Для механики сплошной среды применяются различные вычислительные методы, которые в полной мере отображают все характерные свойства физических тел, подверженных воздействию сплошной среды. В настоящее время сформировались основные методы и алгоритмы решения различных задач в механике сплошной среды. Помимо численного анализа существует ряд современных разработок и достижений в области вычислительной механики. Ее также называют континуальной механикой.
Методы вычислительной механики сплошных сред
Существует ряд методов, при помощи которых исследователи осуществляют численный анализ различных физических процессов, характерных для механики сплошных сред. Среди них выделяют:
- проекционные методы;
- методы интерполяции;
- методы численного интегрирования;
- методы дифференцирования.
В научной и образовательной литературе дается объемлющее понятие вычислительной механики при помощи различных вариантов методов исследования. Они играют большую и главную роль в процессе выбора базисного численного решения поставленных задач. От них зависит успех всего процесса изучения и получения удовлетворительного результата.
В процессе изучения физических процессов механики сплошных сред за основу берется описание методов многомерного численного дифференцирования, которые базируются на:
- методе аппроксимации;
- вариационном методе;
- методе отображений.
Также изучение подобного раздела физики бессмысленно без введения описания многомерной кусочно-полиномиальной аппроксимации функций, которое основано на площадных и объемных понятиях координат. Оно пригодно для осуществления произвольных сеток без структуры и их создания. В методе бессеточного численного интегрирования важным моментом является использование квадратурных формул, которые употребляются для независимых переменных.
Построение численного анализа можно свести к использованию систем алгебраических уравнений. Они вместе с традиционными вариантами решения задач употребляются в качестве решения линейных уравнений в алгебре. Также методы исключения представлены в виде перспективных итерационных безматричных методов расчета. Для алгебраических нелинейных задач используются:
- методы ньютоновской квазилинеаризации;
- методы погружения и продолжения по параметру;
- приемы исследования вопросов существования и ветвления решений нелинейных уравнений в процессе численного решения.
Иногда задачи механики сплошных сред можно увидеть в виде приемов исследования вопросов существования. Для их последовательного решения даны описания методов поиска экстремальных точек функционалов. Это осуществляется наряду с теорией математического программирования.
Проекционные методы
Рисунок 1. Проекционные методы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Под проекционными методами вычислительной механики сплошных сред понимается всесторонний поиск решения поставленных задач в рамках и виде определенной линейной комбинации базисных функций.
Эта функция должна полностью или приблизительно удовлетворять уравнения, которые равны граничным и начальным условиям задачи. В континуальной механике подобные методы трактуются с точки зрения численных методов решения задач, что предполагает их рассмотрение в качестве частных случаев общей системы проекционных методов физики. Сами проекционные методы предполагают создание общих основ численных методов континуальной механики. С их помощью можно приблизительно обрести понимание работы механики сплошных сред. Это не противоречит созданию новых методов с определенными свойствами, которые необходимо было выявить. Это говорит о том, что сначала изучаются основы численных методов с точки зрения теории проекционных методов.
Метод интерполяции
Рисунок 2. Метод интерполяции. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Существует несколько способов задания функций. При аналитическом методе задействуется формула для вычисления значения функции по значению аргумента. Если используется алгоритмический способ, то это предполагает использование последовательных математических действий, выражаемых в форме алгоритмов. С их помощью происходит вычисление функции по значению аргумента. При табличном способе значение функций определяется интерполяцией. Это значит, что находятся значения в конечном числе точек по таблице.
В общем смысле интерполяцией называют алгоритмическое или аналитическое представление в приближенном виде о заданной в таблице функции. Оно позволяет определить значение функции в любой точке ее области определения.
Формулы интерполяции или заданные алгоритмы могут применяться для вычисления значений функций и за пределами ее области определения. Этот метод называют экстраполяцией.
Существует несколько основных типов интерполяции. В глобальной интерполяции применяются базисные функции, которые по своей сути отличны от нуля во всей области определения функции.
В качестве ярких примеров подобных типов интерполяции выступают тригонометрические и степенные функции. Зачастую глобальная интерполяция существует в виде бессеточной функции.
Другим типом интерполяции называют локальную интерполяцию. Она использует различные базисные функции, отличные от нуля в малой окрестности данной точке. Их активно могут использовать при численном моделировании, осуществляемом при помощи сеток, а также частиц. В качестве примера можно привести одномерную сеточную кусoчнo-линeйную интeрпoляцию.
Методы численного интегрирования
При решении различных практических задач вводится понятие методов численного интегрирования. Они при необходимости используются в линейных и подынтегральных выражениях и определяются численным образом. В связи с этим область интегрирования должна выглядеть в виде суммы элементарных подобластей простой формы, которые никогда не пересекаются. Их также называют ячейками. В этом случае интеграл, который необходимо найти, представляется в виде суммы интегралов, распределенных по ячейкам. В каждой из них применяется квадратурная формула определенного типа.
