Формулы квантовой механики

Основные формулы квантовой механики приводятся в уравнении Шредингера, принципе неопределенности Гейзенберга и квантовой гипотезе Планка.

Уравнение Шредингера

Решение уравнения Шредингера представляет основную задачу квантовой механики.

Пусть $\psi (\vec r)$ представляет амплитуду вероятности нахождения в точке М частицы. Благодаря стационарному уравнению Шредингера, мы можем определить, что функция $\psi (\vec r)$ удовлетворяет следующему уравнению:

$-\frac {\bar h^2 2m} {\nabla^2} \psi+U( \vec r ) \psi=E \psi$

Где $\nabla^2$ это оператор Лапласа, а $U=U(\vec r)$ представляет потенциальную энергию частицы как функции от $\vec r$.

Получение точного решения стационарного уравнения Шредингера становится возможным только для нескольких систем (сравнительно простых). Среди таких выделяют:

• квантовый гармонический осциллятор;
• атом водорода.

В отношении большинства реальных систем с целью получения решений могут использоваться разные приближенные методы, подобные теории возмущений.

Принцип неопределенности Гейзенберга

Соотношение неопределенности возникает между абсолютно любыми квантовыми наблюдаемыми, которые определяются не коммутирующими операторами. Неопределенность между координатой и импульсом возникает следующим образом:

Пусть $\Delta x$ будет среднеквадратическим отклонением координаты частицы $M$, которая движется вдоль оси $x$, а $\Delta p$ - среднеквадратическим отклонением ее импульса.

Величины $\Delta x$ и $\Delta p$ будет связывать следующее неравенство:

$\Delta x \Delta p \geqslant \frac {\bar h}{2}$, где $h$ постоянная Планка

$\bar{h}=\frac{h}{2\pi}$

Исходя из соотношения неопределенностей, становится невозможным абсолютно точное определение одновременно координаты и импульса частицы. Так, при повышении точности измерения координаты, будет уменьшаться максимальная точность измерения импульса и наоборот. Параметры, для которых справедливо данное утверждение, называют в физике канонически сопряженными.

Это центрирование на измерении, автором которого считается Н. Бор. Соотношение неопределенности теоретически выводится из постулатов Борна и Шредингера. Оно имеет отношение не к самому измерению, а к состоянию объекта, утверждая, что для любого возможного состояния будут выполняться соответствующие соотношения неопределенности (в том числе и для измерений)

Таким образом, в состояниях, где неопределенность координаты будет меньше, больше станет неопределенность импульса.

Существует также неопределенность между временем и энергией. Пусть $\Delta E$ – это среднеквадратическое отклонение при измерениях энергии определенного состояния квант-системы. $\Delta t$ при этом характеризует время жизни такого состояния. Тогда будет выполняться следующее неравенство:

$\Delta E\Delta t \geqslant \frac {\bar h}{2}$

У состояния, продолжаемого короткое время, не может быть хорошо определенная энергия. В то же время, несмотря на определенную схожесть этих двух соотношений неопределенности, их природа будет совершенно различной.

Квантовая гипотеза Планка

Гипотеза Планка представляет идею М. Планка, озвученную в 190 г., об испускании и поглощении энергии. Так, согласно гипотезе физика, при тепловом излучении энергия будет как поглощаться, так и испускаться не непрерывным образом, а в виде отдельных порций (квантов).

Каждая такая квант-порция будет иметь энергию $E$, пропорциональную частоте $v$ излучения:

$E=hv=\bar{h}\omega$

Где $h$ или $\bar{h}$ определяются формулой:

$\bar{h}=\frac{h}{2\pi}$

$h$ или $\bar{h}$ это коэффициент пропорциональности, который впоследствии был назван постоянной Планка.

На основании данной гипотезы Планк предложил теоретический вывод о соотношении температуры тела и испускаемым данным телом излучения.

Постоянная Планка представляет чрезвычайно малую величину в сравнении с действием объектов при макроскопическом движении, а квант-эффекты зачастую проявляются в микро-масштабах.

В случае, если физическое действие системы будет намного больше, чем постоянная Планка, квантовая механика органически переходит в классическую. Квантовая механика, в свою очередь, представляет нерелятивистское приближение малых энергий (сравнительно с энергией покоя массивных частиц системы) в квантовой теории поля.

Позднее данная гипотеза была подтверждена экспериментальным образом. Ее выдвижение считается моментом зарождения квантовой механики.