Материальное уравнение для изотропной среды
Мы помним, что материальное уравнение для изотропной среды, можно записать как:
где ε -- диэлектрическая проницаемость среды, которая характеризует свойства диэлектрика, зависит от температуры и плотности.
Рассмотрим однородную, непроводящую и магнитоизотропную среду, что означает, вектор электрического смещения не будет параллелен вектору напряженности. В этом случае, связь (1) запишем в виде:
или тоже самое, но более компактно:
где индексы i,j -- нумеруют компоненты по осям декартовой системы координат (i=x, y,z;;j=x, y,z. )), εij -- тензор диэлектрической проницаемости вещества. Девять величин εxx, εxy,εxz,…, - являются постоянными среды и составляют тензор диэлектрической проницаемости. Соответственно, вектор смещения (→D) равен произведению тензора диэлектрической проницаемости на вектор напряженности электрического поля (→E). При формальной тензорной записи знак суммы опускают, суммирование обозначают двукратным повторением индекса (в нашем случае индекс j), то есть:
Тензор диэлектрической проницаемости симметричен при любом значении поля, то есть можно записать следующее:
Симметрия тензора εij- необходимое и достаточное условие для выполнения закона сохранения энергии. Из девяти компонент тензора диэлектрической проницаемости только шесть независимы. Симметричность рассматриваемого нами тензора позволяет привести выражение для плотности энергии электрического поля к такой форме, при которой сохраняются только квадраты компонент поля и отсутствуют их произведения. В такой системе (а она называется системой главных диэлектрических осей) материальные уравнения электрического поля имеют вид:
Dx=ε0εxEx, Dy=ε0εyEy, Dz=ε0εzEz (4).Плотность электрической энергии
Выражение для плотности электрической энергии для рассматриваемого нами случая будет иметь вид:
w=ε02(εxEx2+εyEy2+εzEz2)=12ε0(Dx2εx+Dy2εy+Dz2εz) (5),где величины εx,εy,εz -- называются главными диэлектрическими проницаемостями. Из приведенных выше формул следует, что векторы →D и →E всегда имеют разные направления, если направление вектора напряженности поля не совпадает с одной из главных осей или все главные диэлектрические проницаемости не равны друг другу.
В случае изотропной среды диэлектрическая проницаемость не является постоянной вещества, она зависит от частоты и точно так же как в анизотропной среде шесть компонент тензора диэлектрической проницаемости εij изменяются в зависимости от частоты. Следовательно, меняются не только величины главных диэлектрических проницаемостей, εx,εy,εz, но и направления главных осей. Такое явление называется дисперсией осей. Необходимо заметить, что оно может возникать только в тех кристаллических структурах, симметрия которых не позволяет выделить предпочтительную совокупность ортогональных осей направлений.
Дисперсию можно не учитывать, если рассматривать монохроматические волны, в таком случае εij являются постоянными, зависящими только от свойств вещества.
Связь тензоров диэлектрической проницаемости и диэлектрической восприимчивости имеет вид:
εij=δij+ϰij(6),где δij− единичный тензор, который равен:
{δij=1 при i=j,δij=0 при i≠j.Задание: Докажите, что тензор диэлектрической проницаемости симметричен. Считать, что поглощение отсутствует, магнитное поле однородно и изотропно.
Решение:
В качестве основы для доказательства используем выражения для плотности энергии электрического (we) и магнитного полей (wm):
we=ε02εijEiEj(1.1).где HiHj- компоненты вектора напряжённости магнитного поля.
Выражение для вектора Умова -- Пойнтинга (→S):
→S=[→E×→H](1.3).Первое и второе уравнения из системы уравнений Максвелла:
rot→E=−∂→B∂t (1.4),Уравнение (1.5) системы умножим на вектор напряженности электрического поля (→E), уравнение (1.4) умножим на вектор напряженности магнитного поля (→H), сложим два полученных выражения при этом опустим ток проводимости, получим:
→Erot→H−→Hrot→E=→j⋅→E+→E⋅∂→D∂t+→H⋅∂→B∂t (1.6)где →B -- вектор магнитной индукции. При преобразовании дивергенции векторного произведения мы использовали известное векторное равенство:
div[→E×→H]=→Hrot→E−→Erot→H (1.8).Исходя из уравнения (1.2) мы получили, что в уравнении (1.7) вторым слагаемым является:
12μ0ddt(μH2)=ddt(wm)(1.9).Так как мы условились, что среда является однородной и изотропной для магнитного поля, то такая производная равна нулю. Изучим производную по времени от плотности энергии электрического поля:
ddtwe=ε02ddt(εijEiEj)=ε02εij(˙EiEj+Ei˙Ej)(1.10).Выражение ε0∑i,jEiεij˙Ej будет представлять собой скорость изменения плотности энергии электрического поля только если:
ε0Eiεij˙Ej=ddtwe=ε02εij(˙EiEj+Ei˙Ej) (1.11),то есть при:
εij(˙EiEj−Ei˙Ej)=0 (1.12).Мы понимаем, что изменение индексов в выражении (1.12) фиктивно, так как они принимают одни и те же значения (x,y,z). Из уравнения (1.12) следует, что:
εij=εji.Что требовалось доказать.
Задание: Покажите, используя тензор диэлектрической проницаемости, что векторы →D и →E не коллинеарны в неизотопном кристалле.
Решение:
Анизотропная среда характеризуется тензором диэлектрической проницаемости второго ранга:
εij=|εxxεxyεxzεyxεyyεyzεzxεzyεzz|(2.1).Это означает, что каждая составляющая вектора →D выражается через все три составляющие вектора напряженности электрического поля:
{Dx=ε0(εxxEx+εxyEy+εxzEz),Dy=ε0(εyxEx+εyyEy+εyzEz)Dz=ε0(εzxEx+εzyEy+εzzEz).,(2.2).Выберем главные оси X,Y,Z и зафиксируем их по отношению к кристаллу. В таком случаем можно записать:
{Dx=ε0εxEx,Dy=ε0εyEyDz=ε0εzEz., (2.3).Система (2.3) означает, что тензор диэлектрической проницаемости приведен к виду:
εij=|εx000εy000εz|(2.2)С точки зрения математики -- это диагонализация матрицы (2.1). Если εx≠εy≠εz, то при умножении составляющих вектора →E на соответствующие компоненты тензора диэлектрической проницаемости, то компоненты вектора электрического смещения (2.3) не совпадут по направлению с вектором →E. (рис.1).