Материальное уравнение для изотропной среды
Мы помним, что материальное уравнение для изотропной среды, можно записать как:
где $\varepsilon $ -- диэлектрическая проницаемость среды, которая характеризует свойства диэлектрика, зависит от температуры и плотности.
Рассмотрим однородную, непроводящую и магнитоизотропную среду, что означает, вектор электрического смещения не будет параллелен вектору напряженности. В этом случае, связь (1) запишем в виде:
или тоже самое, но более компактно:
где индексы i,j -- нумеруют компоненты по осям декартовой системы координат ($i=x,\ y,z;;j=x,\ y,z.\ )$), ${\varepsilon }_{ij}$ -- тензор диэлектрической проницаемости вещества. Девять величин ${\varepsilon }_{xx},\ {\varepsilon }_{xy},{\varepsilon }_{xz},\dots ,$ - являются постоянными среды и составляют тензор диэлектрической проницаемости. Соответственно, вектор смещения ($\overrightarrow{D}$) равен произведению тензора диэлектрической проницаемости на вектор напряженности электрического поля ($\overrightarrow{E}$). При формальной тензорной записи знак суммы опускают, суммирование обозначают двукратным повторением индекса (в нашем случае индекс j), то есть:
Тензор диэлектрической проницаемости симметричен при любом значении поля, то есть можно записать следующее:
Симметрия тензора ${\varepsilon }_{ij}$- необходимое и достаточное условие для выполнения закона сохранения энергии. Из девяти компонент тензора диэлектрической проницаемости только шесть независимы. Симметричность рассматриваемого нами тензора позволяет привести выражение для плотности энергии электрического поля к такой форме, при которой сохраняются только квадраты компонент поля и отсутствуют их произведения. В такой системе (а она называется системой главных диэлектрических осей) материальные уравнения электрического поля имеют вид:
\[D_x={\varepsilon }_0{\varepsilon }_xE_x,\ \ D_y={\varepsilon }_0{\varepsilon }_yE_y,\ \ D_z={\varepsilon }_0{\varepsilon }_zE_z\ (4).\]Плотность электрической энергии
Выражение для плотности электрической энергии для рассматриваемого нами случая будет иметь вид:
\[w=\frac{{\varepsilon }_0}{2}\left({\varepsilon }_x{E_x}^2+{\varepsilon }_y{E_y}^2+{\varepsilon }_z{E_z}^2\right)=\frac{1}{2{\varepsilon }_0}\left(\frac{{D_x}^2}{{\varepsilon }_x}+\frac{{D_y}^2}{{\varepsilon }_y}+\frac{{D_z}^2}{{\varepsilon }_z}\right)\ \left(5\right),\]где величины ${\varepsilon }_x,{\varepsilon }_y,{\varepsilon }_z$ -- называются главными диэлектрическими проницаемостями. Из приведенных выше формул следует, что векторы $\overrightarrow{D}$ и $\overrightarrow{E}$ всегда имеют разные направления, если направление вектора напряженности поля не совпадает с одной из главных осей или все главные диэлектрические проницаемости не равны друг другу.
В случае изотропной среды диэлектрическая проницаемость не является постоянной вещества, она зависит от частоты и точно так же как в анизотропной среде шесть компонент тензора диэлектрической проницаемости ${\varepsilon }_{ij}$ изменяются в зависимости от частоты. Следовательно, меняются не только величины главных диэлектрических проницаемостей, ${\varepsilon }_x,{\varepsilon }_y,{\varepsilon }_z$, но и направления главных осей. Такое явление называется дисперсией осей. Необходимо заметить, что оно может возникать только в тех кристаллических структурах, симметрия которых не позволяет выделить предпочтительную совокупность ортогональных осей направлений.
Дисперсию можно не учитывать, если рассматривать монохроматические волны, в таком случае ${\varepsilon }_{ij}$ являются постоянными, зависящими только от свойств вещества.
Связь тензоров диэлектрической проницаемости и диэлектрической восприимчивости имеет вид:
\[{\varepsilon }_{ij}={\delta }_{ij}+{\varkappa }_{ij}\left(6\right),\]где ${\delta }_{ij}-\ $единичный тензор, который равен:
\[\left\{ \begin{array}{c} {\delta }_{ij}=1\ при\ i=j, \\ {\delta }_{ij}=0\ при\ i\ne j. \end{array} \right.\]Задание: Докажите, что тензор диэлектрической проницаемости симметричен. Считать, что поглощение отсутствует, магнитное поле однородно и изотропно.
Решение:
В качестве основы для доказательства используем выражения для плотности энергии электрического ($w_e$) и магнитного полей ($w_m$):
\[w_e=\frac{{\varepsilon }_0}{2}{\varepsilon }_{ij}E_iE_j\left(1.1\right).\] \[w_m=\frac{{\mu }_0}{2}{\mu }_{ij}H_iH_j=\frac{{\mu }_0}{2}\mu H^2\left(1.2\right).\]где $H_iH_j$- компоненты вектора напряжённости магнитного поля.
