Формула потенциальной энергии
Обратимся вновь к рассмотрению полярных диэлектриков. Дипольный момент →p, молекулы, которая находится в электрическом поле с напряженностью →E, имеет потенциальную энергию, которая вычисляется по формуле:
Величина W достигает минимального значения в том случае, когда →p↑↑→E. Так как устойчивым состоянием системы является состояние с минимумом потенциальной энергии, то моменты диполей стремятся повернуться до совпадения с направлением напряженности поля. Этот поворот осуществляет пара сил, которые действуют на диполь в электрическом поле. Тепловое движение, в свою очередь, мешает упорядочивающему действию электрического поля. В результате устанавливается равновесие.
Направим ось Z вдоль вектора напряженности электрического поля (рис. 1).
Рис. 1
В таком случае формулу (1) запишем в виде:
В данном случае можно использовать распределение Больцмана, которое будет характеризовать распределение направлений дипольных моментов молекул по углам. Количество молекул dn, дипольные моменты которых расположены в телесном угле dΩ при этом будет равно:
В таком случае среднее z-компоненты дипольного момента (⟨pz⟩) равно:
где β=pEkT, k -- постоянная Больцмана, T -- термодинамическая температура. Вычислим интеграл (I):
Интеграл в числители дроби выражения (4) можно представить как:
Тогда возьмем производную по β от результата интегрирования (5), мы имеем:
Функция Ланжевена
В таком случае используя результаты (6) и (7) перепишем формулу (4), получим:
⟨pz⟩=pL(β)=p(cthβ−1β) (8),где L(β)=cthβ−1β -- функция Ланжевена. Ее график изображен на рис. 2
Рис. 2
Задание: Используя функцию Ланжевена, найдите среднюю величину проекции дипольного момента на ось Z в ортогональной системе координат (⟨pz⟩) при условии низкой напряженности поля.
Решение:
За основу примем формулу, которая связывает ⟨pz⟩ с функцией Ланжевена, а именно:
⟨pz⟩=pL(β)=p(cthβ−1β) (1.1).При небольших напряженностях поля (pE≪kT), то есть β≪1 гиперболический котангенс можно разложить в ряд:
cthβ=1β+β3−β345+…(1.2).Ограничимся в функции Ланжевена двумя первыми членами, тогда она будет иметь вид:
L(β)=1β+β3−1β=β3(1.3).В таком случае следуя формуле (1.1) получаем:
⟨pz⟩=pв3=p3pEkT=p2E3kT(1.4).Ответ: При pE≪kT, ⟨pz⟩=p2E3kT.
Задание: Используя функцию Ланжевена, объясните, что происходит в диэлектрике с увеличением напряжённости поля. Рассмотрите случай, при котором pE≫kT.
Решение:
При увеличении напряженности поля, дипольные моменты все более интенсивно ориентируются в направлении вектора напряженности поля и в случае, если pE≫kT то есть β=pEkT≫1, можно полагать, что все дипольные моменты параллельны между собой и имеют направление совпадающее с направлением вектора напряженности. Значит, что:
⟨pz⟩=p (2.1),где pz -- проекция вектора дипольного момента молекулы на ось Z. Это условие легко получить из соотношения:
⟨pz⟩=pL(β)=p(cthβ−1β) (2.3)если β≫1, то функция Ланжевена стремится к единице (рис.2):
L(β→∞)→1 (2.4).Напомним, что
cthβ=e2β+1e2β−1 (2.5).Учитывая (2.7) и (2.8) получим:
limβ→∞cthβ =1 (2.9).При выполнении условия (2.1) достигается максимально возможная поляризованность и увеличение напряженности поля не ведет к увеличению поляризованности. Напряженность поля, при которой достигается максимальная поляризация, называется напряженностью поля насыщения.