Угловое ускорение

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости с течением времени. Если за промежуток времени ∆t = t1 - t угловая скорость изменяется на величину ∆ $\omega$ = $\omega$ 1 - $\omega$ , то числовое значение среднего углового ускорения за этот промежуток времени будет $\left\langle \varepsilon \right\rangle =\frac{\triangle \omega }{\triangle t}=\varepsilon$ . Перейдя к пределу при ∆t>0, получим: $\varepsilon ={\mathop{lim}_{\triangle t\to 0} \frac{\triangle \omega }{\triangle t}=\frac{d\omega }{dt}=\frac{d^2\varphi }{dt}=\dot{\omega }=\ddot{\varphi }\ }$ .

Таким образом, числовое значение углового ускорения в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота по времени.

Размерность углового ускорения $1/T^2$ ( $1/время^2$ ); в качестве единицы измерения обычно применяется $рад/с^2$ или, что то же, $1/с^2$ $(с^{-2})$ .

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает, замедленным. Легко видеть, что вращение будет ускоренным, когда величины $\omega$ и $\varepsilon$ имеют одинаковые знаки, и замедленным - когда знаки разные.

Вектор углового ускорения

Рисунок 1. Вектор углового ускорения

Угловое ускорение тела можно представить в виде вектора $\overrightarrow{\varepsilon }=\frac{d\overrightarrow{\omega }}{dt}$ , направленного вдоль оси вращения. Направление $\overrightarrow{\varepsilon }$ совпадает с направлением $\overrightarrow{\omega }$ , когда тело вращается ускоренно (рис.1, а), и противоположно $\overrightarrow{\omega }\$ при замедленном вращении (рис.1, б).

Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным ( ${\mathbf \varepsilon }$ =const), то вращение называется равнопеременным. Найдем закон равнопеременного вращения, считая, что в начальный момент времени $t_0$ угол ${\mathbf \varphi }$ = ${\mathbf \varphi }$ 0, а угловая скорость ${\mathbf \omega }$ = ${\mathbf \omega }$ 0 ( ${\mathbf \omega }$ 0 - начальная угловая скорость).

Из формулы $\varepsilon =\frac{d\omega }{dt}=\dot{\omega }=\ddot{\varphi }$ имеем d $\omega$ = $\varepsilon$ dt. Интегрируя левую часть в пределах от $\omega_0$ до $\omega$ , а правую - в пределах от 0 до t, найдем:

$\omega$ = $\omega_0$ + $\varepsilon$ t, d $\varphi$ = $\omega$ 0dt + $\varepsilon tdt$ .

Вторично интегрируя, найдем отсюда закон равнопеременного вращения: ${\mathbf \varphi }={\ {\mathbf \varphi }}_0\ +{\mathbf \omega }t+\frac{{\mathbf \varepsilon }t^2}{2}$

Если величины $\omega$ и $\varepsilon$ имеют одинаковые знаки, то вращение будет равноускоренным, а если разные - равнозамедленным.

Угловое ускорение связано с полным и тангенциальным. Для точки, неравномерно вращающейся по окружности радиуса R, $a_{\tau }=\varepsilon R$ . Учитывая, что нормальное ускорение связано с угловой скоростью $a_n={\omega }^2R$ , для полного ускорения получаем: $a=\sqrt{a^2_{\tau }+a^2_n}=R\sqrt{{\varepsilon }^2+{\omega }^4}$ . В случае равнопеременного движения $\omega =\varepsilon t$ , $a_n={\omega }^2R={\varepsilon }^2t^2R$ , $a=R\sqrt{{{\varepsilon }^2+\varepsilon }^4t^4}=R\varepsilon \sqrt{1+{\varepsilon }^2t^4}$

Задача 1

На рис.2 показаны направления вращения гироскопа (волчка) и указано, увеличивается или уменьшается угловая скорость. Укажите номер рисунка, на котором правильно указано направление углового ускорения.

Задача 1

Рисунок 2

Решение

Псевдовектор угловой скорости связан с направлением вращения правилом буравчика (правого винта). На рис. 2.1 и рис. 2.3 он направлен вверх, на рис. 2.2 и рис. 2.4 - вниз.

При возрастании угловой скорости ее приращение, а соответственно и вектор углового ускорения совпадают с вектором угловой скорости (рисунки 1 и 4). При уменьшении угловой скорости ее приращение, а соответственно, и вектор углового ускорения противоположны вектору угловой скорости (рис.2 и рис.3). Следовательно, на всех рисунках направление углового ускорения указано правильно.

Задача 2

Материальная точка движется по окружности радиуса R так, что зависимость угла поворота от времени задана уравнением ${\mathbf \varphi }$ = ${\mathbf \alpha }$ t3. Найти полное ускорение точки как функцию времени.

Решение

Найдём угловую скорость и угловое ускорение точки:

$\omega =\frac{d\varphi }{dt}=3\alpha t^2;;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon =6\alpha t$

Полное ускорение