Колебания – это процессы, имеющие ту или иную степень повторяемости во времени.
Колебания протекают в системах разной физической природы. При описании состояния системы при помощи конечного количества переменных, считают, что это собственно процесс колебаний, например:
- колебательные движения материальной точки (малого груза), подвешенного на нерастяжимой нити;
- колебания электрического тока в контуре.
В данных системах колебания происходят в системах с конечным числом степеней свободы.
Другим типом колебаний являются колебания в системах с бесконечным числом степеней свободы, такими системами могут быть:
- сплошная среда;
- электромагнитное поле.
В данных системах процесс колебаний, стартовав в одном месте, распространяется в пространстве. В этом случае считают, что в пространстве распространяется волна.
Отличие колебаний от волны состоит в том, что
- колебания и волна имеют периодичность во времени,
- только волна обладает периодичностью в пространстве.
Колебания и волны самый распространенный тип движения:
- Во всех уровнях организации материи возникают колебательные процессы.
- Все области деятельности человека связаны с проявлением или применением колебаний.
Из сказанного выше необходимо сделать вывод о том, что законы, которые управляют колебательными процессами, очень важны с точки зрения практики применения.
Колебательные процессы качественно многообразны. Но их исследования во многом облегчены тем, что колебаниями разной природы существует глубокая формально – математическая аналогия.
Неважно какова природа колебательной системы, сами колебания подчинены одинаковым по виду дифференциальным уравнениям. Законы, в соответствии с которыми изменяются параметры, характеризующие системы в зависимости от времени, одинаковы для разных систем. Закон, по которому происходит изменение положения груза в пружинном маятнике в зависимости от времени, аналогичен закону изменения заряда конденсатора в колебательном электрическом контуре. В этой связи исследование механических колебаний облегчают изучение электрических колебаний.
Кинематика гармонических механических колебаний
Рассмотрим гармонические колебания, которые являются наиболее простым видом колебаний. В механических колебаниях $x$ - динамическая переменная, которая характеризует смещение тела от положения равновесия. Будем считать, что в равновесии:
$x=0$; $\dot{x}=0.$
Гармоническим колебанием называют такое движение, которое будет описывать законы:
$x=A \cos (\omega t +\varphi_{01})$ или
$x=A \sin (\omega t +\varphi_{02})$,
где $A$ - амплитуда колебаний (максимальное положительное смещение параметра $x$ от состояния равновесия); $\omega$ - круговая (циклическая) частота; $\omega t +\varphi_{01}$, $\omega t +\varphi_{02}$ - фазы колебаний, которые дают характеристику текущего отклонения $x$ от положения равновесия; $\varphi_{01}$ и $\varphi_{02}$ - начальные фазы колебаний.
Примеры гармонических механических осцилляторов
Колебательную систему часто именуют осциллятором. В том случае, если движение осциллятора можно описывают с помощью гармонических законов, то такой осциллятор называют гармоническим.
Самыми распространенными примерами гармонических осцилляторов в механике служат:
- математический маятник;
- физический маятник;
- пружинный маятник.
Математический маятник представляет собой малое тело, которое можно считать материальной точкой, повешенной на нерастяжимой, очень малого веса, длинной нити. Подвес крепят к недвижимой точке в однородном поле гравитации.
Считая, что силы трения отсутствуют, уравнение свободных колебаний маятника можно записать как:
$\frac{d^2 \alpha}{d t^2}+\omega _0^2 \sin (\alpha)=0 (1),$
где $\omega_0=\sqrt {\frac{g}{l}}$ - циклическая частота колебаний; $l$ - длина подвеса.
Уравнение (1) описывает колебания маятника при любых углах отклонения от вертикали. Это уравнение является дифференциальным и нелинейным.
При малых отклонениях от вертикали ($\alpha \ll 1$) уравнение (1) можно представить как:
$\frac{d^2 \alpha}{d t^2}+\omega _0^2 \alpha=0 (2).$
Физическим маятником называют тело, которое подвешено в поле тяжести в точке, которая не совпадает с центром инерции. На рис. 1 изображен физический маятник.
Рисунок 1. Физический маятник. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Уравнения, которое описывает колебания физического маятника, полностью тождественны уравнениям (1) и (2), с той разницей, что для физического маятника:
$\omega_0=\sqrt {\frac{mg l}{J_z}}(3),$
где $l$ - расстояние от центра инерции тела, до точки подвеса (рис.1); $J_z$ - момент инерции тела.
Дифференциальное уравнение колебаний груза на пружине с коэффициентом упругости, равным $k$ запишем как:
$\frac{d^2 x}{d t^2}+\omega _0^2 x=0 (4),$
где $\omega_0 = \sqrt {\frac{k}{m}}$; $m$ - масса тела, которое висит на пружине.
Указанные выше примеры говорят о том, что разные механические системы описываются одинаковыми уравнениями, что означает одинаковое их поведение.
Электромагнитные колебания
Рассмотрим колебания в идеальном колебательном контуре (рис.2), состоящем из:
- конденсатора с электрической емкостью $C$;
- катушки индуктивности (ее индуктивность равна $L$).
Рисунок 2. Колебания в идеальном колебательном контуре. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Для создания колебаний конденсатор заряжают, и контур предоставляют самому себе. Зразу после зарядки конденсатор станет разряжаться через катушку индуктивности. Ток будет переменным во времени, это приводит к появлению ЭДС самоиндукции в катушке, это приводит к перезарядке конденсатора. Конденсатор заряжается и процесс повторяется. Так (если не учитывать потери) в контуре происходят незатухающие колебания заряда $q$, силы тока $I$ и напряжение $U_c$. Пусть $U_c$ - напряжение на конденсаторе.
Уравнение, которое описывает колебания заряда в таком контуре, имеет вид:
$\frac{d^2 q}{dt^2}+\omega_0^2 q=0 (5),$
где круговая частота колебаний в контуре равна: $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.$
Дифференциальное уравнение, которое описывает незатухающие электромагнитные колебания (5) в рассматриваемом нами идеальном контуре, имеет вид аналогичный механическим колебаниям.
Мы можем сделать вывод о том, что свободные незатухающие колебания для осцилляторов, имеющих любую природу, описываются при помощи одинаковых дифференциальных уравнений.
Затухающие гармонические колебания разной природы
Одинаковыми по форме для электрической и механической колебательных систем будут уравнения свободных затухающих колебаний:
$\frac{d^2 q}{dt^2}+\omega_0^2 q+2\beta \frac{dq}{dt}=0 (6),$
где $\beta=\frac {R}{2L}$ - коэффициент затухания. Для электрического колебательного контура $R$ - сопротивление контура. Выражение (6) описывает колебания заряда.
Изменение координаты при механических колебаниях с наличием трения можно описать уравнением:
$\frac{d^2 x}{dt^2}+\omega_0^2 x+2\beta \frac{dx}{dt}=0 (7),$
где $\beta=\frac {\gamma}{2m}$ - коэффициент затухания; $\gamma$ - коэффициент сопротивления.
