Что такое вектор поляризации
Для того, чтобы с количественной точки зрения описать поляризацию диэлектрика, пользуются вектором поляризации (поляризованностью ($\overrightarrow{P}$)), который является электрическим моментом единицы объема диэлектрика:
где $\overrightarrow{\triangle p}$ -- дипольный момент элемента диэлектрика.
В том случае, если диэлектрик состоит из неполярных молекул, то дипольный момент диэлектрика можно разделить на две части: момент каждой молекулы и дипольные моменты всех молекул в единице объема.
Получается, что для неполярных молекул вектор поляризованности можно определить, как:
\[\overrightarrow{P}=\frac{1}{\triangle V}\sum\limits_{\triangle V}{\overrightarrow{p_i}}=N\overrightarrow{p_0}\ \left(2\right),\]где суммирование идет относительно всех молекул в объеме $\triangle V$. $N$ -- концентрация молекул, $\overrightarrow{p_0}$ -- индуцированный дипольный момент (Он одинаковый у всех молекул). $\overrightarrow{p_0}\uparrow \uparrow \overrightarrow{E}$.
Формула поляризованности для полярных молекул имеет вид:
\[\overrightarrow{P}=\frac{1}{\triangle V}\sum\limits_{\triangle V}{\overrightarrow{p_i}}=N\left\langle \overrightarrow{p}\right\rangle \left(3\right),\]где $\left\langle \overrightarrow{p}\right\rangle $ -- среднее значение дипольных моментов, которые равны по модулю, но разнонаправлены.
В изотропных диэлектриках средние дипольные моменты совпадают по направлению с напряженностью внешнего электрического поля. У диэлектриков с полярного типа молекулами, вклад в поляризованность от наведенных зарядов много меньше, чем вклад от переориентации поля.
Ионная решеточная поляризации описывается формулой (3). В большинстве случаев такая поляризация является анизотропной.
У электретов (диэлектрические вещества, которые в отсутствии электрического поля долгое время сохраняют поляризованность) и сегнетоэлектриков (диэлектрические вещества, которые при определенных температурах могут спонтанно поляризоваться при отсутствии внешнего электрического поля) поляризованность может быть отлична от нуля даже если $\overrightarrow{E}=0.$ У остальных диэлектриков при $\overrightarrow{E}=0$, $\overrightarrow{P}=0$. У изотропных диэлектриков поляризованность связана с напряженностью поля в той же точке уравнением (система СИ):
\[\overrightarrow{P}=\varkappa {\varepsilon }_0\overrightarrow{E}\ \left(4\right),\]где $\varkappa $ -- диэлектрическая восприимчивость (безразмерная величина).
В анизотропных диэлектриках направление вектора напряженности и вектора поляризации не совпадают. И их связь устанавливается в виде:
\[P_i={\varepsilon }_0\sum\limits_j{{\varkappa }_{ij}E_j\left(5\right),}\]где индексы i,j -- нумеруют компоненты по осям декартовой системы координат ($i=x,\ y,z;j=x,\ y,z.\ )$), ${\varkappa }_{ij}$ -- тензор диэлектрической восприимчивости.
Зависимость $\overrightarrow{P}(\overrightarrow{E})$ в общем случае представлена в виде:
\[P_i={\varepsilon }_0\sum\limits_j{{\varkappa }_{ij}E_j+{\varepsilon }_0\sum\limits_{j,k}{{\varkappa }_{ijk}E_jE_k+\dots ,}\left(6\right).}\]Формула (6) показывает, что поляризованность зависит не только от первой степени напряженности электрического поля, но и от ее высших степеней. Если зависимость в (6) от высших степеней играет существенную роль, то диэлектрик нелинейный. Подобная нелинейность проявляется в сильных полях, так же существуют некоторые специальные вещества. Если нелинейность не существенна, то используют формулы вида (5).
При неоднородной поляризации, поляризационные заряды могут появляться не только на поверхности диэлектрика, но и в его объеме. Плотность объемных связанных зарядов (${\rho }_{sv}$) равна:
\[{\rho }_{sv}=-div\overrightarrow{P}\left(7\right).\]Формула (7) показывает, что объемные заряды возникают только в случае неоднородной поляризации. При переходе из одного диэлектрика в другой, поверхностная плотность связанных зарядов (${\sigma }_{sv}$) равна:
\[{\sigma }_{sv}=-\overrightarrow{n_2}\cdot \left(\overrightarrow{P_2}-\overrightarrow{P_1}\right)\left(8\right),\]где $\overrightarrow{n_2}$- единичный вектор нормали, который направлен из первой во вторую среду, $\overrightarrow{P_2};;\overrightarrow{P_1}$ -- векторы поляризации второй и первой среды. Заметим, что вакуум можно рассматривать как диэлектрик, поляризованность которого равна нулю.
