Формула центростремительного ускорения в физике

Ускорение точки, движущейся по окружности

Полное ускорение точки, движущейся по окружности, складывается из двух составляющих:

• тангенциального ускорения, направленного по касательной к данной окружности;
• центростремительного ускорения, направленного по радиусу от точки к центру окружности.

Центростремительное ускорение

Формула для расчета центростремительного ускорения:

$a_n = \frac{v^2}{R}$,

где $v$ - мгновенная скорость, $R$ - радиус кривизны траектории.

Выразив мгновенную скорость из угловой как

$v = \omega \cdot R$

и подставив в формулу, найдем центростремительное ускорение как

$a_n = \frac{(\omega \cdot R)^2}{R} = \omega^2 \cdot R$

Основы теории о центростремительном ускорении заложил голландский физик Христиан Гюйгенс (1629 — 1695 гг.). В своем сочинении "Маятниковые часы" он не только изложил инженерные расчеты, необходимые для изготовления хронометров, но и сформулировал физические законы циклического движения. В частности, Гюйгенс открыл зависимость периодичности колебаний маятника от длины подвеса, описал явление изохронности ввел понятие центробежной силы и центростремительного ускорения. Это дало толчок не только прикладной механике, но и развитию теории о движении небесных тел, повлиявшей, в частности, на научные взгляды Исаака Ньютона.

Особенностью кругового движения является то, что даже если точка движется по окружности со скоростью неизменной величины (тангенциальное ускорение равно нулю), ее суммарное ускорение не равно нулю, поскольку направление вектора скорости всё время меняется. В этом заключается физический смысл центростремительного ускорения.

Геометрически центростремительное ускорение можно выразить следующим образом. Рассмотрим окружность, по которой движется точка.

Рисунок 1. Центростремительное ускорение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Выберем в качестве ее начального положения верхнюю точку. При этом вектор мгновенной скорости $\vec{v_1}$ будет направлен горизонтально. Когда точка пройдет некоторую дугу, вектор мгновенной скорости $\vec{v_2}$ окажется наклоненным к первому под углом $\varphi$, который равен пройденному угловому расстоянию. Таким образом, центростремительный вектор окажется основанием равнобедренного треугольника с углом при вершине $\varphi$ и стороной $\bar{v_A} = \bar{v_B}$. Обозначим длину основания этого треугольника как $\Delta v$. Подобный треугольник со стороной $R$ мы видим внутри окружности. Его вершина соответствует ее центру. Приняв, что при достаточно малом $\varphi$ длины дуги и хорды между точками $A$ и $B$ приблизительно совпадают, найдем из подобия треугольников, что

$\frac{R}{v \cdot \Delta t} \approx \frac{v}{\Delta v}$,

где $v \cdot \Delta t$ - путь, пройденный точкой по дуге, почти совпадающей с хордой.

Формулу можно преобразовать следующим образом:

$\frac{\Delta v}{\Delta t} \approx \frac{v^2}{R}$

Учитывая малое пройденное угловое расстояние (при $\Delta t$ стремящемся к нулю), можно считать вектор $\vec{\Delta v}$ направленным к центру окружности. Следовательно,

$\vec{a_n} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}; \Delta t \to 0; a_n = \frac{v^2}{R}$