Дж. фон Нейман – известный физик и математик, внесший существенный вклад в развитие квантовой механики. Открытия и исследования ученого стали значимыми и для других областей науки, например, информатики, функционального анализа, теории множеств, экономики и других.
Наиболее известным фон Нейман был как ученый, с чьим именем связаны:
- архитектура большинства из современных компьютеров (архитектура фон Неймана);
- теория операторов в применении к квантовой механике (алгебра фон Неймана);
- теория игр;
- концепция клеточных автоматов.
Математические основы квантовой механики Неймана
Дж. фон Нейман стал одним из авторов создания строгого математического аппарата для квантовой механики. Свой научный индивидуальный подход к аксиоматизации квантовой механики он озвучил в работе на тему «математических основ квантовой механики», опубликованной в 1932 г.
Нейман заканчивает работу над аксиоматизацией теории множеств и переходит на квантовую механику. Он сразу понимает необходимость рассматривать состояния квантовых систем в качестве точек гильбертова пространства (подобно сопоставлению в классической механике состояниям точек 6N-мерного фазового пространства).
Теперь стандартные и простые для физики величины (такие как импульс и позиция) могут быть представлены в качестве линейных операторов над гильбертовым пространством. Изучение квантовой механики таким образом было редуцировано к исследованию алгебр линейных эрмитовых операторов над гильбертовым пространством.
В данном подходе принцип неопределенности, по которому невозможно точное определение импульса и местоположения частицы одновременно, будет выражен в некоммутативности соответствующих указанным величинам операторов. Данная новая математическая формулировка также включила в себя формулировки Шредингера и Гейзенберга (в виде частных случаев).
Алгебра операторов фон Неймана
В качестве примера операторных алгебр выступают алгебры фон Неймана (называются $W$-алгебрами). Они определяются в виде алгебры операторов в гильбертовом пространстве с операцией эрмитова сопряжения, замкнутой относительно слабой операторной топологии. Такая же структура сопряжения в гильбертовом пространстве на операторах позволяет построить представления $С$-алгебр. Они выстраиваются в формате операторных алгебр, замкнутых в операторной топологии.
Операторная алгебра представляет собой алгебру операторов, действительных на топологическом векторном пространстве. Активное применение операторных алгебр наблюдается в:
- теории представлений;
- дифференциальной геометрии;
- квантовой механике;
- квантовой статистической физике;
- квантовой теории поля;
- современной классической механике.
Такие алгебры могут быть задействованы с целью изучения различных множеств операторов. С такой позиции операторные алгебры могут рассматриваться в виде обобщения спектральной теории для одного оператора.
Операторная алгебра представляет множество операторов, на котором определяются топологические и алгебраические структуры. В общих случаях в операторных алгебрах применяются некоммутативные кольца.
Зачастую в операторных алгебрах важную роль играет замкнутость в отношении одной из топологий, которые определены на операторах. В теории операторов выделяют несколько главных разделов:
- Раздел спектральной теории (она направлена на изучение спектра операторов).
- Теория инвариантных подпространств.
- Классы операторов. Сюда относятся, в частности, фредгольмовы и компактные операторы, изометрии, изоморфизмы, строго сингулярные операторы и др. Здесь рассматриваются также такие виды операторов, как неограниченные и частично определенные, замкнутые.
Также выделяют следующие виды операторов:
- операторы на специальных нормированных пространствах;
- операторы на гильбертовых пространствах (для изучения нормальных, самосопряженных, унитарных, положительных и других операторов);
- операторы на функциональных пространствах (такие, как интегральные, дифференциальные, псевдоинтегральные, псевдодифференциальные), операторы простой подстановки и операторы подстановки с весом, умножения и пр.;
- операторы на банаховых решетках: положительные и регулярные;
- совокупности операторов (подмножества $L(X)$): операторные алгебры, полугруппы и др.
Уравнение фон Неймана для квантовой механики
Уравнение фон Неймана представляет уравнение в квантовой механике, созданное с целью описания эволюции не только чистых, но и смешанных состояний гамильтоновых квант-систем. Уравнение фон Неймана (также называется квантовым уравнением Лиувилля) записывается таким образом:
$\frac{d}{dt}p=\frac{1}{i\bar{h}}[H,p]$, где:
- $p$ - это матрица плотности,
- $H$- это оператор Гамильтона, квадратные скобки здесь обозначают коммутатор.
Что касается квантовых открытых, диссипативных и негамильтоновых систем, то они описываются в уравнении Линдблада, частным случаем которого представляет уравнение фон Неймана.
Редукция фон Неймана
Редукция фон Неймана (называется также коллапсом волновой функции) представляет также мгновенное изменение описания квантового состояния объекта (волновой функции). Такое изменение происходит в процессе измерения.
Поскольку данный процесс считается существенно нелокальным, а мгновенность изменения провоцирует распространение взаимодействий (быстрее скорости света) принято считать, что он относится не к физическим процессам, а к математическим приемам описания.
Однако, согласно мнению некоторых исследователей, редукция фон Неймана может отражать реальные физические процессы с эффектами, поддающимися измерению. При редукции, несмотря на мгновенность действия, не будет нарушаться принцип причинности, информация при этом не передается. В настоящее время в квантовой физике проводятся эксперименты по переводу физических объектов на грани макро- и макромира в состояние квантовой суперпозиции.