Единица измерения $\left[P\right]=\frac{Кл}{м^2}$.
Задание: Чему равна объемная плотность зарядов в диэлектрике, если вектор поляризованности задан функцией: $\overrightarrow{P}=\frac{\overrightarrow{n_r}}{r^2},$ где $\overrightarrow{n_r}$ -- единичный орт, r -- модуль радиус-вектора.
Решение:
Основой для решения задачи служит формула связи плотности объёмных зарядов с вектором поляризации диэлектрика:
\[{\rho }_{sv}=-div\overrightarrow{P}\ \left(1.1\right).\]В нашем случае, формула (1.1) преобразуется к виду:
\[{\rho }_{sv}=-\overrightarrow{\nabla }\left(\frac{\overrightarrow{n_r}}{r^2}\right)=-\overrightarrow{\nabla }\left(\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\right)=-\left\{\overrightarrow{r}grad\left(r^{-3}\right)+r^{-3}div\left(\overrightarrow{r}\right)\right\}=-\left\{\overrightarrow{r}\cdot \left(-3\frac{1}{r^4}\cdot \overrightarrow{n_r}\right)+\frac{1}{r^3}\cdot 3\right\}=-\left\{-\frac{3}{r^3}+\frac{3}{r^3}\right\}=0\ \left(1.2\right),\]где $div\left(\overrightarrow{r}\right)=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=3,\ \overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{n_r}=r$.
Ответ: Объемная плотность зарядов при заданном векторе поляризованности равна нулю.
Задание: Вектор поляризации бесконечной пластины поляризованного диэлектрика задан выражением: $\overrightarrow{P}=\overrightarrow{n}(1-\frac{y^2}{a^2})$, где $\overrightarrow{n}$ -- единичный вектор, перпендикулярный пластине, y -- расстояние от середины пластины, a -- половина толщины пластины. Найдите напряженность электрического поля внутри пластины, разность потенциалов между ее поверхностями.
Решение:
Вектор напряженности и вектор поляризации направлены в разные стороны.
Основанием для решения задачи выберем уравнение:
\[\overrightarrow{P}=-\varkappa {\varepsilon }_0\overrightarrow{E}\ \to \overrightarrow{E}=-\frac{\overrightarrow{P}}{\varkappa {\varepsilon }_0}\left(2.1\right).\]Следовательно, если мы знаем закон изменения вектора поляризации из условия задачи, следовательно:
\[\overrightarrow{E}=-\frac{\overrightarrow{n}\left(1-\frac{y^2}{a^2}\right),\ }{\varkappa {\varepsilon }_0}=-\frac{\overrightarrow{n}(1-\frac{y^2}{a^2}),\ }{\varkappa {\varepsilon }_0}\ \left(2.2\right).\]Разность потенциалов может быть найдена, если известен закон изменения напряженности, как:
\[{\varphi }_1-{\varphi }_2=-\int\limits^{\left(2\right)}_{\left(1\right)}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{r}}=-\int\limits^a_{-a}{-\frac{\overrightarrow{n}\left(1-\frac{y^2}{a^2}\right),}{\varkappa {\varepsilon }_0}}\overrightarrow{n}dx=\frac{1}{\varkappa {\varepsilon }_0}\left({\left.x\right|}^a_{-a}-{\left.\frac{y^3}{3a^2}\right|}^a_{-a}\right)=\frac{1}{\varkappa {\varepsilon }_0}\left(2a-\frac{1}{3}\left(a+a\right)\right)=\frac{4a}{3\varkappa {\varepsilon }_0}.\]Ответ: $\overrightarrow{E}=-\frac{\overrightarrow{n}\left(1-\frac{y^2}{a^2}\right)}{\varkappa {\varepsilon }_0},$ ${\varphi }_1-{\varphi }_2=\frac{4a}{3\varkappa {\varepsilon }_0}$.
