Что такое вектор поляризации
Для того, чтобы с количественной точки зрения описать поляризацию диэлектрика, пользуются вектором поляризации (поляризованностью (→P)), который является электрическим моментом единицы объема диэлектрика:
где →△p -- дипольный момент элемента диэлектрика.
В том случае, если диэлектрик состоит из неполярных молекул, то дипольный момент диэлектрика можно разделить на две части: момент каждой молекулы и дипольные моменты всех молекул в единице объема.
Получается, что для неполярных молекул вектор поляризованности можно определить, как:
→P=1△V∑△V→pi=N→p0 (2),где суммирование идет относительно всех молекул в объеме △V. N -- концентрация молекул, →p0 -- индуцированный дипольный момент (Он одинаковый у всех молекул). →p0↑↑→E.
Формула поляризованности для полярных молекул имеет вид:
→P=1△V∑△V→pi=N⟨→p⟩(3),где ⟨→p⟩ -- среднее значение дипольных моментов, которые равны по модулю, но разнонаправлены.
В изотропных диэлектриках средние дипольные моменты совпадают по направлению с напряженностью внешнего электрического поля. У диэлектриков с полярного типа молекулами, вклад в поляризованность от наведенных зарядов много меньше, чем вклад от переориентации поля.
Ионная решеточная поляризации описывается формулой (3). В большинстве случаев такая поляризация является анизотропной.
У электретов (диэлектрические вещества, которые в отсутствии электрического поля долгое время сохраняют поляризованность) и сегнетоэлектриков (диэлектрические вещества, которые при определенных температурах могут спонтанно поляризоваться при отсутствии внешнего электрического поля) поляризованность может быть отлична от нуля даже если →E=0. У остальных диэлектриков при →E=0, →P=0. У изотропных диэлектриков поляризованность связана с напряженностью поля в той же точке уравнением (система СИ):
→P=ϰε0→E (4),где ϰ -- диэлектрическая восприимчивость (безразмерная величина).
В анизотропных диэлектриках направление вектора напряженности и вектора поляризации не совпадают. И их связь устанавливается в виде:
Pi=ε0∑jϰijEj(5),где индексы i,j -- нумеруют компоненты по осям декартовой системы координат (i=x, y,z;j=x, y,z. )), ϰij -- тензор диэлектрической восприимчивости.
Зависимость →P(→E) в общем случае представлена в виде:
Pi=ε0∑jϰijEj+ε0∑j,kϰijkEjEk+…,(6).Формула (6) показывает, что поляризованность зависит не только от первой степени напряженности электрического поля, но и от ее высших степеней. Если зависимость в (6) от высших степеней играет существенную роль, то диэлектрик нелинейный. Подобная нелинейность проявляется в сильных полях, так же существуют некоторые специальные вещества. Если нелинейность не существенна, то используют формулы вида (5).
При неоднородной поляризации, поляризационные заряды могут появляться не только на поверхности диэлектрика, но и в его объеме. Плотность объемных связанных зарядов (ρsv) равна:
ρsv=−div→P(7).Формула (7) показывает, что объемные заряды возникают только в случае неоднородной поляризации. При переходе из одного диэлектрика в другой, поверхностная плотность связанных зарядов (σsv) равна:
σsv=−→n2⋅(→P2−→P1)(8),где →n2- единичный вектор нормали, который направлен из первой во вторую среду, →P2;;→P1 -- векторы поляризации второй и первой среды. Заметим, что вакуум можно рассматривать как диэлектрик, поляризованность которого равна нулю.
Единица измерения [P]=Клм2.
Задание: Чему равна объемная плотность зарядов в диэлектрике, если вектор поляризованности задан функцией: →P=→nrr2, где →nr -- единичный орт, r -- модуль радиус-вектора.
Решение:
Основой для решения задачи служит формула связи плотности объёмных зарядов с вектором поляризации диэлектрика:
ρsv=−div→P (1.1).В нашем случае, формула (1.1) преобразуется к виду:
ρsv=−→∇(→nrr2)=−→∇(→rr3)=−{→rgrad(r−3)+r−3div(→r)}=−{→r⋅(−31r4⋅→nr)+1r3⋅3}=−{−3r3+3r3}=0 (1.2),где div(→r)=∂x∂x+∂y∂y+∂z∂z=3, →r⋅→nr=r.
Ответ: Объемная плотность зарядов при заданном векторе поляризованности равна нулю.
Задание: Вектор поляризации бесконечной пластины поляризованного диэлектрика задан выражением: →P=→n(1−y2a2), где →n -- единичный вектор, перпендикулярный пластине, y -- расстояние от середины пластины, a -- половина толщины пластины. Найдите напряженность электрического поля внутри пластины, разность потенциалов между ее поверхностями.
Решение:
Вектор напряженности и вектор поляризации направлены в разные стороны.
Основанием для решения задачи выберем уравнение:
→P=−ϰε0→E →→E=−→Pϰε0(2.1).Следовательно, если мы знаем закон изменения вектора поляризации из условия задачи, следовательно:
→E=−→n(1−y2a2), ϰε0=−→n(1−y2a2), ϰε0 (2.2).Разность потенциалов может быть найдена, если известен закон изменения напряженности, как:
φ1−φ2=−(2)∫(1)→Ed→r=−a∫−a−→n(1−y2a2),ϰε0→ndx=1ϰε0(x|a−a−y33a2|a−a)=1ϰε0(2a−13(a+a))=4a3ϰε0.Ответ: →E=−→n(1−y2a2)ϰε0, φ1−φ2=4a3ϰε0.
