Электронная теория проводимости
Интерпретация разных свойств вещества с точки зрения движения и существования электронов является содержанием электронной теории. Эту теорию создал Друде, а доработал Лоренц. Он исходил из того, что электроны в металле ведут себя как молекулы идеального газа. В классической теории металлов считают, что движение электрона описывают законы Ньютоновой механики.
В этой теории считают, что взаимодействие электронов между собой несущественно, а взаимодействие ионов и электронов осуществляется только как соударения.
В промежутках между соударениями электроны движутся свободно, проходя в среднем путь $\lambda $. Взаимодействия электронов и ионов (их соударения) ведут к тому, что кристаллическая решетка и электронный газ приходят в состояние теплового равновесия. На электронный газ Друде распространил результаты кинетической теории газов.
Так, например, среднюю скорость движения электронов делают в соответствии с формулой:
\[\left\langle v\right\rangle =\sqrt{\frac{8kT}{\pi m_e}}\left(1\right),\]где $k$ -- постоянная Больцмана, $m_e$ -- масса электрона.
В том случае, если проводник находится во внешнем электрическом поле, то на тепловое движение электронов накладывается упорядоченное движение с некоторой скоростью $\left\langle u\right\rangle .$ Размер этой скорости можно оценить из формулы:
\[j=nq_e\left\langle u\right\rangle \left(2\right),\]где $n$ -- концентрация свободных электронов, $q_e$ -- величина заряда электрона, $j$ -- плотность тока. Расчеты показывают, что $\left\langle u\right\rangle \approx {10}^{-3}\frac{м}{с}$, тогда как $\left\langle v\right\rangle \approx {10}^5\frac{м}{с}$ . Получается, что при больших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения электронов в ${10}^8$ раз меньше, чем их средняя скорость хаотического движения. Следовательно, если требуется вычислить модуль суммарной скорости, то полагают, что:
\[\left|\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\right|\approx \left|\overrightarrow{v}\right|\left(3\right).\]Определим, насколько внешнее электрическое поле изменяет среднее значение кинетической энергии электронов. Средний квадрат суммарной скорости равен:
\[\left\langle {\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\right)}^2\right\rangle =\left\langle v^2+2\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u}+u^2\right\rangle =\left\langle v^2\right\rangle +\left\langle 2\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u}\right\rangle +\left\langle u^2\right\rangle \left(4\right),\]То, что электроны будут иметь скорость теплового движения равную $\left\langle v\right\rangle ,\ $а скорость упорядоченного движения составит $\left\langle u\right\rangle $ -- независимые события, следовательно, из теоремы об умножении вероятностей можно записать, что:
\[\left\langle \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u}\right\rangle =\left\langle \overrightarrow{v}\right\rangle \cdot \left\langle \overrightarrow{u}\right\rangle \left(5\right).\]Но мы знаем, что $\left\langle \overrightarrow{v}\right\rangle =0$, значит выражение (4) примет вид:
\[\left\langle {\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\right)}^2\right\rangle =\left\langle v^2\right\rangle +\left\langle u^2\right\rangle \left(6\right).\]Можно сделать вывод о том, что наложение внешнего поля увеличивает кинетическую энергию электронов в среднем на величину, равную:
\[\left\langle {\triangle W}_k\right\rangle =\frac{m_e\left\langle u^2\right\rangle }{2}\left(7\right).\]Друде считал, что при соударении электрона с ионом, энергия, представленная в выражении (7) передается от электрона иону, при этом скорость электрона после удара становится равной нулю. Исходя из этой предпосылки Друде получал закон Ома в виде:
\[j=\frac{n{q_e}^2\lambda }{2m_ev}E\ \left(8\right),\]где величина, которая стоит перед напряженностью электрического поля (E), есть не что иное, как коэффициент удельной проводимости ($\sigma $), равный:
\[\sigma =\frac{n{q_e}^2\lambda }{2m_ev}\left(9\right).\]Поучилось, что по классической электронной теории электросопротивление металлов вызвано соударениями электронов об ионы, в узлах кристаллической решетки.
Также, классическая теория объяснила закон Джоуля -- Ленца. Опять - таки, соударениями электронов с ионами решетки, и выделением тепла в их результате.
Эта теория дала качественное толкование закона Видемана -- Франца исходя из посыла о том, что теплопередача осуществляется в металле не кристаллической решеткой, а свободными электронами и рассматривая эти электроны как одноатомный газ. При этом было использовано выражение для коэффициента теплопроводности из кинетической теории газов.
Однако эта теория не смогла объяснить все явления связанные с поведением металлов в электрических полях. Так, например, не было дано объяснение того, что электросопротивление металлов растет пропорционально температуре в первой степени. Следующая серьезная проблема, с которой столкнулась классическая теория электронной проводимости, было объяснение того, что теплоемкость металлов несущественно отличается от теплоемкости неметаллических кристаллов (тогда как согласно классической теории получалось, что молярная теплоемкость металла должна быть в 1,5 раза больше, чем у диэлектриков).
