Если все точки тела совершают движения по окружностям, при этом все центры данных окружностей находятся на одной прямой, тогда такое движение тела (системы) называют вращением. При этом ось, на которой находятся центры окружностей, получила название оси вращения:
- ее положение может быть внутри тела (системы) или вне его;
- она может двигаться или быть неподвижной;
- плоскости траекторий движения точек тела перпендикулярны оси вращения;
- в трехмерном пространстве каждое вращение обладает осью вращения (теорема Эйлера).
Угловая скорость
Допустим, что некоторое твердое тело совершает вращения вокруг неподвижной оси. В таком движении точки данного тела описывают окружности. Центы этих окружностей принадлежат оси вращения, радиусы их различны.
Рассмотрим одну точку нашего тела. Пусть она перемещается по окружности, радиус которой равен $R$ (рис.1).
Рисунок 1. Угловая скорость. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Положение, рассматриваемой точки будем задавать при помощи угла поворота $\Delta \varphi$.
Элементарно малые углы поворота можно рассматривать как векторы. При этом величина вектора $d\vec \varphi$ равна величине угла поворота $\Delta \varphi$ (рис.1).
Направление $d\vec \varphi$ подчинено правилу правого буравчика, то есть направлено вдоль направления поступательного перемещения острия винта, при вращении его головки, совпадающем с направлением вращения точки по ее окружности.
$d\vec \varphi$ называют аксиальным вектором (псевдовектором). Псевдо векторы не имеют точки приложения, их изображают в любой точке на оси вращения.
$\vec \omega =\frac {d\vec \varphi}{dt} (1)$,
$\vec \omega$ - угловая скорость.
Вектор $\omega$ направлен по оси вращения (правило правого винта), и совпадает по направлению с элементарным углом поворота $d\vec \varphi$ (рис.1).
Единица $\omega$ - это радиан, деленный на секунду (рад/с).
Линейную скорость нашей материальной точки можно связать с угловой скоростью, эту связь легко установить, рассматривая рис.1.
$v=\lim {_{\Delta t \to 0}}( \frac {\Delta s}{\Delta t})=R \lim {_{\Delta t \to 0}}(\frac{\Delta \varphi}{\Delta t})=R\omega.$
Мы получили, линейная скорость по величине равна:
$v=\omega R (2).$
В виде вектора линейная скорость материальной точки, определяется так:
$\vec v = \vec \omega \times \vec R (3),$
где $R$ - радиус окружности.
Из формулы (3) следует, что величина линейной скорости равна:
$v=\omega \times R sin (\alpha )(4),$
где $\alpha$ - угол между векторами $\vec \omega$ и $\vec R$.
Направление результата векторного произведения в (4) определяет правило правого винта. Головку винта вращают от $\vec \omega$ к $\vec R$, поступательное перемещение острия указывает направление $\vec v$.
При постоянной угловой скорости вращение называют равномерным.
Период вращения
Для характеристики равномерного вращения вводят такую физическую величину, как период вращения $T$.
Периодом вращения называют время, равное времени полного оборота точки на угол в $360^0 C$:
$T=\frac{2\pi}{\omega}(5).$
Величину, обратную периоду вращения называют частотой ($\nu$):
$\nu=\frac{1}{T}(6).$
Следовательно:
$\omega = 2\pi \nu (7).$
Угловое ускорение
Угловым ускорением называют вектор, равный:
$\vec \varepsilon= \frac {d\vec \omega}{dt}(8),$
или второй производной от угла поворота:
$\vec \varepsilon= \frac {d^2\vec \varphi }{dt^2}.$
При движении по окружности вектор $\omega$ изменяется только по величине, не изменяя своего направления. В этом случае полное ускорение материальной точки можно найти, применяя выражение (3) и (8) как:
$\vec \varepsilon= \frac {d\vec \omega}{dt}=\frac {d\vec \omega}{dt} \times \vec R+\vec \omega \times \frac{d\vec R}{dt}=\frac {d\vec \omega}{dt} \times \vec R+ \vec \omega \times \vec v $.
Если тело совершает вращения около неподвижной оси, то $\vec \varepsilon$ имеет направление вдоль оси вращения тела.
Если угловая скорость вращения тела увеличивается (вращение ускоренное), то вектор углового ускорения и вектор угловой скорости сонаправлены.
При замедленном вращении векторы углового ускорения и угловой скорости имеют противоположные направления.
Тангенциальная и нормальная компоненты линейного ускорения
По определению, составляющая линейного ускорения ($a_{\tau}$), которая отвечает за изменение величины скорости движения тела (тангенциальное ускорение) равна:
$a_{\tau}=\frac{dv}{dt}(9).$
Принимая во внимание выражение (2), мы получим:
$a_{\tau}=\frac{d(\omega R)}{dt}=R \frac {d \omega}{dt}=R\varepsilon (10).$
Ускорение, отвечающее за изменение направления скорости движения при криволинейном перемещении – это нормальное (или центростремительное ускорение) ($a_n$) равно:
$a_n=\frac {v^2}{R} (11).$
Использовав формулу (2), имеем:
$a_n=\frac {\omega^2 R^2}{R}=\omega^2 R (12).$
Мы получили связи между линейными параметрами движения:
- длиной пути ($s$) пройденным, материальной точкой по дуге окружности радиуса $R$;
- линейной скоростью перемещения точки $v$;
- тангенциальным ускорением $a_{\tau}$;
- нормальным ускорением $a_n$
и угловыми величинами:
- углом поворота $\varphi$;
- угловой скоростью $\omega$;
- угловым ускорением $varepsilon$.
$s=R\Delta \varphi$, $v=R\omega$, $a_{\tau}=R\varepsilon$, $a_n=\omega^2R.$
Вращение с постоянным угловым ускорением
Если вращение материальной точки происходит с постоянным угловым ускорением ($\varepsilon = const$,), то его называют равнопеременным.
В таком случае это движение можно описывать при помощи следующих уравнений. Для угловой скорости имеют место равенства:
$\omega = \omega _0+\varepsilon t (13) $
при вращении с положительным ускорением (равноускоренное движение) и
$\omega = \omega _0-\varepsilon t (14) $
при равнозамедленном вращении. В формулах (13) и (14) $\omega_0$ - начальная скорость вращения.
Угол поворота материальной точки при равноускоренном движении задает формула:
$\varphi= \varphi_0 + \omega _0 t +\frac{\varepsilon t^2}{2} (15)$
при равноускоренном движении
$\varphi= \varphi_0 + \omega _0 t - \frac{\varepsilon t^2}{2} (16)$
при равнозамедленном движении. В уравнениях (15) и (16) $\varphi_0 $ - начальный угол поворота.
