
Движение по окружности
Частным случаем криволинейного движения в физике является движение по окружности. Движение по окружности, даже равномерное, всегда есть движение ускоренное: модуль скорости все время направлен по касательной к траектории, постоянно меняет направление, поэтому вектор ускорения при движении по окружности направлен к центру окружности и перпендикулярно вектору скорости.
Окружность - плоская фигура, поэтому движение по окружности является плоским движением.
Рассмотрим определение движения по окружности.
Равномерное движение по окружности в физике - это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени описывает одинаковые дуги.
Положение тела на окружности определяется радиусом-вектором →r=R, проведенным из центра окружности. Модуль радиуса-вектора равен радиусу окружности: |→r|=R.
Рисунок 1. Скорость и перемещение при круговом движении в физике
За время ∆t тело, двигаясь из точки A в точку B, совершает перемещение △r, равное хорде AB, и проходит путь, равный длине дуги l. Радиус-вектор поворачивается на угол ∆φ. Угол выражают в радианах.
Скорость →v движения тела по окружности направлена по касательной к траектории. Она называется линейной скоростью. Модуль линейной скорости равен отношению длины дуги окружности l к промежутку времени △t, за который эта дуга пройдена: v=l△t
Скалярная физическая величина, численно равная отношению угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел, называется средней угловой скоростью: ω=△φ△t. В СИ единицей угловой скорости является радиан в секунду.
При равномерном движении по окружности угловая скорость и модуль линейной скорости величины постоянные: ω=const; v=const.
Положение тела можно определить, если известен модуль радиуса- вектора →r и угол φ, который он составляет с осью Ox (угловая координата). Если в начальный момент времени t0=0 угловая координата равна φ0, а в момент времени t она равна φ, то угол поворота ∆φ радиуса-вектора за время ∆t=t−t0 равен ∆φ=φ-φ0. Тогда из последней формулы можно получить закон равномерного движения материальной точки по окружности:
φ=φ0+ωt
Он позволяет определить положение тела в любой момент времени t.
Учитывая, что △φ=1R, получаем формулу связи между линейной и угловой скоростью: ω=lR△t=vR
Ускорение равномерного движения по окружности
При движении по окружности, как и при всяком криволинейном движении, ускорение можно представить как сумму нормальной →anи тангенциальной →aτсоставляющих: →a=→aτ+→an
При равномерном движении по окружности линейная скорость постоянна, и тангенциальная составляющая ускорения →aτ=0. Следовательно, в этом случае →a=→an.
Рисунок 2. Ускорение и скорость при равномерном круговом движении
|→a|=|→an|=v2R=(2πrT)2R=ω2R
Важнейшими характеристиками равномерного движения по окружности кроме центростремительного ускорения являются период и частота обращения.
Период обращения, который можно выразить в виде T=tn=2πRv - это время, за которое тело совершается один оборот.
Частота обращения, что отображается ν=nT - это величина, численно равная числу оборотов, которые совершены за единицу времени. Измеряется частота в 1/с.
Период и частота – величины, которые взаимно обратны: ν=1T
Неравномерное движение по окружности отличается от равномерного только тем, что тангенциальная составляющая ускорения →aτ≠0, а линейная скорость v(t) и угловая скорость ω(t) непостоянны, а являются функциями времени.
Для случая равноускоренного движения по окружности
|→aτ|=aτ=const;v=v0+aτt;|→v|=∫t0aτdt=aτt;|→an|=an=v2r=aτ2rt2;aτ2=anrt2;a=√a2n+a2τ=an√1+rt2
В угловых координатах для движения по окружности с угловой скоростью ω(t)=dφdt, и угловым ускорением ε=dωdt=d2φdt2, получаем закон равнопеременного движения по окружности: φ(t)=φ0+ω(t)t+εt22 , где ω(t)=v(t)R;; ε=aτR.
Задача.
Материальная точка движется по окружности радиусом 3 м со скоростью 12π м/с. Чему равна частота обращения?
Решение.
T=2πRv=2π×312π=1 4c
ν=1T=4 c−1
Ответ: Частота обращения составляет 4 оборота за секунду
Задача.
Точка начала двигаться по окружности радиусом 0,6 м с тангенциальным ускорением 0,1 м/с2. Чему равны нормальное и полное ускорения в конце третьей секунды после начала движения? Чему равен угол между векторами полного и нормального ускорений в этот момент?
Решение.
v=v0+aτt=0.1×3=0,3 м/с
an= v2R=0,320,6=0,15 м/c2
α=arctgaτan=arctg0.10.15=0,588 рад.=37,43∘
Рисунок 3. Рисунок к задаче. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