Опыты Толмена и Стюарта
Прямое доказательство того, что электрический ток в металлах вызван движением электронов было сделано в опытах Толмена и Стюарта (1916 г.). Идея этих опытов была выдвинута Мандельштамом и Папалески еще в 1913 г.
Проводящая катушка может вращаться вокруг своей оси. Концы катушки замыкают на гальванометр посредством скользящих контактов. Катушку, вращающуюся с высокой скоростью, резко тормозят. При этом свободные электроны продолжают по инерции двигаться. Гальванометр регистрирует импульс тока.
Если через $\dot{v}$ обозначить линейное ускорение катушки в момент торможения (оно направлено по касательной к поверхности катушки, а при плотной намотке и тонких проводах можно положить, что ускорение направлено вдоль проводов), при торможении каждому свободному электрону приложена сила инерции ($F_i$), направленная противоположно ускорению, равная:
\[F_i=-m_e\dot{v}\ \left(10\right),\]где $m_e$ -- масса электрона. Под воздействием силы $F_i$ электрон ведет себя так, как на него действовало бы поле ($E_{ef}$):
\[E_{ef}=-\frac{m_e\dot{v}}{q_e}\left(11\right).\]Следовательно, ЭДС в катушке может быть записана как:
\[{{\mathcal E}}_{ef}=\int\limits_L{E_{ef}dl}=-\frac{m_e\dot{v}}{q_e}\int\limits_L{dl}==-\frac{m_e\dot{v}}{q_e}L\ \left(12\right),\]где $L$ -- длина провода на катушке. Считаем, что все токи провода тормозятся с одним ускорением. Закон Ома для нашей цепи можно записать в виде:
\[IR=-\frac{m_e\dot{v}}{q_e}L\ \left(13\right),\]где $I$ -- сила тока в цепи, $R$ -- полное сопротивление цепи. Заряд, который протекает по цепи за время dt, будет равен:
\[dq=Idt=-\frac{m_eLdv}{q_eRdt}\ dt=-\frac{m_eLdv}{q_eR}\left(14\right).\]В таком случае за время торможения от скорости $v\left(t=0\right)=v_0$ до остановки, через гальванометр пройдет заряд, равный:
\[q=-\frac{m_eL}{q_eR}\int\limits^0_{v_0}{dv}=\frac{m_eL}{q_eR}v_0\left(15\right).\]В опыте величину $q$ находили по показаниям гальванометра, $L,\ R$, $v_0$ были известны. Следовательно, можно найти знак и величину $\frac{q_e}{m_e}$. Опыты показали, что найденное отношение соответствует отношению заряда электрона к его массе. Так, доказано, что ток, который проходит через гальванометр, вызван движением электронов.
Задание: Вычислите среднюю скорость теплового движения электронов при T=300K.
Решение:
Так как электронный газ подчиняется тем же законам, что идеальный газ, то среднюю скорость вычислим используя формулу:
\[\left\langle v\right\rangle =\sqrt{\frac{8kT}{\pi m_e}}\left(1.1\right),\] где $k=1,38\cdot {10}^{-23}\frac{Дж}{К},$ $m_e=9,1{\cdot 10}^{-31}кг$.Проведем вычисления:
\[\left\langle v\right\rangle =\sqrt{\frac{8\cdot 1,38\cdot {10}^{-23}\cdot 300}{3,14\cdot 9,1{\cdot 10}^{-31}}}\approx {10}^5\left(\frac{м}{с}\right).\]Ответ: $\left\langle v\right\rangle \approx {10}^5\frac{м}{с}.$
Задание: Вычислите скорость упорядоченного движения электронов, если металл находится в электрическом поле. Сравните ее со средней скоростью теплового движения электронов в медных проводах, если предельная допустимая плотность тока для них равна ${10}^7\frac{А}{м^2}$, концентрация электронов меди n=${10}^{29}м^{-3}.$
Решение:
Используем формулу для вычисления плотности тока:
\[j=nq_e\left\langle u\right\rangle \left(2.1\right).\]Скорость упорядоченного движения электронов выразим как:
\[\left\langle u\right\rangle =\frac{j}{nq_e}\left(2.2\right),\]где $q_e=1,6•{10}^{-19}Кл.$
Проведем вычисления:
\[\left\langle u\right\rangle =\frac{{10}^7}{{10}^{29}\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}}\approx {10}^{-3}\left(\frac{м}{с}\right).\]Используем результат, полученный в примере 1, получим, что отношение ($\frac{\left\langle v\right\rangle }{\left\langle u\right\rangle }$)=${10}^8$.
Ответ: $\left\langle u\right\rangle ={10}^{-3}\frac{м}{с},\ \frac{\left\langle v\right\rangle }{\left\langle u\right\rangle }$=${10}^8$.
