Сила, действующая на точечный заряд
В конечном итоге, все силы, которые возникают в электростатическом поле, являются силами, которые действуют на заряды, несмотря на то, что в формулы для силы величины зарядов входят не всегда. Поэтому напомним необходимую в данном случае формулу. Сила, которая действует на точечный заряд, равна:
Как мы уже неоднократно говорили, весь заряд, который находится на проводнике, распределяется по его поверхности. Поэтому элемент заряда проводника выражается как:
где $\sigma$ -- поверхностная плотность распределения заряда, $dS$ -- элемент поверхности на которой этот заряд находится.
Поверхностная плотность силы
На заряд $dq$ действует только половина напряженности поля, которое имеется у поверхности проводника, так как вторая половина создается самим зарядом элемента поверхности и не может на него действовать.
В таком случае запишем, что поверхностная плотность силы равна:
\[\overrightarrow{f_{pov}}=\frac{d\overrightarrow{F}}{dS}=\frac{\sigma \overrightarrow{E}}{2}=\frac{\sigma ^2}{2{\varepsilon }_0}\overrightarrow{n}\ \left(3\right),\]где $\overrightarrow{n}$ -- единичный вектор внешней нормали к поверхности проводника.
Мы видим, что на поверхности проводника сила всегда действует в направлении внешней нормали и как бы стремится увеличить его объем или еще говорят, что эта сила стремится удалить электричество с поверхности проводника. Формула (3) записана для проводника, который находится в вакууме.
В том случае, если проводник находится в жидком или газообразном диэлектрике, то на элемент поверхности проводника (dS) действует сила, которая равна:
\[d\overrightarrow{F}=\frac{\sigma^2}{2{\varepsilon \varepsilon}_0}dS\cdot \overrightarrow{n}=\frac{{\varepsilon \varepsilon}_0E^2}{2}dS\cdot \overrightarrow{n}\left(4\right).\]Результирующая сила
Результирующая сила, которая действует на проводник в целом, может быть вычислена в соответствии с формулой:
\[\overrightarrow{F}=\frac{1}{2}\int\limits_S{\frac{\sigma^2}{\varepsilon {\varepsilon }_0}\overrightarrow{n}dS=\frac{1}{2}\int\limits_S{\frac{\sigma^2}{\varepsilon {\varepsilon }_0}d\overrightarrow{S}}\ \left(5\right),}\]где $S$ -- поверхность проводника. Так, используя (5) легко вычислить силу, которая действует на обкладку плоского конденсатора площадью $S$. Так как поле однородно, выражение $\frac{\sigma^2}{\varepsilon {\varepsilon }_0}$ - постоянно. Она будет равна:
\[\overrightarrow{F}=\frac{1}{2}\frac{\sigma^2}{\varepsilon {\varepsilon }_0}S\overrightarrow{n}=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}S\overrightarrow{n}\left(6\right).\]Для вычисления сил притяжения, которые действуют на обкладки плоского конденсатора, необходимо учитывать, что если пространство между пластинами конденсатора заполнено твердым диэлектриком, то силы действуют такие же, как если бы между ними был вакуум, то есть:
\[\overrightarrow{F}=\frac{1}{2}\frac{\sigma^2}{{\varepsilon }_0}S\overrightarrow{n}\left(7\right).\]Формула (6) справедлива при $\varepsilon \ne 1$ для жидких и газообразных диэлектриков.
Сила $\overrightarrow{F}$ в плоском конденсаторе направлена внутрь.
Задание: Найдите силу притяжения, которая действует между пластинами плоского конденсатора двумя способами:
- Используя связи потенциальной силы и энергии;
- Используя связь между силой и напряженностью электростатического поля.
Объясните результат.
Решение:
- Найдем силу, с которой пластины плоского конденсатора притягиваются друг к другу, используя выражение для энергии конденсатора, а именно: \[W=\frac{q^2}{2C}\left(1.1\right),\]
- Найдем силу другим способом. Будем считать, что одна пластина создает поле напряженностью $\overrightarrow{E}$, на другую, так как она обладает зарядом и находится в электростатическом поле, действует электрическая сила. Напряженность поля, которая создается одной из обкладок, может быть вычислена по формуле: \[E=\frac{\sigma}{2{\varepsilon }_0}=\frac{q}{2{\varepsilon }_0S}\ \left(1.7\right).\]
где q -- заряд пластины конденсатора, $C$ -- емкость конденсатора. Предположим, что расстояние между пластинами конденсатора может изменяться. Одну из пластин конденсатора поместим в начало координат, тогда координата x будет определять расстояние между пластинами (рис. 1).
Рис. 1
Мы знаем, что емкость плоского конденсатора определена формулой:
\[С=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0S}{x}\ \left(1.2\right),\]где, как говорилось, $x$ -- расстояние между пластинами конденсатора. Тогда выражение для потенциальной энергии примет вид:
\[W=\frac{q^2}{2\varepsilon {\varepsilon }_0S}x\ \left(1.3\right),\]Связь между потенциальной энергией и потенциальной силой нам известна:
\[F_x=-\frac{\partial W}{\partial x}\left(1.4\right).\]Следовательно, продифференцируем выражение (1.3), получим:
\[F_x=-\frac{q^2}{2\varepsilon {\varepsilon }_0S}\ \left(1.5\right).\]Модуль выражения (1.5) дает силу, с которой обкладки конденсатора притягиваются друг к другу. То есть:
\[F=\frac{q^2}{2\varepsilon {\varepsilon }_0S}\ \left(1.6\right).\]Здесь необходимо отметить, что диэлектрик ослабляет поле в $\varepsilon $ раз, но это имеет место только внутри диэлектрика. Заряды на обкладках находятся вне диэлектрика и, следовательно, находятся под действием напряженности, которая указана в (1.7). Если умножить напряженность в выражении (1.7) на заряд q (заряд второй обкладки конденсатора), то получим выражение для силы:
\[F'=\frac{q^2}{2{\varepsilon }_0S}\ \left(1.8\right).\]Мы получили, что выражения (1.8) и (1.6) не совпадают. С опытом согласуется (1.6). Это объясняется, что кроме электрической силы на обкладки действуют со стороны диэлектрика механические силы, которые стремятся их раздвинуть. Это относится именно к жидкому или газообразному диэлектрику. У края обкладок присутствует рассеянное поле, которое убывает по величине при удалении от краев. На молекулы диэлектрика, которые имеют дипольный момент, действуют силы, которые втягивают их в область более сильного поля. В результате давление между обкладками повышается и появляется сила, которая ослабляет действие электростатической силы (1.8) в $\varepsilon $ раз.
Задание: Пластины плоского конденсатора заряжены до 100 нКл. Площадь пластин S=0,01 м2. Найдите силу притяжения пластин, если в качестве диэлектрика используют керосин при 200С, который имеет при данной температуре диэлектрическую проницаемость равную $\varepsilon =2.$
Решение:
Так как между пластинами в качестве диэлектрика используется жидкость -- керосин, то для расчета силы взаимодействия пластин необходимо использовать формулу:
\[F=\frac{q^2}{2\varepsilon {\varepsilon }_0S}\ \left(2.1\right).\]Переведем вне системные единицы в систему СИ:
\[q=100\ нКл={10}^{-7}Кл.\]Проведем расчет:
\[F=\frac{{\left({10}^{-7}\right)}^2}{2\cdot 2\cdot 8,85\cdot {10}^{-12}\cdot 0,01}=\frac{{10}^{-14}}{35,4\cdot {10}^{-14}}=0,028\ \left(Н\right).\]Ответ: $F=0,028\ Н.$
