Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Функция Ланжевена

Формула потенциальной энергии

Обратимся вновь к рассмотрению полярных диэлектриков. Дипольный момент p, молекулы, которая находится в электрическом поле с напряженностью E, имеет потенциальную энергию, которая вычисляется по формуле:

Величина W достигает минимального значения в том случае, когда p↑↑E. Так как устойчивым состоянием системы является состояние с минимумом потенциальной энергии, то моменты диполей стремятся повернуться до совпадения с направлением напряженности поля. Этот поворот осуществляет пара сил, которые действуют на диполь в электрическом поле. Тепловое движение, в свою очередь, мешает упорядочивающему действию электрического поля. В результате устанавливается равновесие.

Направим ось Z вдоль вектора напряженности электрического поля (рис. 1).

Функция Ланжевена

Рис. 1

В таком случае формулу (1) запишем в виде:

В данном случае можно использовать распределение Больцмана, которое будет характеризовать распределение направлений дипольных моментов молекул по углам. Количество молекул dn, дипольные моменты которых расположены в телесном угле dΩ при этом будет равно:

В таком случае среднее z-компоненты дипольного момента (pz) равно:

где β=pEkT, k -- постоянная Больцмана, T -- термодинамическая температура. Вычислим интеграл (I):

Интеграл в числители дроби выражения (4) можно представить как:

Тогда возьмем производную по β от результата интегрирования (5), мы имеем:

Функция Ланжевена

В таком случае используя результаты (6) и (7) перепишем формулу (4), получим:

pz=pL(β)=p(cthβ1β) (8),

где L(β)=cthβ1β -- функция Ланжевена. Ее график изображен на рис. 2

Функция Ланжевена

Рис. 2

«Функция Ланжевена» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ
Пример 1

Задание: Используя функцию Ланжевена, найдите среднюю величину проекции дипольного момента на ось Z в ортогональной системе координат (pz) при условии низкой напряженности поля.

Решение:

За основу примем формулу, которая связывает pz с функцией Ланжевена, а именно:

pz=pL(β)=p(cthβ1β) (1.1).

При небольших напряженностях поля (pEkT), то есть β1 гиперболический котангенс можно разложить в ряд:

cthβ=1β+β3β345+(1.2).

Ограничимся в функции Ланжевена двумя первыми членами, тогда она будет иметь вид:

L(β)=1β+β31β=β3(1.3).

В таком случае следуя формуле (1.1) получаем:

pz=pв3=p3pEkT=p2E3kT(1.4).

Ответ: При pEkT, pz=p2E3kT.

Пример 2

Задание: Используя функцию Ланжевена, объясните, что происходит в диэлектрике с увеличением напряжённости поля. Рассмотрите случай, при котором pEkT.

Решение:

При увеличении напряженности поля, дипольные моменты все более интенсивно ориентируются в направлении вектора напряженности поля и в случае, если pEkT то есть β=pEkT1, можно полагать, что все дипольные моменты параллельны между собой и имеют направление совпадающее с направлением вектора напряженности. Значит, что:

pz=p (2.1),

где pz -- проекция вектора дипольного момента молекулы на ось Z. Это условие легко получить из соотношения:

pz=pL(β)=p(cthβ1β) (2.3)

если β1, то функция Ланжевена стремится к единице (рис.2):

L(β)1 (2.4).

Напомним, что

cthβ=e2β+1e2β1 (2.5).
limβcthβ =limβ(e2β+1e2β1)=limβ(e2βe2β1)+limβ(1e2β1)(2.6).
limβ(1e2β1)=0 (2.7).
limβ(e2βe2β1)=limβ(1e2βe2β1e2β)=limβ(111e2β)=1 (2.8).

Учитывая (2.7) и (2.8) получим:

limβcthβ =1 (2.9).

При выполнении условия (2.1) достигается максимально возможная поляризованность и увеличение напряженности поля не ведет к увеличению поляризованности. Напряженность поля, при которой достигается максимальная поляризация, называется напряженностью поля насыщения.

Дата последнего обновления статьи: 08.12.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Функция Ланжевена"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant