Мгновенная скорость

Средняя скорость

Если тело перемещается неравномерно, то описывая его движение в качестве одного из параметров можно воспользоваться средней скоростью движения на отдельных отрезках пути. Но такое описание дает очень приближенную, грубую характеристику перемещения. Поскольку находя средние скорости, мы проводим замену неравномерного движения на движение с постоянной скоростью на избранных отрезках пути, думая, что скорость изменяется скачкообразно при переходе от одного отрезка времени к другому. Графиком пути, отражающем перемещение тела, с постоянной скоростью, отличающейся на разных временных отрезках, станет ломаная линия, имеющая звенья с различным наклоном.

Допустим, что материальная точка перемещается вдоль прямой линии, которая не совпадает с осями координат. При этом ее положение определяет радиус- вектор $\vec r_1$, соответствующий моменту времени $t_1$. В момент времени $t_2$ положение материальной точки в пространстве определяет вектор $\vec r_2$.

Вектор перемещения нашей материальной точки определим как:

$\Delta \vec r=\vec r_2-\vec r_1(1).$

Из формулы (2) видно, что в ней происходит деление вектора на скаляр, в результате мы имеем вектор, направление которого совпадает с направлением вектора перемещения.

Векторы скорости и перемещения обладают одинаковыми направлениями.

Переход от средней скорости к мгновенной скорости

В выражении (2) средняя скорость найдена для отрезка времени, равного $\Delta t$. Разделим данный временной отрезок на более мелкие. Если материальная точка перемещается неравномерно, то вновь найденные средние скорости будут отличаться, от средней скорости для всего отрезка $\Delta t$. Уменьшим временной отрезок $\Delta t$, станут меньше и отрезки времени внутри него. Средние скорости в уменьшенных промежутках времени будут отличаться от средней скорости на всем отрезке времени, но величина различия станет меньше.

Устремим рассматриваемый промежуток времени к нулю (∆t→0), средняя скорость при этом устремится к предельному значению, которое называют мгновенной скоростью.

Если тело перемещается равномерно, то мгновенная скорость его движения в каждый момент времени совпадает со скоростью этого движения. Говорят, что мгновенная скорость равномерного движения является постоянной.

Мгновенная скорость неравномерного перемещения – это переменный параметр, который принимает разные значения для разных моментов времени. При этом мгновенную скорость можно считать изменяющейся непрерывно на всем отрезке времени, на котором рассматривается движение.

Мгновенную скорость в каждый момент времени можно определить как тангенс угла наклона касательной к кривой – траектории движения в рассматриваемой точке.

Компоненты вектора мгновенной скорости в декартовой системе координат

В декартовой системе координат радиус-вектор запишем как:

$\vec r(t)=x(t)\vec i+y(t)\vec j+z(t)\vec k (4)$,

принимая во внимание, что единичные орты ($\vec i ; \vec j; \vec k$) не изменяются во времени, и используя определение мгновенной скорости (3), получаем:

$\vec v(t)=\frac{dx}{dt}\vec i+\frac{dy}{dt}\vec j+\frac{dz}{dt}\vec k (5).$

Из формулы (5) мы видим, что составляющие вектора скорости в декартовой системе координат задаются выражениями:

$ v_x=\frac{dx}{dt} (6),$

$ v_y=\frac{dy}{dt} (7),$

$ v_z=\frac{dz}{dt} (8).$

При этом величину мгновенной скорости можно найти как:

$ v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2 (9).$

Направление мгновенной скорости

Будем описывать движение материальной точки через параметры траектории. При этом нам известны траектория движения точки и связь пути ($s$) и времени $t$. Путь отмеряется по траектории, от точки траектории, которую мы принимаем за начальную. При этом любая точка траектории характеризуется собственной величиной $s$. Из сказанного выше следует, что радиус-вектор – это функция от $s$, траекторию зададим уравнением:

$\vec r = \vec r(s)(10)$.

Получаем, что в определении мгновенной скорости (3) мы можем считать радиус – вектор как сложную функцию ($\vec r(s(t))$). При этом ее производную найдем, применяя правило дифференцирования сложной функции:

$\vec v=\frac{d\vec r}{dt}=\frac{d\vec r}{ds}\frac{ds}{dt}(11)$,

где по определению мгновенной скорости ее величина равна: $v=\frac{ds}{dt}$.

Обозначим $\Delta s$ - расстояние между парой точек по траектории; $|\Delta \vec r|$– расстояние между рассматриваемыми точками по кратчайшему расстоянию (прямой). При сближении наших точек разница между $\Delta s$ и $|\Delta \vec r|$ уменьшается, запишем:

$\frac{d\vec r}{ds}=\lim_{\Delta s\to 0} (\frac {\Delta \vec r}{\Delta s})=\lim_{\Delta s\to 0}(\frac{\Delta \vec r}{|\Delta r|}\frac {|\Delta r|}{\Delta s})=\vec \tau (12).$

где $\vec \tau$ - единичный вектор, являющийся касательным к траектории движения точки.

Принимая во внимание сказанное выше выражение (12) для мгновенной скорости можно записать как:

$\vec v=v\vec \tau$(13).

Из формулы (13) становится очевидно, что мгновенная скорость направлена по касательной к траектории движения материальной точки.

Рассматривая направления мгновенной скорости движения материальной точки подчеркнем, что:

1. Мгновенная скорость материальной точки перемещающейся по прямой - это вектор, который направлен по траектории ее движения.
2. При перемещении материальной точки по криволинейной траектории вектор мгновенной скорости имеет направление по касательной к траектории движения точки.

Скорость при равнопеременном движении

Самым простым способом неравномерного движения является равнопеременное перемещение тела, движение с постоянным ускорением. Это движение бывает:

• равноускоренным, если скорость и ускорение имеют одинаковые направления, при этом величина скорости увеличивается;
• равнозамедленное, при противоположном направлении скорости и ускорения, в этом случае скорость по модулю уменьшается.

При равнопеременном движении скорость в любой момент времени можно вычислить, если использовать выражение:

$\vec v(t)=\vec v_0+\vec a \bullet t (14),$

где $\vec v_0$ - начальная скорость движения точки; $\vec a$ - постоянное ускорения точки.