Периодичность – это свойство системы через некоторые равные промежутки времени проходить один и тот же ряд состояний.
Колебаниями называют движения, процессы, изменения состояния, которые в какой-либо степени повторяются во времени.
Колебания различают, привязываясь к его физической природе и «механизму» возбуждения, выделяют:
- механические колебания;
- электромагнитные колебания;
- смешанные (электромеханические);
- квантовые.
Примерами механических колебаний являются:
- колебания маятников;
- колебания струн;
- колебания зданий и мостов;
- колебания давления воздуха;
- морские волны и т.д.
Колебательной системой называют систему, которая совершает колебания.
Собственными (свободными) колебаниями называют колебания, происходящие при отсутствии внешних воздействий на систему, совершающую колебания. Эти колебания возникают при однократном выведении колебательной системы из состояния равновесия.
Колебания называют периодическими, если все физические величины, которые определяют состояние колебательной системы, повторяются через равные отрезки времени.
Самый маленький промежуток времени ($T$), спустя который все физические величины повторяют свои значения, называют периодом колебаний.
За время, равное периоду колебаний колебательная система совершает одно полное колебательное движение.
Если колебания являются периодическими, то связь параметра колебательной системы и времени удовлетворят условию:
$s(t+T)=s(t)(1).$
Частным случаем периодических механических колебаний являются механические гармонические колебания.
Гармонические колебания – частный случай периодических колебаний
Каждое периодическое колебание можно представить в виде суммы гармонических колебаний, имеющих кратные частоты ($\omega, 2\omega, 3\omega ... $). При этом частота $\omega$ называется основной, остальные частоты – это гармоники. Для нахождения амплитуд и частот сложного периодического процесса используют Фурье анализ.
Периодические колебания физической величины $s$ называют гармоническими тогда, когда они описываются законом:
$s(t)= C\sin (\omega t+\varphi_0)(2),$
где $\omega=\frac{2\pi}{T}=const$ - круговая (циклическая) частота гармонических колебаний; $C$ - наибольшее значение величины $s (t)$, именуемое амплитудой колебаний; $\omega t+\varphi_0$ - фаза колебаний; $\varphi_0$ - начальная фаза колебаний (неизменный параметр).
Выражение (2) можно записать в ином виде:
$s(t)= C\cos (\omega t+\varphi_1)(3),$
где $\varphi_1=\varphi_0-\frac{\pi}{2}$.
Период гармонических колебаний равен:
$T=\frac {2\pi}{\omega}(4)$.
Величина, совершающая гармонические колебания должна удовлетворять дифференциальному уравнению:
$\ddot{s}+\omega^2 s=0(5).$
Общим решением уравнения (5) служит выражение:
$s=C_1\sin (\omega t)+ C_2\cos (\omega t)(6),$
где $C_1$ и $C_2$ - постоянные, которые определяют начальные условия колебаний. Это означает, что если известны значения $s$ и ее первой производной по времени (скорости изменения) при $t=0$, тогда
$C_1=\frac{1}{\omega}\dot{s}(t=0);$ $C_2=s(t=0)$.
Обычно общее решение дифференциального уравнения гармонических колебаний представляют в виде:
$s=C\sin (\omega t+\varphi_0)(7),$
где $C=\sqrt{C-1^2+C_2^2}$; $\varphi_0=arctg \frac{C_2}{C_1}$.
Рассмотрим гармонические колебания материальной точки по оси $X$ около положения равновесия. В этом случае закон изменения координаты от времени запишем в виде:
$x=C\sin (\omega t+\varphi_0)(8).$
Проекция вектора скорости этой материальной точки на ось $X$ равна:
$v_x=\dot{x}=v_m\cos(\omega t+\varphi_0)(9),$
где $v_m=C\omega$ - амплитуда скорости.
$a_x=\ddot {x}=-a_m\sin (\omega t \varphi_0)(10),$
где $a_m=v_m\omega$ - амплитуда ускорения.
Силу, которая действует на материальную точку, определим как:
$\vec F=m\vec a$; $F_x=-m\omega^2x (11),$
где $m$ - масса материальной точки. Сила $\vec F$ является пропорциональной смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в сторону, которая противоположна смещению.
Рассмотрим материальную точку массы $m$, которая совершает прямолинейные колебания на упругой пружине, жесткость (коэффициент упругости) которой равна $k$. Будем считать, что колебания совершаются вдоль оси $OX$.
Данную колебательную систему (пружинный маятник) можно назвать линейным гармоническим осциллятором.
В соответствии со вторым законом Ньютона запишем:
$m\vec a=\vec F_u (12),$
где ускорение материальной точки равно:
$\vec a=\ddot{x} \vec i$; $\vec i$ = орт оси $OX$.
Уравнение движения пружинного маятника можно представить в виде:
$m\ddot{x}=-kx$ или $\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0(13).$
Зная, что коэффициент $\frac{k}{m}>0$, в (13) мы получили дифференциальное уравнение для гармонических колебаний. Это означает, что осциллятор выполняет колебания в соответствии с законом:
$x=C\sin(\omega t+\varphi_o)(14),$
период этих колебаний равен:
$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}(15).$
Классификация колебаний в зависимости от периодичности
Гармонические колебания являются периодическими, но не все периодические колебания гармонические.
В зависимости от наличия периода при колебательных движениях колебания делят на:
- периодические колебания;
- квазипериодические колебания;
- апериодические движения;
- непериодические колебания.
В самом общем виде квазипериодические колебания - это колебания двух (и более) компонент, с несоизмеримыми частотами. Примерами квазипериодических систем являются неавтономные динамические системы.
Колебания в реальной действительности без источника энергии являются затухающими. Если сопротивление среды, следовательно, коэффициент затухания ($\delta$) увеличивается, то в соответствии с формулой:
$T’=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega^2-\delta^2}}(16)$
период растет. Тогда, когда коэффициент затухания становится почти равным циклической частоте колебаний, период стремится к бесконечности. Это значит, что при большом коэффициенте затухания колебания не возможны. Если систему вывести из положения равновесия, то она вернется в состояние равновесия, не выполняя колебаний. Признаком движения при этом будет отсутствие повторяемости. Данное движение называется апериодическим.
При непериодических колебаниях параметры, описывающие колебательную систему, повторяются через неравные промежутки времени.
