Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями

Колебания – это процессы, имеющие ту или иную степень повторяемости во времени.

Колебания протекают в системах разной физической природы. При описании состояния системы при помощи конечного количества переменных, считают, что это собственно процесс колебаний, например:

  • колебательные движения материальной точки (малого груза), подвешенного на нерастяжимой нити;
  • колебания электрического тока в контуре.

В данных системах колебания происходят в системах с конечным числом степеней свободы.

Другим типом колебаний являются колебания в системах с бесконечным числом степеней свободы, такими системами могут быть:

  • сплошная среда;
  • электромагнитное поле.

В данных системах процесс колебаний, стартовав в одном месте, распространяется в пространстве. В этом случае считают, что в пространстве распространяется волна.

Отличие колебаний от волны состоит в том, что

  • колебания и волна имеют периодичность во времени,
  • только волна обладает периодичностью в пространстве.

Колебания и волны самый распространенный тип движения:

  1. Во всех уровнях организации материи возникают колебательные процессы.
  2. Все области деятельности человека связаны с проявлением или применением колебаний.

Из сказанного выше необходимо сделать вывод о том, что законы, которые управляют колебательными процессами, очень важны с точки зрения практики применения.

Колебательные процессы качественно многообразны. Но их исследования во многом облегчены тем, что колебаниями разной природы существует глубокая формально – математическая аналогия.

Неважно какова природа колебательной системы, сами колебания подчинены одинаковым по виду дифференциальным уравнениям. Законы, в соответствии с которыми изменяются параметры, характеризующие системы в зависимости от времени, одинаковы для разных систем. Закон, по которому происходит изменение положения груза в пружинном маятнике в зависимости от времени, аналогичен закону изменения заряда конденсатора в колебательном электрическом контуре. В этой связи исследование механических колебаний облегчают изучение электрических колебаний.

«Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Кинематика гармонических механических колебаний

Рассмотрим гармонические колебания, которые являются наиболее простым видом колебаний. В механических колебаниях x - динамическая переменная, которая характеризует смещение тела от положения равновесия. Будем считать, что в равновесии:

x=0; ˙x=0.

Определение 1

Гармоническим колебанием называют такое движение, которое будет описывать законы:

x=Acos(ωt+φ01) или

x=Asin(ωt+φ02),

где A - амплитуда колебаний (максимальное положительное смещение параметра x от состояния равновесия); ω - круговая (циклическая) частота; ωt+φ01, ωt+φ02 - фазы колебаний, которые дают характеристику текущего отклонения x от положения равновесия; φ01 и φ02 - начальные фазы колебаний.

Примеры гармонических механических осцилляторов

Замечание 1

Колебательную систему часто именуют осциллятором. В том случае, если движение осциллятора можно описывают с помощью гармонических законов, то такой осциллятор называют гармоническим.

Самыми распространенными примерами гармонических осцилляторов в механике служат:

  1. математический маятник;
  2. физический маятник;
  3. пружинный маятник.

Математический маятник представляет собой малое тело, которое можно считать материальной точкой, повешенной на нерастяжимой, очень малого веса, длинной нити. Подвес крепят к недвижимой точке в однородном поле гравитации.

Считая, что силы трения отсутствуют, уравнение свободных колебаний маятника можно записать как:

d2αdt2+ω20sin(α)=0(1),

где ω0=gl - циклическая частота колебаний; l - длина подвеса.

Уравнение (1) описывает колебания маятника при любых углах отклонения от вертикали. Это уравнение является дифференциальным и нелинейным.

При малых отклонениях от вертикали (α1) уравнение (1) можно представить как:

d2αdt2+ω20α=0(2).

Определение 2

Физическим маятником называют тело, которое подвешено в поле тяжести в точке, которая не совпадает с центром инерции. На рис. 1 изображен физический маятник.

Физический маятник. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Физический маятник. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Уравнения, которое описывает колебания физического маятника, полностью тождественны уравнениям (1) и (2), с той разницей, что для физического маятника:

ω0=mglJz(3),

где l - расстояние от центра инерции тела, до точки подвеса (рис.1); Jz - момент инерции тела.

Дифференциальное уравнение колебаний груза на пружине с коэффициентом упругости, равным k запишем как:

d2xdt2+ω20x=0(4),

где ω0=km; m - масса тела, которое висит на пружине.

Указанные выше примеры говорят о том, что разные механические системы описываются одинаковыми уравнениями, что означает одинаковое их поведение.

Электромагнитные колебания

Рассмотрим колебания в идеальном колебательном контуре (рис.2), состоящем из:

  1. конденсатора с электрической емкостью C;
  2. катушки индуктивности (ее индуктивность равна L).

Колебания в идеальном колебательном контуре. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Колебания в идеальном колебательном контуре. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для создания колебаний конденсатор заряжают, и контур предоставляют самому себе. Зразу после зарядки конденсатор станет разряжаться через катушку индуктивности. Ток будет переменным во времени, это приводит к появлению ЭДС самоиндукции в катушке, это приводит к перезарядке конденсатора. Конденсатор заряжается и процесс повторяется. Так (если не учитывать потери) в контуре происходят незатухающие колебания заряда q, силы тока I и напряжение Uc. Пусть Uc - напряжение на конденсаторе.

Уравнение, которое описывает колебания заряда в таком контуре, имеет вид:

d2qdt2+ω20q=0(5),

где круговая частота колебаний в контуре равна: ω0=1LC.

Дифференциальное уравнение, которое описывает незатухающие электромагнитные колебания (5) в рассматриваемом нами идеальном контуре, имеет вид аналогичный механическим колебаниям.

Мы можем сделать вывод о том, что свободные незатухающие колебания для осцилляторов, имеющих любую природу, описываются при помощи одинаковых дифференциальных уравнений.

Затухающие гармонические колебания разной природы

Одинаковыми по форме для электрической и механической колебательных систем будут уравнения свободных затухающих колебаний:

d2qdt2+ω20q+2βdqdt=0(6),

где β=R2L - коэффициент затухания. Для электрического колебательного контура R - сопротивление контура. Выражение (6) описывает колебания заряда.

Изменение координаты при механических колебаниях с наличием трения можно описать уравнением:

d2xdt2+ω20x+2βdxdt=0(7),

где β=γ2m - коэффициент затухания; γ - коэффициент сопротивления.

Дата последнего обновления статьи: 17.05.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant