Электронная теория проводимости
Интерпретация разных свойств вещества с точки зрения движения и существования электронов является содержанием электронной теории. Эту теорию создал Друде, а доработал Лоренц. Он исходил из того, что электроны в металле ведут себя как молекулы идеального газа. В классической теории металлов считают, что движение электрона описывают законы Ньютоновой механики.
В этой теории считают, что взаимодействие электронов между собой несущественно, а взаимодействие ионов и электронов осуществляется только как соударения.
В промежутках между соударениями электроны движутся свободно, проходя в среднем путь λ. Взаимодействия электронов и ионов (их соударения) ведут к тому, что кристаллическая решетка и электронный газ приходят в состояние теплового равновесия. На электронный газ Друде распространил результаты кинетической теории газов.
Так, например, среднюю скорость движения электронов делают в соответствии с формулой:
⟨v⟩=√8kTπme(1),где k -- постоянная Больцмана, me -- масса электрона.
В том случае, если проводник находится во внешнем электрическом поле, то на тепловое движение электронов накладывается упорядоченное движение с некоторой скоростью ⟨u⟩. Размер этой скорости можно оценить из формулы:
j=nqe⟨u⟩(2),где n -- концентрация свободных электронов, qe -- величина заряда электрона, j -- плотность тока. Расчеты показывают, что ⟨u⟩≈10−3мс, тогда как ⟨v⟩≈105мс . Получается, что при больших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения электронов в 108 раз меньше, чем их средняя скорость хаотического движения. Следовательно, если требуется вычислить модуль суммарной скорости, то полагают, что:
|→v+→u|≈|→v|(3).Определим, насколько внешнее электрическое поле изменяет среднее значение кинетической энергии электронов. Средний квадрат суммарной скорости равен:
⟨(→v+→u)2⟩=⟨v2+2→v⋅→u+u2⟩=⟨v2⟩+⟨2→v⋅→u⟩+⟨u2⟩(4),То, что электроны будут иметь скорость теплового движения равную ⟨v⟩, а скорость упорядоченного движения составит ⟨u⟩ -- независимые события, следовательно, из теоремы об умножении вероятностей можно записать, что:
⟨→v⋅→u⟩=⟨→v⟩⋅⟨→u⟩(5).Но мы знаем, что ⟨→v⟩=0, значит выражение (4) примет вид:
⟨(→v+→u)2⟩=⟨v2⟩+⟨u2⟩(6).Можно сделать вывод о том, что наложение внешнего поля увеличивает кинетическую энергию электронов в среднем на величину, равную:
⟨△Wk⟩=me⟨u2⟩2(7).Друде считал, что при соударении электрона с ионом, энергия, представленная в выражении (7) передается от электрона иону, при этом скорость электрона после удара становится равной нулю. Исходя из этой предпосылки Друде получал закон Ома в виде:
j=nqe2λ2mevE (8),где величина, которая стоит перед напряженностью электрического поля (E), есть не что иное, как коэффициент удельной проводимости (σ), равный:
σ=nqe2λ2mev(9).Поучилось, что по классической электронной теории электросопротивление металлов вызвано соударениями электронов об ионы, в узлах кристаллической решетки.
Также, классическая теория объяснила закон Джоуля -- Ленца. Опять - таки, соударениями электронов с ионами решетки, и выделением тепла в их результате.
Эта теория дала качественное толкование закона Видемана -- Франца исходя из посыла о том, что теплопередача осуществляется в металле не кристаллической решеткой, а свободными электронами и рассматривая эти электроны как одноатомный газ. При этом было использовано выражение для коэффициента теплопроводности из кинетической теории газов.
Однако эта теория не смогла объяснить все явления связанные с поведением металлов в электрических полях. Так, например, не было дано объяснение того, что электросопротивление металлов растет пропорционально температуре в первой степени. Следующая серьезная проблема, с которой столкнулась классическая теория электронной проводимости, было объяснение того, что теплоемкость металлов несущественно отличается от теплоемкости неметаллических кристаллов (тогда как согласно классической теории получалось, что молярная теплоемкость металла должна быть в 1,5 раза больше, чем у диэлектриков).
Опыты Толмена и Стюарта
Прямое доказательство того, что электрический ток в металлах вызван движением электронов было сделано в опытах Толмена и Стюарта (1916 г.). Идея этих опытов была выдвинута Мандельштамом и Папалески еще в 1913 г.
Проводящая катушка может вращаться вокруг своей оси. Концы катушки замыкают на гальванометр посредством скользящих контактов. Катушку, вращающуюся с высокой скоростью, резко тормозят. При этом свободные электроны продолжают по инерции двигаться. Гальванометр регистрирует импульс тока.
Если через ˙v обозначить линейное ускорение катушки в момент торможения (оно направлено по касательной к поверхности катушки, а при плотной намотке и тонких проводах можно положить, что ускорение направлено вдоль проводов), при торможении каждому свободному электрону приложена сила инерции (Fi), направленная противоположно ускорению, равная:
Fi=−me˙v (10),где me -- масса электрона. Под воздействием силы Fi электрон ведет себя так, как на него действовало бы поле (Eef):
Eef=−me˙vqe(11).Следовательно, ЭДС в катушке может быть записана как:
Eef=∫LEefdl=−me˙vqe∫Ldl==−me˙vqeL (12),где L -- длина провода на катушке. Считаем, что все токи провода тормозятся с одним ускорением. Закон Ома для нашей цепи можно записать в виде:
IR=−me˙vqeL (13),где I -- сила тока в цепи, R -- полное сопротивление цепи. Заряд, который протекает по цепи за время dt, будет равен:
dq=Idt=−meLdvqeRdt dt=−meLdvqeR(14).В таком случае за время торможения от скорости v(t=0)=v0 до остановки, через гальванометр пройдет заряд, равный:
q=−meLqeR0∫v0dv=meLqeRv0(15).В опыте величину q находили по показаниям гальванометра, L, R, v0 были известны. Следовательно, можно найти знак и величину qeme. Опыты показали, что найденное отношение соответствует отношению заряда электрона к его массе. Так, доказано, что ток, который проходит через гальванометр, вызван движением электронов.
Задание: Вычислите среднюю скорость теплового движения электронов при T=300K.
Решение:
Так как электронный газ подчиняется тем же законам, что идеальный газ, то среднюю скорость вычислим используя формулу:
⟨v⟩=√8kTπme(1.1),Проведем вычисления:
⟨v⟩=√8⋅1,38⋅10−23⋅3003,14⋅9,1⋅10−31≈105(мс).Ответ: ⟨v⟩≈105мс.
Задание: Вычислите скорость упорядоченного движения электронов, если металл находится в электрическом поле. Сравните ее со средней скоростью теплового движения электронов в медных проводах, если предельная допустимая плотность тока для них равна 107Ам2, концентрация электронов меди n=1029м−3.
Решение:
Используем формулу для вычисления плотности тока:
j=nqe⟨u⟩(2.1).Скорость упорядоченного движения электронов выразим как:
⟨u⟩=jnqe(2.2),где qe=1,6•10−19Кл.
Проведем вычисления:
⟨u⟩=1071029⋅1,6⋅10−19≈10−3(мс).Используем результат, полученный в примере 1, получим, что отношение (⟨v⟩⟨u⟩)=108.
Ответ: ⟨u⟩=10−3мс, ⟨v⟩⟨u⟩=108.