Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Понятие о тензоре диэлектрической проницаемости

Материальное уравнение для изотропной среды

Мы помним, что материальное уравнение для изотропной среды, можно записать как:

где ε -- диэлектрическая проницаемость среды, которая характеризует свойства диэлектрика, зависит от температуры и плотности.

Рассмотрим однородную, непроводящую и магнитоизотропную среду, что означает, вектор электрического смещения не будет параллелен вектору напряженности. В этом случае, связь (1) запишем в виде:

или тоже самое, но более компактно:

где индексы i,j -- нумеруют компоненты по осям декартовой системы координат (i=x, y,z;;j=x, y,z. )), εij -- тензор диэлектрической проницаемости вещества. Девять величин εxx, εxy,εxz,, - являются постоянными среды и составляют тензор диэлектрической проницаемости. Соответственно, вектор смещения (D) равен произведению тензора диэлектрической проницаемости на вектор напряженности электрического поля (E). При формальной тензорной записи знак суммы опускают, суммирование обозначают двукратным повторением индекса (в нашем случае индекс j), то есть:

Тензор диэлектрической проницаемости симметричен при любом значении поля, то есть можно записать следующее:

Симметрия тензора εij- необходимое и достаточное условие для выполнения закона сохранения энергии. Из девяти компонент тензора диэлектрической проницаемости только шесть независимы. Симметричность рассматриваемого нами тензора позволяет привести выражение для плотности энергии электрического поля к такой форме, при которой сохраняются только квадраты компонент поля и отсутствуют их произведения. В такой системе (а она называется системой главных диэлектрических осей) материальные уравнения электрического поля имеют вид:

Dx=ε0εxEx,  Dy=ε0εyEy,  Dz=ε0εzEz (4).

Плотность электрической энергии

Выражение для плотности электрической энергии для рассматриваемого нами случая будет иметь вид:

w=ε02(εxEx2+εyEy2+εzEz2)=12ε0(Dx2εx+Dy2εy+Dz2εz) (5),

где величины εx,εy,εz -- называются главными диэлектрическими проницаемостями. Из приведенных выше формул следует, что векторы D и E всегда имеют разные направления, если направление вектора напряженности поля не совпадает с одной из главных осей или все главные диэлектрические проницаемости не равны друг другу.

В случае изотропной среды диэлектрическая проницаемость не является постоянной вещества, она зависит от частоты и точно так же как в анизотропной среде шесть компонент тензора диэлектрической проницаемости εij изменяются в зависимости от частоты. Следовательно, меняются не только величины главных диэлектрических проницаемостей, εx,εy,εz, но и направления главных осей. Такое явление называется дисперсией осей. Необходимо заметить, что оно может возникать только в тех кристаллических структурах, симметрия которых не позволяет выделить предпочтительную совокупность ортогональных осей направлений.

Дисперсию можно не учитывать, если рассматривать монохроматические волны, в таком случае εij являются постоянными, зависящими только от свойств вещества.

Связь тензоров диэлектрической проницаемости и диэлектрической восприимчивости имеет вид:

εij=δij+ϰij(6),

где δij единичный тензор, который равен:

{δij=1 при i=j,δij=0 при ij.
«Понятие о тензоре диэлектрической проницаемости» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти
Пример 1

Задание: Докажите, что тензор диэлектрической проницаемости симметричен. Считать, что поглощение отсутствует, магнитное поле однородно и изотропно.

Решение:

В качестве основы для доказательства используем выражения для плотности энергии электрического (we) и магнитного полей (wm):

we=ε02εijEiEj(1.1).
wm=μ02μijHiHj=μ02μH2(1.2).

где HiHj- компоненты вектора напряжённости магнитного поля.

Выражение для вектора Умова -- Пойнтинга (S):

S=[E×H](1.3).

Первое и второе уравнения из системы уравнений Максвелла:

rotE=Bt (1.4),
rotH=j+Dt (1.5),

Уравнение (1.5) системы умножим на вектор напряженности электрического поля (E), уравнение (1.4) умножим на вектор напряженности магнитного поля (H), сложим два полученных выражения при этом опустим ток проводимости, получим:

ErotHHrotE=jE+EDt+HBt (1.6)
divS=div[E×H]=E˙D+B˙H=ε0Eiεij˙Ej+12μ0ddt(μH2)(1.7),

где B -- вектор магнитной индукции. При преобразовании дивергенции векторного произведения мы использовали известное векторное равенство:

div[E×H]=HrotEErotH (1.8).

Исходя из уравнения (1.2) мы получили, что в уравнении (1.7) вторым слагаемым является:

12μ0ddt(μH2)=ddt(wm)(1.9).

Так как мы условились, что среда является однородной и изотропной для магнитного поля, то такая производная равна нулю. Изучим производную по времени от плотности энергии электрического поля:

ddtwe=ε02ddt(εijEiEj)=ε02εij(˙EiEj+Ei˙Ej)(1.10).

Выражение ε0i,jEiεij˙Ej будет представлять собой скорость изменения плотности энергии электрического поля только если:

ε0Eiεij˙Ej=ddtwe=ε02εij(˙EiEj+Ei˙Ej) (1.11),

то есть при:

εij(˙EiEjEi˙Ej)=0 (1.12).

Мы понимаем, что изменение индексов в выражении (1.12) фиктивно, так как они принимают одни и те же значения (x,y,z). Из уравнения (1.12) следует, что:

εij=εji.

Что требовалось доказать.

Пример 2

Задание: Покажите, используя тензор диэлектрической проницаемости, что векторы D и E не коллинеарны в неизотопном кристалле.

Решение:

Анизотропная среда характеризуется тензором диэлектрической проницаемости второго ранга:

εij=|εxxεxyεxzεyxεyyεyzεzxεzyεzz|(2.1).

Это означает, что каждая составляющая вектора D выражается через все три составляющие вектора напряженности электрического поля:

{Dx=ε0(εxxEx+εxyEy+εxzEz),Dy=ε0(εyxEx+εyyEy+εyzEz)Dz=ε0(εzxEx+εzyEy+εzzEz).,(2.2).

Выберем главные оси X,Y,Z и зафиксируем их по отношению к кристаллу. В таком случаем можно записать:

{Dx=ε0εxEx,Dy=ε0εyEyDz=ε0εzEz., (2.3).

Система (2.3) означает, что тензор диэлектрической проницаемости приведен к виду:

εij=|εx000εy000εz|(2.2)

С точки зрения математики -- это диагонализация матрицы (2.1). Если εxεyεz, то при умножении составляющих вектора E на соответствующие компоненты тензора диэлектрической проницаемости, то компоненты вектора электрического смещения (2.3) не совпадут по направлению с вектором E. (рис.1).

Понятие о тензоре диэлектрической проницаемости

Дата последнего обновления статьи: 08.12.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Понятие о тензоре диэлектрической проницаемости"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant