Механическая работа, формула

При равномерном движении имеется определённая связь между силами и перемещениями. При совпадении направлений силы и перемещения их произведение для точек приложения сил будут одинаковы. Получается, что данные произведения имеют особенное значение, так как при помощи этих произведений можно характеризовать работу простых машин.

Работа при совпадении направлений силы и перемещения

Если направление силы и перемещения одинаковы, то работа $A$ - это произведение величины силы $F$ на величину перемещения $s$:

$A=F\bullet s (1)$

Говорят, что при перемещении точки приложения силы, сила выполняет работу.

Если сила действует, но точка не перемещается, то работа не выполняется.

Во всех перемещающихся механизмах, например:

• паровой машине;
• двигателе внутреннего сгорания;
• электромоторе,

присутствуют силы, совершающие работу в ходе движения организма.

1. В тепловом двигателе пар давит на поршень, поршень перемещается. Сила давления совершает работу.
2. В электрическом двигателе электрические токи, текущие в обмотках, взаимодействуют между собой и выполняют работу при вращении двигателя.

Допустим, что сила, действующая на тело, совершает работу большую нуля, в таком случае тело увеличивает свою скорость. Мы имеем ситуацию, в которой сила, следовательно, ускорение имеют направления по скорости, значит, скорость растет.

При совершении силой работы, меньшей нуля, мы получаем ускорение, направленное против скорости, значит, скорость тела уменьшается.

Работа при нормальной ориентации силы и перемещения

Если перемещение тела происходит нормально к направлению вектора силы, в этом случае сила не оказывает влияния на перемещение в таком направлении. Следовательно, сила в этом направлении работы не производит.

При нормальной ориентации силы и перемещения работа силы равна нулю.

Например, если тело движется по горизонтальной плоскости, работа силы тяжести равна нулю.

Связь между работой и скоростью

Обратимся к одномерному случаю. Пусть сила действует по оси $X$, по этой же оси происходит перемещение тела. Так может происходить, если рассмотреть движение материальной точки, имеющей массу $m_0$, перемещающейся под воздействием сжатой пружины (рис.1).

Рисунок 1. Движение материальной точки, перемещающейся под воздействием сжатой пружины. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Уравнение движения рассматриваемой материальной точки представим в виде:

$m_0\frac{dv_x}{dt}=F_x (2).$

Умножим обе части уравнения (1) на скорость $v_x$, принимая во внимание, что:

$v_x\frac{dv_x}{dt}=\frac{1}{2}\frac {d}{dt}(v_x^2)$,

получаем:

$\frac{d}{dt}(\frac{m_0v_x^2}{2})=F_xv_x (3).$

Учтем, что:

$v_x=\frac{dx}{dt}$

при умножении обеих частей уравнения (3) получим:

$d(\frac{m_0v_x^2}{2})=F_xdx (4).$

Выражение (4) обладает наглядным смыслом:

• смещая материальную точку на величину $dx$, сила $F_x$ выполняет над ней работу ($dA=F_x\bullet dx$);
• в результате выполнения работы происходит изменение величины $\frac{m_0v_x^2}{2}$, которая является характеристикой движения тела. Величина $\frac{m_0v_x^2}{2}$ - кинетическая энергия тела.

Пусть тело переходит по оси $X$ из точки $A=x_1$ в точку $B=x_2$, его скорость при этом изменяется от величины $1=v_{x1}$ до $2=v_{x2}$, тогда из выражения (4) получаем:

$\int_1^2 d(\frac{m_0 v_x^2}{2})=\int_A^B F_x dx (5).$

Формула (5) показала, что изменение кинетической энергии материальной точки при ее движении от одного положения к другому равно выполненной работе.

Интегральное выражение в правой части уравнения (5) – это предел суммы элементов работы, которые выполняются на бесконечно малых перемещениях.

Формула (5) показывает, что кинетическая энергия тела имеет приращение, если на тело оказывает действие сила, неравная нулю. Поскольку при $F_x=0$ мы получим:

$ (\frac{m_0v_x^2}{2})=const$.

Элементарная работа

При несовпадении направления вектора перемещения и направления вектора силы, работу выполняет составляющая силы, которая направлена вдоль перемещения. Работа будет равна произведению абсолютной величины силы на косинус угла между силой и перемещением ($\alpha$) и на величину перемещения.

Так как элементарное перемещение – это вектор (d\vec s), сила, так же является вектором ($\vec F$), элементарную работу можно представить как:

$dA=Fds cos (\alpha)=\vec F\bullet \vec s (6).$

Допустим, что материальная точка перемещается по криволинейной траектории (рис.2). Тогда работа силы, которая перемещает тело из точки $A$ в точку $B$, находят суммируя элементарные работы на всем перемещении и переходя затем к пределу.

Разделим траекторию материальной точки на бесконечно малые отрезки, которые можно считать прямолинейными ($\Delta \vec s_i$).

Элементарной работой на избранном отрезке будет величина, равная: $\Delta A_i=\vec F_i\bullet \Delta l_i \bullet \alpha$.

Сумма всех бесконечно малых работ приблизительно равна работе силы, перемещающей его из точки $A$ в точку $B$.

Устремим величины отрезков траектории к нулю, а их количество к бесконечности, мы получаем работу силы при движении тела по произвольной траектории:

$\int_1^2 d(\frac{m_0 v_x^2}{2})=\int_A^B F_x dx (7).$

Правая часть уравнения (7) является криволинейным интегралом, который берут вдоль линии $L$ (рис.2) от точки $A$ до точки $B$. При изменении направления движения по кривой при интегрировании изменится только знак интеграла.

Единицы измерения работы

Для определения единицы измерения работы возьмем уравнение (1). Из него следует, что за единицу работы следует принять работу, которую выполняет единичная сила, перемещая материальную точку в направлении действия силы на единичное расстояние.

В Международной системе единиц (СИ) единицей работы является работа, которую производит один ньютон, перемещая материальную точку на один метр. Данную единицу называют джоулем (Дж):

$1 Дж=1Н\bullet1 м$.

В системе СГС (сантиметр – грамм - секунда) единицей силы служит дина, единицей перемещения является сантиметр, единицей работы считают эрг (эрг):

$1 эрг=1 дин\bullet 1 см.$