Амплитуда гармонических колебаний

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени. Эти движения мы можем наблюдать:

• при движении планет;
• в разных механических машинах;
• они находятся в основе измерения времени;
• звуковые явления объясняют механические колебания.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Данный тип колебаний применяют:

• в разных технических устройствах;
• для целей телефонной, телеграфной и радиосвязи;
• создания технических переменных токов;
• свет – нечто иное, как электромагнитные колебания.

Гармоническими называют колебания, которые описывают при помощи тригонометрических законов синуса и косинуса.

Уравнение собственных электрических колебаний

Допустим, что электрические процессы в контуре, состоящем из:

• конденсатора (ёмкость $C$);
• сопротивления ($R$);
• катушки индуктивности ($L$)

являются квазистационарными. Это означает:

1. что мгновенная сила тока $I$ одинакова в каждой точке контура;
2. к мгновенным значениям электрических параметров можно применять законы Кирхгофа.

Изменение заряда описывает в таком контуре дифференциальное уравнение второго порядка с обыкновенными производными и постоянными коэффициентами:

$\frac{d^2q}{dt^2}+2\alpha \frac{dq}{dt}+\omega_0^2q=0 (1),$

где $\omega_0=\frac{1}{LC}$ - циклическая (круговая) частота колебаний; $\alpha=\frac{R}{2L}$.

Аналогичные уравнения описывают колебания напряжения и силы тока.

Если колебания описываю при помощи линейных дифференциальных уравнений, то такие колебания являются линейными, соответствующие им колебательные системы, именуют линейными колебательными системами.

Амплитуды заряда, силы тока и напряжения при колебаниях в идеальном электрическом контуре.

Для того чтобы задача описания колебаний стала полностью определенной необходимо задать начальные условия, которых должно быть два, так как мы имеем уравнение второго порядка. Обычно начальными условиями для уравнения (1) являются:

1. $q=q_0$ при $t=0$;
2. $\frac{dq}{dt}=0.$

Если сопротивление контура можно считать равным нулю ($R=0$), тогда уравнение колебаний (1) принимает вид:

$\frac{d^2q}{dt^2}+\omega_0^2q=0 (2).$

Общим решением уравнения (2) является гармоническое колебание:

$q=A\cos (\omega_0 t+\varphi) (3),$

где $A$ - амплитуда колебаний; $\varphi$ - начальная фаза колебаний.

Амплитуда (как и начальная фаза) определяются начальными условиями колебаний.

Подставим начальные условия в гармоническое колебание (3), получим:

$A\cos \varphi = q_0$, $A\omega_0\sin \varphi = 0 (4).$

Из (4) имеем:

$\varphi=0$; $A=q_0$.

В окончательном виде уравнение гармонического колебания (3) запишем как:

$q=q_0\cos (\omega_0 t) (4).$

Напряжение на конденсаторе в контуре изменяется в соответствии с законом:

$U_C=\frac{q}{C}=U_0\cos \omega_0 t (5),$

где амплитуда напряжения равна первоначальному напряжению на конденсаторе: $U_0=\frac{q_0}{C}.$

Силу тока в контуре найдём как:

$I=-\frac{dq}{dt}=q_0\omega_0 \sin (\omega t)=I_0 \sin (\omega_0 t) (6),$

где $I_0= q_0\omega_0$ - амплитуда силы тока. Сравнивая выражения (4) и (6) мы видим, что заряд и силы тока совершают изменения в соответствии с гармоническими законами, при этом:

• колебания заряда происходят по закону косинуса;
• сила тока колеблется по закону синуса.

Поскольку из тригонометрии мы знаем, что:

$\sin (\omega_0 t) = \cos(\omega_0 t-\frac{\pi}{2})$ - это означает, что между колебаниями заряда и силы тока имеется разность фаз $\frac{\pi}{2}$, колебания силы тока отстают по фазе.

Для графического изображения колебаний по горизонтальной оси откладывать время, а по вертикальной заряд (силу тока или напряжение). В таком случае получится периодическая кривая – синусоида или косинусоида. Форму кривой определяют амплитуда колебаний физического параметра и циклическая частота $\omega_0$. Положение кривой зависит от начальной фазы.

Амплитуда гармонических механических колебаниях

Рассмотрим гармонические колебания материальной точки, которая совершает движения вдоль оси $X$:

$x=A\cos (\omega t+\delta)(7),$

где $\delta$ - начальная фаза колебаний; $A$ - амплитуда колебаний – максимальное отклонение колеблющейся материальной точки от положения равновесия. $\omega $ - циклическая частота колебаний.

Скорость колебаний по оси $X$ нашей материальной точки составляет:

$v=\dot{x}=-\omega A\sin (\omega t+\delta) (8),$

где амплитуда скорости равна $v_m=\omega A$.

Найдем вторую производную от уравнения колебаний (7), имеем:

$a=\dot{v}=\ddot{x}=-\omega^2A\cos(\omega t+\delta)(8)$.

амплитуда ускорения нашей точки равна $a_m=\omega^2A $.

Амплитуда колебаний при наличии затухания

Обратимся к реальному электрическому контуру, который обладает сопротивлением отличным от нуля. В этом случае колебания подчиняются закону (1). Если $\omega_0^2$ > $\alpha^2$, тогда решением дифференциального уравнения (1) служит выражение:

$q=Ae^{-\alpha t}\cos (\omega t+\varphi)(9),$

где $A=const$ и $\varphi=const$ - задаются начальными условиями; $\omega = \sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}$.

Уравнение (9) условно можно считать гармоническим колебанием с круговой частотой $\omega$ и амплитудой, равной:

$y=Ae^{-\alpha t}(10),$

которая не является постоянной, а постоянно уменьшается со временем. Величину $\alpha$ называют коэффициентом затухания.