B.
Вероятность наступления события A при условии, что произошло событие B, называется условной вероятностью:
\[W\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{N_{AB}}{N_B}=\frac{W(AB)}{W(B)}\left(8\right).\](8) -- формула умножения вероятностей.
Для независимых событий:
\[W\left(AB\right)=W\left(A\right)W\left(B\right)\left(9\right).\]Важное значение в статистической физике имеет понятие средней дискретной величины. Если случайная величина X принимает ряд значений: $x_1,x_2,\dots x_n\ $, то ее среднее значение определяется равенством:
\[\left\langle x\right\rangle =\frac{1}{N}\sum\limits^N_{i=1}{ \begin{array}{c} \\ x_i \end{array} }=\sum\limits_j{W_jx_j}\left(10\right)\]где $W_j$- вероятность того, что X принимает значение $x_j$.
Для непрерывно изменяющейся величины среднее значение находят по формуле:
\[\left\langle x\right\rangle =\int\nolimits^{\infty }_{-\infty }{xf\left(x\right)dx\ \left(11\right),}\]где $f\left(x\right)$- плотность вероятности распределения величины x.
Задание: В урне имеется n=30 черных и m=10 белых шаров одинаковых между собой (за исключением цвета). Шары перемешаны. Найти вероятность извлечения черного и белого шаров из ящика при одном испытании. Проверить условие выполнения нормировки.
рис.1
Решение: Так как обстоятельства, которые обеспечивали бы предпочтительные условия для извлечения какого-либо конкретного шара, отсутствуют, вероятность извлечения при испытании для всех шаров одинакова и равна 1/ (m+n). Следовательно, используем формулу сложения вероятности (для черного шара):
\[W\left(bl\right)=\frac{1}{m+n}+\frac{1}{m+n}+\dots +\frac{1}{m+n}=\frac{n}{n+m}=0,75\]Аналогично для белого шара:
\[W\left(w\right)=\frac{m}{n+m}=0,25\]Так как эти два события составляют полный набор возможных результатов испытания, то должно выполняться условие нормировки вероятности.
\[W\left(bl\right)+W\left(w\right)=0,75+0,25=1\]Ответ: Вероятность извлечения черного шара -- 0,75, вероятность извлечения белого шара 0,25. Условие нормировки выполняется.
Задание: Найти средний возраст работников в коллективе, если распределение работников по возрасту:
Средний возраст должен представлять собой результат равномерного распределения общего (суммарного) возраста всех работников. Общий (суммарный) возраст всех людей согласно исходной информации табл. 1, можно получить как сумму произведений значений признака в каждой группе Xi, на число человек с таким возрастом fi (частоты). Получим формулу:
\[=\frac{\sum\limits^N_{i=1}{X_if_i}}{\sum\limits^N_{i=1}{f_i}}\ \left(2.1\right),\]где i -- число групп.
Проведем расчет:
\[=\frac{17\cdot 3+18\cdot 5+19\cdot 7+20\cdot 4+21\cdot 2}{21}=\frac{396}{21}=\approx 18,86\ (\ лет)\]Ответ: Средний возраст работников в коллективе $18,86\ \ лет.$
