
Любой электрический ток можно представить в виде совокупности элементарных токов. Следовательно, можно рассчитать характеристики магнитного поля, порождаемого любыми токами, если использовать:
Закон Био – Савара – Лапласа:
d→B=μ04πIr3[d→l→r](1)
где d→l – элементарный участок проводника, по которому течет ток I; →r – радиус-вектор, который проводится от элемента dl с током к точке, в которой исследуется поле; μ0– магнитная постоянная.
Принцип суперпозиции магнитных полей. Магнитная индукция поля, которое создают несколько элементов с токами, - это векторная сумма индукций полей, каждого элементарного тока отдельно. Для непрерывных токов:
→B=∫ld→B(2).
Замечание 1В выражении (2) следует учитывать, что суммирование является векторным.
Закон Био-Савара-Лапласа дает возможность рассчитывать магнитные поля, которые создают токи, распределенные в пространстве. Плотность этих токов может изменяться в зависимости от координаты (или радиус-вектора, определяющего положение точки) (→j(→r)).
Около избранной точки пространства, в котором находится магнитное поле, выберем бесконечно малую трубку тока, с длиной dl, сечением dS. В точке C, которая находится на расстоянии r от трубки тока, создаваемое ей поле равно:
d→B=μ04π[→j(→r)→r]r3dldS(3).
где dV=dldS.
Результирующее поле находят интегрированием выражения (3) по объему в котором текут токи.
Применение закона Био-Савара – Лапласа для нахождения магнитного поля прямого тока
Пусть по очень длинному, тонкому проводу, течет постоянный то I (рис.1). Рассчитаем поле, которое создает этот проводник в некоторой токе C, находящейся на расстоянии R от него.
Рисунок 1. Магнитное поле прямого тока. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
По закону Био-Савара – Лапласа в точке C элемент dl с током I создает магнитное поле:
dB=μ04πIdlsinβr2(4).
где β – угол между направлением течения тока и →r.
Все элементы нашего проводника с током в точке C создают магнитные поля, направленные вдоль одной прямой, и направлены они перпендикулярно плоскости рисунка к нам. Учтем следующие простые соотношения (см. рис.1):
r=Rcosα;l=Rtgα;dl=Rdαcos2α;sinβ=cosα(5).
Принимая во внимание формулы (5) закон (4) приведем к виду:
dB=μ04πIsinαdαR(6)
Применим принцип суперпозиции, для этого выражение (6) проинтегрируем, учтем, что −π2≤α≤π2, получим:
B=μ04πIRπ2∫−π2sinαdα=μ02πIR(7)
Закон полного тока и его применение для нахождения магнитного поля прямого тока
Допустим, что токи, создающие магнитное поле и контур, по которому мы будем рассматривать интегрирование, находятся в однородном магнитоизотропном веществе, тогда закон полного тока (или закон циркуляции вектора магнитной индукции) запишем в виде:
∮L→Bd→r=μμ0I(8),
где μ – магнитная проницаемость вещества; I – алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром L.
Теорема о циркуляции (или закон полного тока), в теории магнетизма, играет роль аналогичную теореме Гаусса для вектора напряженности в электростатике. Если в распределении токов имеется симметрия, то этот закон упрощает процедуру поиска вектора магнитной индукции.
Рассмотрим магнитное поле, которое создается прямым длинным тонким проводом (рис.1). Условия, как и представленные выше. Найдем поле в точке C. Применяя закон полного тока.
Магнитное поле прямого тока имеет осевую симметрию (силовые линии поля – окружности с центрами на оси провода). Величина вектора индукции одинакова для всех точек одной такой силовой линии. В качестве контура L возьмем окружность радиуса R, тогда циркуляция вектора индукции равна:
∮L→Bd→r=BL=2πRB(9).
Поскольку контур L охватывает только ток I, то результат правой части (9) приравняем к величине этого тока, умноженному на магнитную постоянную и магнитную проницаемость вещества:
2πRB=μμ0I(10),
считая, что проводник находится в вакууме (μ=1), получаем:
B=μ0I2πR(11).
Сравнивая формулы (7) и (11), мы видим, что результаты одинаковые.
Магнитное поле прямого тока в проводе, имеющем конечную длину
Допустим, что у нас имеется прямой тонкий провод, конечной длины по которому течет неизменяющийся ток I (рис.2). Определим, какова магнитная индукция поля в точке C, создаваемая этим проводом.
Рисунок 2. Магнитное поле прямого тока в проводе, имеющем конечную длину. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Полярные углы, соответствующие концам проводника будем считать равными φ1=a и φ2=b.
Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости рисунка. Силовые линии – это окружности, как и у бесконечного проводника.
Модуль элементарного магнитного поля (dB), которое создает малый участок dl (рис.2) по закону Био-Савара-Лапласа запишем так:
dB=μ04πIdlsinαr2=μ0I4πRcosφdφ(12)
где из рис.2 видно, что:
- sinα=cosφ;
- dlcosφ=rdφ;
- r=Rcosφ.
Воспользуемся принципом суперпозиции и получим магнитное поле в точке C, создаваемое всеми участками проводника с током:
B=b∫aμ0I4πRcosφdφ=μ0I4πR(sin(b)−sin(a))(13)
Если рассматривать бесконечно длинный проводник, как частный случай прямого проводника с током, то следует учесть, что для него:
a=−π2;b=π2,
тогда из (13) следует:
B=μ0I2πR(14)
Результат (14) снова совпал с (7) и (11).
Магнитное поле внутри прямого тока
Рассмотрим длинный прямой проводник радиуса R. Пусть материалом этого проводника будет парамагнетик, магнитная проницаемость которого μ. Материал провода будем считать однородным. Плотность тока, текущего в проводнике при этом может быть представлена:
j=IπR2(15).
где j – постоянная величина.
Задачу будем решать, используя закон о циркуляции вектора магнитной индукции (8). Кривую, по которой будем рассматривать циркуляцию совместим с силовой линией магнитного поля. Внутри проводника, магнитное поле так же имеет осевую симметрию. Силовые линии представлены окружностями, с центрами на оси провода. Радиус рассматриваемой силовой линии будем считать равным r, тогда
∮L→Bd→r=B2πr(16).
Из закона полного тока следует, что:
2πrB=I1=μμ0jπr2→B=12μμ0rj при r≤R(17).
Для бесконечно длинного провода мы видим:
- что внутри проводника индукция магнитного поля прямо пропорциональна расстоянию от оси провода, до точки рассмотрения.
- вне провода индукция обратно пропорциональна расстоянию.
- у поверхности проводника вектор магнитной индукции претерпевает разрыв, поскольку для внутреннего материала проводника μ>1, для вакуума μ=1.