Выражение для вектора Умова -- Пойнтинга ($\overrightarrow{S}$):
\[\overrightarrow{S}=\left[\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}\right]\left(1.3\right).\]Первое и второе уравнения из системы уравнений Максвелла:
\[rot\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\ \left(1.4\right),\] \[rot\overrightarrow{H}=\overrightarrow{j}+\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}\ \left(1.5\right),\]Уравнение (1.5) системы умножим на вектор напряженности электрического поля ($\overrightarrow{E}$), уравнение (1.4) умножим на вектор напряженности магнитного поля ($\overrightarrow{H}$), сложим два полученных выражения при этом опустим ток проводимости, получим:
\[\overrightarrow{E}rot\overrightarrow{H}-\overrightarrow{H}rot\overrightarrow{E}=\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{E}+\overrightarrow{E}\cdot \frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}+\overrightarrow{H}\cdot \frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\ (1.6)\] \[-div\overrightarrow{S}=-div\left[\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}\right]=\overrightarrow{E}\cdot \dot{\overrightarrow{D}}+\overrightarrow{B}\cdot \dot{\overrightarrow{H}}={\varepsilon }_0E_i{\varepsilon }_{ij}\dot{E_j}+\frac{1}{2}{\mu }_0\frac{d}{dt}\left(\mu H^2\right)\left(1.7\right),\]где $\overrightarrow{B}$ -- вектор магнитной индукции. При преобразовании дивергенции векторного произведения мы использовали известное векторное равенство:
\[div\left[\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}\right]=\overrightarrow{H}rot\overrightarrow{E}-\overrightarrow{E}rot\overrightarrow{H}\ \left(1.8\right).\]Исходя из уравнения (1.2) мы получили, что в уравнении (1.7) вторым слагаемым является:
\[\frac{1}{2}{\mu }_0\frac{d}{dt}\left(\mu H^2\right)=\frac{d}{dt}\left(w_m\right)\left(1.9\right).\]Так как мы условились, что среда является однородной и изотропной для магнитного поля, то такая производная равна нулю. Изучим производную по времени от плотности энергии электрического поля:
\[\frac{d}{dt}w_e=\frac{{\varepsilon }_0}{2}{\frac{d}{dt}(\varepsilon }_{ij}E_iE_j)=\frac{{\varepsilon }_0}{2}{\varepsilon }_{ij}\left(\dot{E_i}E_j+E_i\dot{E_j}\right)\left(1.10\right).\]Выражение ${\varepsilon }_0\sum\limits_{i,j}{E_i{\varepsilon }_{ij}\dot{E_j}}$ будет представлять собой скорость изменения плотности энергии электрического поля только если:
\[{\varepsilon }_0E_i{\varepsilon }_{ij}\dot{E_j}=\frac{d}{dt}w_e=\frac{{\varepsilon }_0}{2}{\varepsilon }_{ij}\left(\dot{E_i}E_j+E_i\dot{E_j}\right)\ \left(1.11\right),\]то есть при:
\[{\varepsilon }_{ij}\left(\dot{E_i}E_j-E_i\dot{E_j}\right)=0\ \left(1.12\right).\]Мы понимаем, что изменение индексов в выражении (1.12) фиктивно, так как они принимают одни и те же значения (x,y,z). Из уравнения (1.12) следует, что:
\[{\varepsilon }_{ij}={\varepsilon }_{ji}.\]Что требовалось доказать.
Задание: Покажите, используя тензор диэлектрической проницаемости, что векторы $\overrightarrow{D}\ $и $\overrightarrow{E}$ не коллинеарны в неизотопном кристалле.
Решение:
Анизотропная среда характеризуется тензором диэлектрической проницаемости второго ранга:
\[{\varepsilon }_{ij}=\left| \begin{array}{ccc} {\varepsilon }_{xx} & {\varepsilon }_{xy} & {\varepsilon }_{xz} \\ {\varepsilon }_{yx} & {\varepsilon }_{yy} & {\varepsilon }_{yz} \\ {\varepsilon }_{zx} & {\varepsilon }_{zy} & {\varepsilon }_{zz} \end{array} \right|\left(2.1\right).\]Это означает, что каждая составляющая вектора $\overrightarrow{D}$ выражается через все три составляющие вектора напряженности электрического поля:
\[\left\{ \begin{array}{c} D_x={\varepsilon }_0\left({\varepsilon }_{xx}E_x+{\varepsilon }_{xy}E_y+{\varepsilon }_{xz}E_z\right), \\ D_y={\varepsilon }_0\left({\varepsilon }_{yx}E_x+{\varepsilon }_{yy}E_y+{\varepsilon }_{yz}E_z\right) \\ D_z={\varepsilon }_0\left({\varepsilon }_{zx}E_x+{\varepsilon }_{zy}E_y+{\varepsilon }_{zz}E_z\right). \end{array} \right.,\left(2.2\right).\]Выберем главные оси X,Y,Z и зафиксируем их по отношению к кристаллу. В таком случаем можно записать:
\[\left\{ \begin{array}{c} D_x={{\varepsilon }_0\varepsilon }_xE_x, \\ D_y={{\varepsilon }_0\varepsilon }_yE_y \\ D_z={\varepsilon }_0{\varepsilon }_zE_z. \end{array} ,\right.\ \left(2.3\right).\]Система (2.3) означает, что тензор диэлектрической проницаемости приведен к виду:
\[{\varepsilon }_{ij}=\left| \begin{array}{ccc} {\varepsilon }_x & 0 & 0 \\ 0 & {\varepsilon }_y & 0 \\ 0 & 0 & {\varepsilon }_z \end{array} \right|(2.2)\]С точки зрения математики -- это диагонализация матрицы (2.1). Если ${\varepsilon }_x\ne {\varepsilon }_y\ne {\varepsilon }_z$, то при умножении составляющих вектора $\overrightarrow{E}$ на соответствующие компоненты тензора диэлектрической проницаемости, то компоненты вектора электрического смещения (2.3) не совпадут по направлению с вектором $\overrightarrow{E}$. (рис.1).
