Любой электрический ток можно представить в виде совокупности элементарных токов. Следовательно, можно рассчитать характеристики магнитного поля, порождаемого любыми токами, если использовать:
Закон Био – Савара – Лапласа:
$d\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi }\frac{I}{r^{3}}\left[ d\vec{l}\vec{r}\right]\left( 1 \right)$
где $d\vec{l}$ – элементарный участок проводника, по которому течет ток $I$; $\vec{r}$ – радиус-вектор, который проводится от элемента $dl$ с током к точке, в которой исследуется поле; $\mu_{0}$– магнитная постоянная.
Принцип суперпозиции магнитных полей. Магнитная индукция поля, которое создают несколько элементов с токами, - это векторная сумма индукций полей, каждого элементарного тока отдельно. Для непрерывных токов:
$\vec{B}=\int\limits_l {d\vec{B}} \left( 2 \right)$.
Замечание 1В выражении (2) следует учитывать, что суммирование является векторным.
Закон Био-Савара-Лапласа дает возможность рассчитывать магнитные поля, которые создают токи, распределенные в пространстве. Плотность этих токов может изменяться в зависимости от координаты (или радиус-вектора, определяющего положение точки) ($\vec{j}(\vec{r})$).
Около избранной точки пространства, в котором находится магнитное поле, выберем бесконечно малую трубку тока, с длиной $dl$, сечением $dS$. В точке $C$, которая находится на расстоянии $r$ от трубки тока, создаваемое ей поле равно:
$d\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi }\frac{\left[ \vec{j\, }\left( \vec{r}\right)\vec{r} \right]}{r^{3}}dldS\left( 3 \right)$.
где $dV=dldS.$
Результирующее поле находят интегрированием выражения (3) по объему в котором текут токи.
Применение закона Био-Савара – Лапласа для нахождения магнитного поля прямого тока
Пусть по очень длинному, тонкому проводу, течет постоянный то $I$ (рис.1). Рассчитаем поле, которое создает этот проводник в некоторой токе $C$, находящейся на расстоянии $R$ от него.
Рисунок 1. Магнитное поле прямого тока. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
По закону Био-Савара – Лапласа в точке $C$ элемент $dl$ с током $I$ создает магнитное поле:
$dB=\frac{\mu_{0}}{4\pi }\frac{Idl\sin \beta }{r^{2}}\left( 4 \right)$.
где $\beta$ – угол между направлением течения тока и $\vec{r}$.
Все элементы нашего проводника с током в точке $C$ создают магнитные поля, направленные вдоль одной прямой, и направлены они перпендикулярно плоскости рисунка к нам. Учтем следующие простые соотношения (см. рис.1):
$r=\frac{R}{\cos \alpha };l=R\, tg\, \alpha ;dl=\frac{R\, d\alpha}{{cos}^{2}\alpha };\sin {\beta =\cos {\alpha (5).}}$
Принимая во внимание формулы (5) закон (4) приведем к виду:
$dB=\frac{\mu_{0}}{4\pi }\frac{I\sin \alpha d\alpha }{R}\left( 6 \right)$
Применим принцип суперпозиции, для этого выражение (6) проинтегрируем, учтем, что $-\frac{\pi }{2}\le \alpha \le \frac{\pi }{2},$ получим:
$B=\frac{\mu_{0}}{4\pi }\frac{I}{R}\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^\frac{\pi}{2} \sin \alpha d\alpha =\frac{\mu_{0}}{2\pi }\frac{I}{R}\left( 7 \right)$
Закон полного тока и его применение для нахождения магнитного поля прямого тока
Допустим, что токи, создающие магнитное поле и контур, по которому мы будем рассматривать интегрирование, находятся в однородном магнитоизотропном веществе, тогда закон полного тока (или закон циркуляции вектора магнитной индукции) запишем в виде:
$\oint\limits_L {\vec{B}d\vec{r}=\mu \mu_{0}I\, \left( 8 \right),}$
где $\mu $ – магнитная проницаемость вещества; $I$ – алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром $L$.
Теорема о циркуляции (или закон полного тока), в теории магнетизма, играет роль аналогичную теореме Гаусса для вектора напряженности в электростатике. Если в распределении токов имеется симметрия, то этот закон упрощает процедуру поиска вектора магнитной индукции.
Рассмотрим магнитное поле, которое создается прямым длинным тонким проводом (рис.1). Условия, как и представленные выше. Найдем поле в точке $C$. Применяя закон полного тока.
