Динамика гармонических колебаний

Характер движения тела (системы тела) определяют, опираясь на законы динамики или закон сохранения энергии. При этом составляют уравнение движения тела. Если получают уравнение вида:

$\ddot{q}+\omega_0^2 q$=0 (1),

где $q$ - величина, совершающая колебаний (например, смещение от положения равновесия, скорость движения тела; заряд или др.); $\omega_0$ - циклическая частота колебаний,

то можно однозначно говорить о том, что это тело (система тел) является гармоническим осциллятором, с круговой частотой $\omega_0$, которая равна квадратному корню из коэффициента, на который умножается параметр $q$.

Приведём несколько примеров, после этого выполним обобщение результатов.

Математический маятник

Пусть материальная точка, имеющая массу $m$, подвешена на длинной нерастяжимой нити. (Длина подвеса $l$). Данная точка выполняет колебания в вертикальной плоскости (рис.1).

Рисунок 1. Математический маятник. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Началом отсчета колебаний будем считать положение равновесия (точку $O$) рис.1. Величину смещения шарика по дуге определим «дуговой» координатой:

$s=l\Theta$; $\ddot{s}=l\ddot{\Theta}(2)$.

Ось $X$ направим по касательной к траектории движения шарика (рис.1). При этом проекция на эту ось силы натяжения ($\vec F$) будет равна нулю, значит в проекции на $X$ второй закон Ньютона даст нам уравнение:

$m\ddot{s}=m l\ddot{\Theta}=-mg\sin\Theta $ или

$\ddot{\Theta }+\frac{g}{l}\sin \Theta =0 (3).$

Сравнивая уравнения (3) и (1) мы видим, что уравнение (3) не является уравнением гармонического осциллятора, так как во втором слагаемом левой части мы имеем синус угла, вместо самого угла. Но при малых колебаниях можно предположить, что:

$\sin\Theta \approx \Theta $, тогда уравнение (3) переходит в:

$\ddot{\Theta }+\frac{g}{l} \Theta =0 (4),$

которое по форме совпадает с уравнением колебаний гармонического осциллятора. Из уравнения (4) мы получим, что

• циклическая частота гармонических колебаний математического маятника равна:

  $\omega_0=\sqrt{\frac{g}{l}}(5)$;

• период данных колебаний не зависит от амплитуды и равен:

  $T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}(6).$

Колебания частицы в потенциальном поле

Рассмотрим пример колебаний малой частицы в потенциальном поле с заданной потенциальной энергией.

Допустим, что материальная точка массы $m$ выполняет колебания в поле потенциальных сил. Потенциальная энергия данной точки зависит от ее координаты $x$ и представлена функцией:

$U(x)=U_0(1-\cos (\alpha x))$, где $U_0 = const$; $\alpha = const$.

Найдем частоту колебаний частицы, если ее смещение от положения равновесия малы. Положение равновесия точки в $x=0$.

В соответствии с основным уравнением динамики мы имеем:

$m\ddot{x}=F_x (7).$

Потенциальная сила и потенциальная энергия связаны соотношением:

$F_x=-\frac{\partial U(x)}{\partial x} (8).$

Используя заданную в условии функцию $U(x)$, получим:

$ m\ddot{x}=-\alpha U_0\sin (\alpha x)(9).$

Принимая во внимание тот факт, что материальная точка совершает малые колебания, положим:

$\sin (\alpha x) \approx \alpha x $, тогда уравнение (9) приведем к виду:

$m\ddot{x}+\frac{\alpha^2U_0}{m}x=0(10).$

Из уравнения (10) следует, что круговая частота гармонических колебаний, совершаемых материальной точкой в заданном случае равна:

$\omega_0=\alpha\sqrt{\frac{U_0}{m}}(11).$

Рассмотренный математический маятник и частица в потенциальном поле – это системы, совершающие свободные колебания при отсутствии трения, происходящие в колебательной системе, которая предоставлена самой себе после выведения ее (каким- либо способом) из состояния равновесия.

Можно говорить о том, что свободные колебания каждого осциллятора, если трение отсутствует можно рассматривать как гармонические, при условии действия в этой колебательной системе квазиупругой силы.

Частота и период свободных колебаний без трения зависят только от свойств самого осциллятора, не зависят, например, от начальных условий колебаний.

Энергия и уравнение движения

Уравнение колебаний получают, не только применяя уравнения динамики, но и закон сохранения энергии ($E$). С этой целью записывают выражение энергии и дифференцируют его по времени. Далее выставляется требование:

$\frac{dE}{dt}=0(12),$

так как энергия сохраняется ($E=const$).

Получим уравнение гармонического осциллятора, если потенциальная энергия задана функцией:

$U(x)=\alpha x^2$,

кинетическая энергия равна:

$E_k=\beta \dot{x}^2,$

где $x$- смещение от положения равновесия; $\alpha $ и $\beta $ постоянные большие нуля. Убедимся, что условие сохранения полной механической энергии ($E=U+E_k$) приведет к получению уравнения движения колебательной системы.

• Найдем полную механическую энергию, как сумму потенциальной и кинетической энергии:

  $E=U+E_k=\alpha x^2+\beta \dot{x}^2 (14).$

• Продифференцируем полную энергию ($E$) (14) по времени:

  $\frac{dE}{dt}=2\alpha x\dot{x}+2\beta\dot{x}\ddot{x}(15).$

• Приравняем полученную производную к нулю, так как $E=const$:

  $\frac{dE}{dt}=2\alpha x\dot{x}+2\beta\dot{x}\ddot{x}=0(16).$

Из уравнения (16) следует, что равенство нулю производной ($\frac{dE}{dt}$) возможно, если :

$\ddot{x}+\frac{\alpha}{\beta}x=0 (17).$

Уравнение (17) является уравнением гармонических колебаний осциллятора в заданном случае.

При этом круговая частота колебаний составляет:

$\omega_0=\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}.$