
Движение по окружности
Частным случаем криволинейного движения в физике является движение по окружности. Движение по окружности, даже равномерное, всегда есть движение ускоренное: модуль скорости все время направлен по касательной к траектории, постоянно меняет направление, поэтому вектор ускорения при движении по окружности направлен к центру окружности и перпендикулярно вектору скорости.
Окружность - плоская фигура, поэтому движение по окружности является плоским движением.
Рассмотрим определение движения по окружности.
Равномерное движение по окружности в физике - это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени описывает одинаковые дуги.
Положение тела на окружности определяется радиусом-вектором →r=R, проведенным из центра окружности. Модуль радиуса-вектора равен радиусу окружности: |→r|=R.
Рисунок 1. Скорость и перемещение при круговом движении в физике
За время ∆t тело, двигаясь из точки A в точку B, совершает перемещение \triangle r, равное хорде AB, и проходит путь, равный длине дуги l. Радиус-вектор поворачивается на угол {\mathbf ∆}{\mathbf \varphi }. Угол выражают в радианах.
Скорость \overrightarrow{v} движения тела по окружности направлена по касательной к траектории. Она называется линейной скоростью. Модуль линейной скорости равен отношению длины дуги окружности l к промежутку времени \triangle t, за который эта дуга пройдена: v=\frac{l}{\triangle t}
Скалярная физическая величина, численно равная отношению угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел, называется средней угловой скоростью: \omega =\frac{\triangle \varphi }{\triangle t}. В СИ единицей угловой скорости является радиан в секунду.
При равномерном движении по окружности угловая скорость и модуль линейной скорости величины постоянные: {\mathbf \omega } = const; v = const.
Положение тела можно определить, если известен модуль радиуса- вектора \overrightarrow{r} и угол {\mathbf \varphi }, который он составляет с осью Ox (угловая координата). Если в начальный момент времени t_0=0 угловая координата равна \varphi 0, а в момент времени t она равна \varphi , то угол поворота ∆\varphi радиуса-вектора за время ∆t=t-t_0 равен ∆\varphi =\varphi -\varphi 0. Тогда из последней формулы можно получить закон равномерного движения материальной точки по окружности:
\varphi = \varphi_0 +\omega t
Он позволяет определить положение тела в любой момент времени t.
Учитывая, что \triangle \varphi =\frac{1}{R}, получаем формулу связи между линейной и угловой скоростью: \omega =\frac{l}{R\triangle t}=\frac{v}{R}
Ускорение равномерного движения по окружности
При движении по окружности, как и при всяком криволинейном движении, ускорение можно представить как сумму нормальной {\overrightarrow{a}}_nи тангенциальной {\overrightarrow{a}}_{\tau }составляющих: \overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}_{\tau }+{\overrightarrow{a}}_n
При равномерном движении по окружности линейная скорость постоянна, и тангенциальная составляющая ускорения {\overrightarrow{a}}_{{\mathbf \tau }}=0. Следовательно, в этом случае \overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}_n.
Рисунок 2. Ускорение и скорость при равномерном круговом движении
\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|{\overrightarrow{a}}_n\right|=\frac{v^2}{R}=\frac{{\left(\frac{2\pi r}{T}\right)}^2}{R}={\omega }^2R
Важнейшими характеристиками равномерного движения по окружности кроме центростремительного ускорения являются период и частота обращения.
Период обращения, который можно выразить в виде T=\frac{t}{n}=\frac{2\pi R}{v} - это время, за которое тело совершается один оборот.
Частота обращения, что отображается \ \ \nu =\frac{n}{T} - это величина, численно равная числу оборотов, которые совершены за единицу времени. Измеряется частота в 1/с.
Период и частота – величины, которые взаимно обратны: \nu =\frac{1}{T}
Неравномерное движение по окружности отличается от равномерного только тем, что тангенциальная составляющая ускорения {\overrightarrow{a}}_{{\mathbf \tau }}\ne 0, а линейная скорость v(t) и угловая скорость {\mathbf \omega }(t) непостоянны, а являются функциями времени.
Для случая равноускоренного движения по окружности
\left|{\overrightarrow{a}}_{{\mathbf \tau }}\right|=a_{\tau }=const; v=v_0+a_{\tau }t; \left|\overrightarrow{v}\right|=\int^t_0{a_{\tau }dt=\frac{a_{\tau }}{t}} ; \left|{\overrightarrow{a}}_n\right|=a_n=\frac{v^2}{r}=\frac{{a_{\tau }}^2}{rt^2}; {a_{\tau }}^2=a_nrt^2; a=\sqrt{a^2_n+a^2_{\tau }}=a_n\sqrt{1+rt^2}
В угловых координатах для движения по окружности с угловой скоростью \omega \left(t\right)=\frac{d\varphi }{dt}, и угловым ускорением \varepsilon =\frac{d\omega }{dt}=\frac{d^2\varphi }{dt^2}, получаем закон равнопеременного движения по окружности: \varphi \left(t\right)={\varphi }_0+\omega \left(t\right)t+\varepsilon \frac{t^2}{2} , где \omega \left(t\right)=\frac{v\left(t\right)}{R};;\ \ \ \ \varepsilon =\frac{a_{\tau }}{R}.
Задача.
Материальная точка движется по окружности радиусом 3 м со скоростью 12\pi м/с. Чему равна частота обращения?
Решение.
T=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi \times 3}{12\pi }=\frac{1\ }{4}c
\nu =\frac{1}{T}=4\ c^{-1}
Ответ: Частота обращения составляет 4 оборота за секунду
Задача.
Точка начала двигаться по окружности радиусом 0,6 м с тангенциальным ускорением 0,1 м/с2. Чему равны нормальное и полное ускорения в конце третьей секунды после начала движения? Чему равен угол между векторами полного и нормального ускорений в этот момент?
Решение.
v=v_0+a_{\tau }t=0.1\times 3=0,3\ м/с
a_n=\ \frac{v^2}{R}=\frac{{0,3}^2}{0,6}=0,15\ м/c^2\
\alpha =arctg\frac{a_{\tau }}{a_n}=arctg\frac{0.1}{0.15}=0,588\ рад.=37,43{}^\circ
Рисунок 3. Рисунок к задаче. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
