Модели математической физики

Теория математических моделей физических явлений занимает особое положение в физике и математике, находясь на стыке этих наук.

МФ связана с физикой в той области, которая касается построения математической модели. МФ – это и раздел математики, так как методы исследования моделей - математические.

Математические модели

Статья: Модели математической физики

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти решение задачи

Если речь идет о математической модели, то под ней понимают систему математических соотношений, которая описывает, исследует явление или процесс. Модель имеет довольно важное значение для таких видов наук, как:

• экология;
• экономика;
• физика;
• социология;
• химия;
• информатика;
• механика;
• биология и др.

При получении моделей применяют специальные законы конкретных наук, общие законы естествознания, результаты активных и пассивных экспериментов, имитационное моделирование при помощи ПК. Математические модели позволяют рассчитать целевую функцию (выходные параметры процесса), предположить ход процесса, проектировать системы с желаемыми характеристиками, управлять процессом.

Создание математических моделей

Для создания моделей используют математические средства:интегральных уравнений или язык дифференциальных, инструменты теории вероятностей, абстрактной алгебры, теории множеств, математическую логику, графы и другие.

Если отношение задаются аналитически, то их можно будет решить в замкнутом виде (явно) касательно искомых переменных как функции от параметров модели, или в замкнутом частично виде (неявно), когда переменные зависят от многих параметров модели.

Если невозможно получить точное решение модели, применяют вычислительные или многочисленные методы, или иные виды моделирования.

Учитывая то, каковы внешние возмущения и параметры системы, модели могут быть стохастическими и детерминированными. Последние имеют важное значение при проектировании и исследовании больших систем со сложными свойствами и связями, которые очень трудно учесть.

Математическое описание непрерывного процесса представляет собой непрерывную модель.

Методы математической физики

В математической физике рассматриваются такие проблемы:

• обратная;
• прямая.

Заключается прямая проблема в следующем. Дано правило определения физической величины в каждой точке пространства. Обратная проблема заключается в нахождении физической величины, то есть определенного вида математического поля, если известны условия, где находится физический объект.

Любой процесс или физическое явление представляют собой изменения физических величин (векторных, скалярных, тензорных) со временем и в пространстве. Поэтому математическое поле описывается функциями независимых переменных x, y, z и t. И задача их заключается в поиске этих функций.

Задачи математической физики

Постановка задач МФ – это построение математических моделей, которые описывают главные закономерности исследуемого класса для физических явлений. Подобная постановка состоит в выводе конечных уравнений (интегральных, дифференциальных, алгебраических или интегро-дифференциальных), которые удовлетворяют ряд величин, характеризующие физические процессы.

Исходя из главных физических законов, учитывают лишь наиболее существенные черты явления, отвлекаясь от ряда его второстепенных характеристик. Подобными законами являются законы сохранения, например, энергии, импульса, числа частиц. Все это приводит к тому, что для процесса описания процессов всевозможной физической природы, имеющих характерные общие черты, оказывается можно применить те же математические модели.

К примеру, все математические задачи для уравнения гиперболического типа, которое получено Ж. Д. Аламбером (1747 году) для процесса описания свободных колебаний однородной струны, что оказываются пригодными и для описания волновых процессов гидродинамики, акустики, электродинамики и других областей физики. Аналогично, краевые задачи, уравнения, для которого изучались первоначально П. Лаплас (конец XVIII в.), связанные с построением теории тяготения, в дальнейшем уже нашли свое применение при процессе решения ряда проблем теории упругости, электростатики, задач устойчивого движения идеальной жидкости и т.д. Любой математической модели физики соответствует определенный класс физических процессов.

Для МФ характерно, что общие методы, которые можно применять для решения задач математической физики, развились из частных способов решения определенных физических задач и не имели в своем первоначальном виде достаточного совершенства и строгого математического обоснования. Это относится к известным методам решения задач математической физики, как методы Галеркина и Ритца, к методам теории преобразований Фурье, возмущений и других, включая также метод разделения переменных.

Подобное эффективное применение всех методов для решения конкретных задач в дальнейшем стало стимулом для их математического обобщения и обоснования, что приводит к возникновению новых видов математических направлений.

Влияние на различные разделы математики математической физики проявляется и в том, что развитие математической физики, которой отражает требования естественных наук, может привести к переориентации направленности исследований в ряде разделов математики. Постановка ряда задач математической физики связана с созданием ряда моделей физических явлений.

Появилась теория краевых задач, которая позволила связать в дальнейшем дифференциальное уравнение в частных производных, вместе с вариационными методами и интегральными уравнениями.