Гидродинамика – обширный и важный раздел гидравлики, исследующий основные законы движения идеальной жидкости и ее взаимосвязь с подвижными и неподвижными поверхностями.
Рисунок 1. Уравнение Бернулли. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Движение физического вещества состоит из достаточно сложного перемещения отдельных атомов молекул. В целях упрощения длительного расчета вводится определение струйчатой модели стабильности. Согласно этой модели, весь поток включает в себя отдельные элементарные струйки, рассмотрение которых в отдельности дает шанс понять закономерности потока жидкости в целом.
С точки зрения математической формулировки движения текучих и постоянных сред, нет разницы между газом и жидкостью. Иногда жидкостью называют несжимаемое пространство, а газом называют среду, у которой начальная плотность существенно меняется со временем.
Жидкость – такое состояние физического пространства, при котором она быстро и легко деформируется под влиянием внутренних и внешних сил.
В отличие от твердого материального тела жидкость не оказывает особое сопротивления сдвиговым нагрузкам, и поэтому такому объему без труда можно придать любую форму. В то же время жидкость может самостоятельно сопротивляться нормальным напряжениям сжатия или растяжения, иногда даже намного сильнее, чем физические вещества. Данная особенность жидкости широко применяется в разнообразных гидравлических машинах и устройствах, например, в гидравлических домкратах и прессах.
Жидкость в основном характеризуется несколькими основными параметрами:
- плотность $ρ$;
- динамическая вязкость $μ$;
- теплоемкость $c$;
- теплопроводность $\lambda$.
В гидродинамике исследуются математические модели течений газа и жидкости в разных условиях. Эти модели в первую очередь представляют собой концепции дифференциальных уравнений при частных и производных обстоятельствах.
Основные уравнения гидродинамики
Главными гидродинамическими уравнениями являются уравнение неразрывности или сплочённости сред, а также уравнение Бернулли.
Уравнение неразрывности представляет собой формулу стабильности расхода и записывается следующим образом:
$dQ_1 + dQ_2 = dQ = const$, где:
$Q_1, Q_2, Q$ – скорости начального движения частиц жидкости в различных живых сечениях струйки.
Для потока уравнение сплоченности сред будет выглядеть так:
$Q_1 = Q_2 = Q$.
Уравнение Бернулли считается фундаментальным законом гидродинамики. Оно устанавливает взаимосвязь между скоростью, давлением, и положение исследуемого элемента в пространстве. Посредством этого уравнения решается огромный круг сложных инженерных задач.
Для упрощения изучения общих и важных закономерностей, присущих постоянно движущейся жидкости, ее часто представляют в виде неизменной среды, не обладающей внутренней энергией и трением. Такую жидкость в физике называют идеальной.
Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости чаще всего используется при расчетах и имеет следующий вид
$Z_1 + \frac{P_1} {y} + \frac{U_2}{y} = Z_2 + \frac{P_2}{y} + \frac{U}{2}^{2}{2g} = idem$, где:
- $Z$ – геометрический стабильный напор, или потенциальная удельная энергия начального положения;
- $\frac{P}{y}$ - изометрический напор, или удельная сила давления;
- $\frac{U}{2}^{2}{2g}$ - cкоростной напор, или кинетическая энергия.
Это уравнение также считается формулой закона сохранения и удержания энергии для движущейся жидкости. В этом заключается ее основной физический смысл.
При длительном движении реальной жидкости, обладающей определенной вязкостью, часть ее внутренней энергии автоматически затрачивается на преодоление сил трения. Этот показатель в виде тепла рассеивается в окружающую среду. Такое явление необратимо и в науке называется диссипацией. Диссипируемую величину в гидродинамике называют гидравлическими потерями.
Уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости
Рисунок 2. Уравнение Навье-Стокса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Плотность несжимаемой жидкости в любых ситуациях постоянна, в математической модели она выступает как изначальный заданный параметр. Уравнение неразрывности при этом имеет такой вид
$\frac{d_vi }{d_xi } = 0$.
Система уравнений всегда замкнута, так как содержит 4 формулы для трёх компонент скорости и давления.
В развернутой форме для компонент скоростного вектора $v = G$ в декартовой системе координат $ x, y, z$ уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью записывается так:
$\frac{du}{dx} + \frac{dv}{dy} + \frac{dw}{dz} = 0$.
Взгляд на температуру как основную меру внутренней энергии, непосредственно связанную со скоростью движения атомов и молекул, используется в физике, а в гидродинамике был принят феноменологический метод, при котором исследуют макроскопические характеристики переноса тепла. В частности, вводится определение теплового потока между нагретыми частями сплошного пространства.
Тепловой поток $Q$ – это точное количество тепла, которое трансформируется в единицу времени $Q = \frac{Дж}{сВт}$.
Плотность теплового постоянного потока $q = \frac{Q}{S}$ – это протекающий через единицу площади поток.
Тепло в гидродинамике переносится разными механизмами:
- Молекулярная термодиффузия или теплопроводность. В горячей части определенной среды молекулы более подвижны, они возбуждают своим действием соседние, в результате чего повышается температура.
- Конвекция. Данный процесс вызван движением жидкости. Поток жидкости непосредственно переносит начальную температуру из одной части пространства в другую. Если среда нагрета равномерно, конвективного теплового поток не будет даже при наличии движения.
- Излучение. Это передача внутреннего тепла в виде электромагнитных волн. Например, тепло от раскаленной печки или солнечная энергия.
Закон Паскаля
В случае, когда все массовые силы отсутствуют, т.е. $g = 0$, из этих формул получается, что $p = 0$. откуда следует, что $p = const$. Это решение носит в науке название закона Паскаля, который предполагает, что в покоящейся жидкости (газе) при отсутствии массовых и постоянных сил давление постоянно.
Уравнение состояния идеального газа $p = ρRT$ , отсюда можно найти плотность газа в зависимости от начальной температуры
$P = \frac{p}{RT}$.
Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка для внутреннего давления $p = z $. Оно решается согласно принципу разделения переменных:
$\frac{dp}{p} = \frac{dz}{RT}g$.
Закон Паскаля в гидродинамике даёт формулу изменения давления с высотой, если известно точное распределение температуры по заданной величине. В частном случае, это действует в случае, если считать атмосферу изотермической, когда $Т = const$.
Эта формула доказывает, что давление в изотермической атмосфере постепенно убывает с высотой по экспоненциальному закону.
