Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Магнитное поле прямого тока

Любой электрический ток можно представить в виде совокупности элементарных токов. Следовательно, можно рассчитать характеристики магнитного поля, порождаемого любыми токами, если использовать:

  1. Закон Био – Савара – Лапласа:

    dB=μ04πIr3[dlr](1)

    где dl – элементарный участок проводника, по которому течет ток I; r – радиус-вектор, который проводится от элемента dl с током к точке, в которой исследуется поле; μ0– магнитная постоянная.

  2. Принцип суперпозиции магнитных полей. Магнитная индукция поля, которое создают несколько элементов с токами, - это векторная сумма индукций полей, каждого элементарного тока отдельно. Для непрерывных токов:

    B=ldB(2).

    Замечание 1

    В выражении (2) следует учитывать, что суммирование является векторным.

Закон Био-Савара-Лапласа дает возможность рассчитывать магнитные поля, которые создают токи, распределенные в пространстве. Плотность этих токов может изменяться в зависимости от координаты (или радиус-вектора, определяющего положение точки) (j(r)).

Около избранной точки пространства, в котором находится магнитное поле, выберем бесконечно малую трубку тока, с длиной dl, сечением dS. В точке C, которая находится на расстоянии r от трубки тока, создаваемое ей поле равно:

dB=μ04π[j(r)r]r3dldS(3).

где dV=dldS.

Результирующее поле находят интегрированием выражения (3) по объему в котором текут токи.

Применение закона Био-Савара – Лапласа для нахождения магнитного поля прямого тока

Пусть по очень длинному, тонкому проводу, течет постоянный то I (рис.1). Рассчитаем поле, которое создает этот проводник в некоторой токе C, находящейся на расстоянии R от него.

Магнитное поле прямого тока. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Магнитное поле прямого тока. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

«Магнитное поле прямого тока» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

По закону Био-Савара – Лапласа в точке C элемент dl с током I создает магнитное поле:

dB=μ04πIdlsinβr2(4).

где β – угол между направлением течения тока и r.

Все элементы нашего проводника с током в точке C создают магнитные поля, направленные вдоль одной прямой, и направлены они перпендикулярно плоскости рисунка к нам. Учтем следующие простые соотношения (см. рис.1):

r=Rcosα;l=Rtgα;dl=Rdαcos2α;sinβ=cosα(5).

Принимая во внимание формулы (5) закон (4) приведем к виду:

dB=μ04πIsinαdαR(6)

Применим принцип суперпозиции, для этого выражение (6) проинтегрируем, учтем, что π2απ2, получим:

B=μ04πIRπ2π2sinαdα=μ02πIR(7)

Закон полного тока и его применение для нахождения магнитного поля прямого тока

Допустим, что токи, создающие магнитное поле и контур, по которому мы будем рассматривать интегрирование, находятся в однородном магнитоизотропном веществе, тогда закон полного тока (или закон циркуляции вектора магнитной индукции) запишем в виде:

LBdr=μμ0I(8),

где μ – магнитная проницаемость вещества; I – алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром L.

Теорема о циркуляции (или закон полного тока), в теории магнетизма, играет роль аналогичную теореме Гаусса для вектора напряженности в электростатике. Если в распределении токов имеется симметрия, то этот закон упрощает процедуру поиска вектора магнитной индукции.

Рассмотрим магнитное поле, которое создается прямым длинным тонким проводом (рис.1). Условия, как и представленные выше. Найдем поле в точке C. Применяя закон полного тока.

Магнитное поле прямого тока имеет осевую симметрию (силовые линии поля – окружности с центрами на оси провода). Величина вектора индукции одинакова для всех точек одной такой силовой линии. В качестве контура L возьмем окружность радиуса R, тогда циркуляция вектора индукции равна:

LBdr=BL=2πRB(9).

Поскольку контур L охватывает только ток I, то результат правой части (9) приравняем к величине этого тока, умноженному на магнитную постоянную и магнитную проницаемость вещества:

2πRB=μμ0I(10),

считая, что проводник находится в вакууме (μ=1), получаем:

B=μ0I2πR(11).

Сравнивая формулы (7) и (11), мы видим, что результаты одинаковые.

Магнитное поле прямого тока в проводе, имеющем конечную длину

Допустим, что у нас имеется прямой тонкий провод, конечной длины по которому течет неизменяющийся ток I (рис.2). Определим, какова магнитная индукция поля в точке C, создаваемая этим проводом.

Магнитное поле прямого тока в проводе, имеющем конечную длину. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Магнитное поле прямого тока в проводе, имеющем конечную длину. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Полярные углы, соответствующие концам проводника будем считать равными φ1=a и φ2=b.

Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости рисунка. Силовые линии – это окружности, как и у бесконечного проводника.

Модуль элементарного магнитного поля (dB), которое создает малый участок dl (рис.2) по закону Био-Савара-Лапласа запишем так:

dB=μ04πIdlsinαr2=μ0I4πRcosφdφ(12)

где из рис.2 видно, что:

  • sinα=cosφ;
  • dlcosφ=rdφ;
  • r=Rcosφ.

Воспользуемся принципом суперпозиции и получим магнитное поле в точке C, создаваемое всеми участками проводника с током:

B=baμ0I4πRcosφdφ=μ0I4πR(sin(b)sin(a))(13)

Если рассматривать бесконечно длинный проводник, как частный случай прямого проводника с током, то следует учесть, что для него:

a=π2;b=π2,

тогда из (13) следует:

B=μ0I2πR(14)

Результат (14) снова совпал с (7) и (11).

Магнитное поле внутри прямого тока

Рассмотрим длинный прямой проводник радиуса R. Пусть материалом этого проводника будет парамагнетик, магнитная проницаемость которого μ. Материал провода будем считать однородным. Плотность тока, текущего в проводнике при этом может быть представлена:

j=IπR2(15).

где j – постоянная величина.

Задачу будем решать, используя закон о циркуляции вектора магнитной индукции (8). Кривую, по которой будем рассматривать циркуляцию совместим с силовой линией магнитного поля. Внутри проводника, магнитное поле так же имеет осевую симметрию. Силовые линии представлены окружностями, с центрами на оси провода. Радиус рассматриваемой силовой линии будем считать равным r, тогда

LBdr=B2πr(16).

Из закона полного тока следует, что:

2πrB=I1=μμ0jπr2B=12μμ0rj при rR(17).

Для бесконечно длинного провода мы видим:

  • что внутри проводника индукция магнитного поля прямо пропорциональна расстоянию от оси провода, до точки рассмотрения.
  • вне провода индукция обратно пропорциональна расстоянию.
  • у поверхности проводника вектор магнитной индукции претерпевает разрыв, поскольку для внутреннего материала проводника μ>1, для вакуума μ=1.
Дата последнего обновления статьи: 23.03.2025
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Ищешь информацию по теме "Магнитное поле прямого тока"?

Наши авторы готовы помочь тебе с любым заданием! 👨‍🎓

AI Assistant