Потоком вектора →a через поверхность S называют алгебраическую величину Фa, которая определяется следующим образом:
Фa=∫S→ad→S (1).При этом знак потока зависит от выбора направления нормали к элементарной площадке dS.
Элементарный поток вектора напряженности
Обратимся к электрическому полю. Модуль напряженности равен количеству силовых линий, которые пересекают поверхность площадь, которой равна единице, причем поверхность должна быть перпендикулярна линиям поля в данном месте. Количество линий поля, которые пересекают вышеназванную поверхность, называются потоком вектора напряженности. Если выделить элементарную площадку поверхности (dS), построить нормаль к этой площадке →n, при этом угол между направлением вектора нормали и направлением вектора напряженности составит α, то элементарный поток вектора напряженности (dФE) можно записать как:
dФE=EdScosα=→E⋅d→S (2),где
d→S=→ndS (3).В уравнении (3) →n единичная нормаль к площадке dS.
Если рассматривать какую -- либо произвольную поверхность S, то в соответствии с определением потока вектора (1) можно записать, что поток вектора напряженности (ФE):
ФE=∫S→E⋅d→S (4).Направление нормали
Как и в общем случае, поток вектора напряженности алгебраическая величина. Знак потока зависит от конфигурации поля и направления вектора - нормали →n. Направление нормали условно. Можно сказать, что интеграл в уравнении (4) характеризует суммарную мощность источников вектора →E, коими являются заряды, внутри объема, который ограничивает поверхность S.
Принято считать, что если имеют дело с замкнутой поверхностью, то нормаль имеет положительное направление наружу. Поток вектора напряженности в случае замкнутой поверхности записывают через криволинейный интеграл по замкнутой поверхности:
ФE=∮S→E⋅d→S (5).Задание: Напряженность электростатического поля задана формулой в декартовых координатах:
→E=x→i+y→jx2+y2,где →i, →j -- единичные орты осей OX и OY. Найдите поток вектора →E через сферическую поверхность, если ее радиус равен R, а ее центр находится в начале координат.
Решение:
В качестве основы для решения используем определение потока вектора напряженности, а именно:
ФE=∫S→E⋅d→S (1.1),где d→S=→ndS, dS− элементарный участок поверхности сферы, →n -- нормаль к этому участку.
Запишем выражение для нормали к поверхности сферы, в виде:
→n=x→i+y→j+z→k√x2+y2+z2 (1.2).Подставим уравнение (1.2) в (1.1), используем выражение для напряжённости поля из условий задачи, найдем интеграл, при этом при нахождении произведения в подынтегральном выражении, учитываем, что →i,→j,→k- ортогональные единичные векторы.
ФE=∫S→E⋅→ndS=∫Sx→i+y→jx2+y2⋅x→i+y→j+z→k√x2+y2+z2dS=∫Sx2+y2x2+y2√x2+y2+z2 dS=∫SdS√R2=1R ∫SdS=4πR2R=4πR.Ответ: ФE=4πR.
Задание: Определите поток вектора напряженности через поверхность сферы, если внутри нее находится два точечных заряда +q1 и −q2.
Решение:
В качестве основы для решения можно взять формулу для потока вектора напряженности в виде:
ФE=→E⋅S→n=EScosα (2.1),где α -- угол между нормалью к поверхности, через который ищем поток и вектором напряженности. Поле точечного заряда имеет сферическую симметрию (рис.1). Следовательно, вектор напряженности поля и вектор - нормаль будут сонаправлены (cosα=cos0 =1). На рис. 1 изображено поле положительного заряда.
Рис. 1
Результирующая напряженность поля может быть найдена в соответствии с принципом суперпозиции полей двух зарядов, с учетом знаков.
Запишем выражение для модуля напряженности поля, которое создает первый заряд:
E1=kq1r2(2.2).Для второго заряда:
E2=kq2r2(2.3).Найдем модуль результирующей напряженности, учитывая, что положительный заряд -- исток поля, а отрицательный -- сток поля, то есть направления полей противоположны:
E=E1−E2=kq1r2−kq2r2 (2.4).Если мы ищем поток через сферу, которая имеет радиус R, то выражение (2.4) примет вид:
E=kq1−q2R2 (2.5).Площадь поверхности сферы (S) заданного радиуса равна:
S=4πR2(2.6).В таком случае, подставим выражения (2.6) и (2.5) в (2.1), учтем, что cosα=cos0 =1, получим:
ФE=kq1−q2R2 4πR2=q1−q24πε0R24πR2=q1−q2ε0.Ответ: ФE=q1−q2ε0.