Магнитное поле прямого тока имеет осевую симметрию (силовые линии поля – окружности с центрами на оси провода). Величина вектора индукции одинакова для всех точек одной такой силовой линии. В качестве контура $L$ возьмем окружность радиуса $R$, тогда циркуляция вектора индукции равна:
$\oint\limits_L {\vec{B}d} \vec{r}=BL=2\pi R B\, \left( 9 \right)$.
Поскольку контур $L$ охватывает только ток $I$, то результат правой части (9) приравняем к величине этого тока, умноженному на магнитную постоянную и магнитную проницаемость вещества:
$2\pi RB=\mu \mu_{0}I\, \, \left( 10 \right)$,
считая, что проводник находится в вакууме ($\mu=1$), получаем:
$B=\mu_{0}\frac{I}{2\pi R}\, \left( 11 \right)$.
Сравнивая формулы (7) и (11), мы видим, что результаты одинаковые.
Магнитное поле прямого тока в проводе, имеющем конечную длину
Допустим, что у нас имеется прямой тонкий провод, конечной длины по которому течет неизменяющийся ток $I$ (рис.2). Определим, какова магнитная индукция поля в точке $C$, создаваемая этим проводом.
Рисунок 2. Магнитное поле прямого тока в проводе, имеющем конечную длину. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Полярные углы, соответствующие концам проводника будем считать равными $\varphi_{1}=a$ и $\varphi_{2}=b$.
Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости рисунка. Силовые линии – это окружности, как и у бесконечного проводника.
Модуль элементарного магнитного поля ($dB$), которое создает малый участок $dl$ (рис.2) по закону Био-Савара-Лапласа запишем так:
$dB=\frac{\mu_{0}}{4\pi }\frac{Idl\sin \alpha }{r^{2}}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi R}\cos {\varphi d\varphi }\left( 12 \right)$
где из рис.2 видно, что:
- $\sin {\alpha =\cos {\varphi ;}\, }$
- $dl\cos {\varphi =rd\varphi ;\, }$
- $r=\frac{R}{\cos \varphi }.$
Воспользуемся принципом суперпозиции и получим магнитное поле в точке $C$, создаваемое всеми участками проводника с током:
$B=\int\limits_a^b {\frac{\mu_{0}I}{4\pi R}\cos {\varphi d\varphi }=}\frac{\mu_{0}I}{4\pi R}\left( \sin \left( b \right)-\sin \left( a \right)\right)\left( 13 \right)$
Если рассматривать бесконечно длинный проводник, как частный случай прямого проводника с током, то следует учесть, что для него:
$a=-\frac{\pi }{2};\, b=\frac{\pi }{2}$,
тогда из (13) следует:
$B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi R}\left( 14 \right)$
Результат (14) снова совпал с (7) и (11).
Магнитное поле внутри прямого тока
Рассмотрим длинный прямой проводник радиуса $R$. Пусть материалом этого проводника будет парамагнетик, магнитная проницаемость которого $\mu$. Материал провода будем считать однородным. Плотность тока, текущего в проводнике при этом может быть представлена:
$j=\frac{I}{\pi R^{2}}\, \left( 15 \right)$.
где $j$ – постоянная величина.
Задачу будем решать, используя закон о циркуляции вектора магнитной индукции (8). Кривую, по которой будем рассматривать циркуляцию совместим с силовой линией магнитного поля. Внутри проводника, магнитное поле так же имеет осевую симметрию. Силовые линии представлены окружностями, с центрами на оси провода. Радиус рассматриваемой силовой линии будем считать равным $r$, тогда
$\oint\limits_L {\vec{B}d} \vec{r}=B 2\pi r\, \left( 16 \right)$.
Из закона полного тока следует, что:
$2\pi rB=I_{1}=\mu \mu_{0}j\pi r^{2}\to $$B=\frac{1}{2}\mu \mu_{0}rj$ при $r\le R(17).$
Для бесконечно длинного провода мы видим:
- что внутри проводника индукция магнитного поля прямо пропорциональна расстоянию от оси провода, до точки рассмотрения.
- вне провода индукция обратно пропорциональна расстоянию.
- у поверхности проводника вектор магнитной индукции претерпевает разрыв, поскольку для внутреннего материала проводника $\mu >1$, для вакуума $\mu =1$.
