Что такое диффузия и коэффициент диффузии
Диффузией называется обусловленное тепловым движением выравнивание концентраций в смеси нескольких веществ.
Этот процесс наблюдается в газообразных, жидких и твердых средах. Пpи диффузии газов речь идет о проникновении одного газа в другой за счет теплового движения. Пpи диффузии переносится масса некоторого компонента в смеси газов. Опыт показывает, что плотность потока диффузии (число диффундирующих молекул в секунду через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно потоку диффузии) пропорциональна градиенту молекулярной плотности данного компонента смеси. То есть:
jd=−Ddndx(1),где D -- коэффициент диффузии. Плотность потока концентрации частиц пропорциональна производной dndx -- проекции градиента концентрации на ось Ox (часто эту производную называют градиентом -- это не совсем правильно, так как градиент векторная величина).
Вследствие теплового движения возникает поток молекул каждой компоненты в направлении убывания ее концентрации. Экспериментально установлено, что поток молекул i- ой компоненты через перпендикулярную к оси Ox поверхность S определяется уравнением:
Ni==−DdnidxS(2).Знак минус обусловлен тем, что поток направлен в сторону убывания концентрации. Умножив (2) на массу молекулы i-й компоненты mi, получим уравнение диффузии для потока массы i-й компоненты:
Mi=−DdρidxS(3),где ρi=nimi -- парциальная плотность i - компоненты (ее можно называть абсолютной концентрацией). Явление диффузии в одномерном случае в двухкомпонентной системе называется первым законом Фика (3). Уравнение (3) получено эмпирическим путем.
Получим коэффициент диффузии, исходя из представлений МКТ о явлениях переноса в газах. Рассмотрим двухкомпонентную смесь. Будем предполагать, что молекулы газа движутся только в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Отступая от единичной площадки М на длину свободного пробега вправо и влево, построим куб единичного объема. В среднем одна шестая часть молекул этих кубиков летит по направлению к площадке. В соответствии с этим количество молекул, пролетающих через единичную воображаемую площадку в единицу времени:
ν=16n⟨v⟩ (4),где ⟨v⟩ - средняя скорость молекул.
При небольших нарушениях процессов равновесия считаем, что:
dndλλ≪n,где λ -- длина свободного пробега молекулы. Молекулы обеих компонент мало отличаются по массе m1≈m2≈m, имеют одинаковые эффективные сечения σ1≈σ2≈σ. При этих условиях молекулы обеих компонент имеют одинаковые средние скорости ⟨v⟩, а длину свободного пробега можно вычислять по формуле:
λ=1√2σn, n=n1+n2(5).Чем реже сталкиваются молекулы, и чем выше их скорость, тем диффузия проходит интенсивнее, поэтому запишем:
D∼⟨v⟩λ(6).Обозначим число молекул первой компоненты, пролетающих в единицу времени сквозь воображаемую поверхность S в направлении оси Ox, через N′1, для противоположного направления N″1. N′1−N″1=N1 -- поток частиц первого вещества через поверхность S. Используем (4), получим:
N′1=16n′1⟨v⟩S,N′2=16n′2⟨v⟩S (7),n′1- «эффективная концентрация» первой компоненты слева от S, n′2- «эффективная концентрация» первой компоненты справа от S. Через поверхность S пролетают молекулы, которые свое последнее соударение претерпели на расстоянии л от нее (в среднем). Поэтому:
n′1=n1(x−л), n′2=n2(x+λ)(8).Используем формулу (7):
N1=16⟨v⟩S[n1(x−λ)−n1(x+λ)](9).Так как λ- очень мала, n1(x−λ)−n1(x+λ)=−dn1dx2λ(10).
Подставим (10) в (9):
N1=−(13⟨v⟩λ)dn1dxS(11).Так, мы получили уравнение диффузии для первой компоненты, кроме того, сравнив (11) с (2), получим:
D=13⟨v⟩λ (12).Так как мы предположили, что массы молекул обеих компонент по массе и эффективному сечению равны, то, вообще говоря, мы имеем дело с самодиффузией (диффузией молекул газа между молекулами того же газа).
Задание: В вакууме находится сосуд объемом V заполненный воздухом, температура которого постоянна, в некоторый момент времени (t=0) в сосуде образовалось очень маленькое отверстие, и газ стал вытекать. N0-начальное число молекул, ⟨v⟩ -- средняя скорость молекул. Найти закон изменения числа молекул в сосуде N(t).
рис. 1
Решение:
Запишем уравнение плотности потока концентрации:
jd=−Ddndx(1.1),где
D=16⟨λ⟩⟨v⟩→jd=−16⟨λ⟩⟨v⟩n⟨λ⟩S=16n⟨v⟩S(1.2)По условиям задачи при t=0 начальное число молекул N0, следовательно:
N0=С, N=N0e−16⟨v⟩VStИзобразим график закона изменения числа молекул в сосуде.
рис. 2
Ответ: Закон изменения числа молекул в сосуде N(t)= Ce−16⟨v⟩VSt изображен на рис.1.
Задание: Найдите коэффициент диффузии D воздуха при давлении p и температуре T. Диаметр молекулы воздуха d.
Решение:
Запишем выражение для коэффициента диффузии:
D=13⟨v⟩λ(2.1),где
⟨v⟩=√8RTπμ(2.2)Длина свободного пробега молекулы ((σ=πd2), σ -- эффективное сечение молекулы):
л=1√2σn=1√2πd2n(2.3)Из основного уравнения МКТ (p=nkT), имеем:
n=pkT→λ=kT√2πd2p(2.4)Используем (2.2) и (2.5), подставим в (2.1), получим:
D=13√8RTπμkT√2πd2pОтвет: Коэффициент диффузии воздуха D=13√8RTπμkT√2πd2p.