Заряды конденсатора
Электрическая энергия, как и любой другой вид энергии, зависит исключительно от состояния системы, и не зависит от способа, которым данная система пришла в такое состояние.
Электрическая энергия заряженного конденсатора зависит от заряда (q), который находится на его обкладках или напряжением между ними (U).
Каким образом конденсатор был заряжен, не влияет на энергию, запасенную в нем. Допустим, что изначально конденсатор не заряжен. Это значит, что на каждой из его обкладок есть и положительный заряд и отрицательный, они одинаковы, и в результате суммарный заряд проводников равен нулю. Станем заряжать конденсатор небольшими порциями dq, перенося порции заряда с отрицательной обкладки на положительную. На практике это осуществляется с помощью соединения обкладок конденсатора проводом, в котором включён источник ЭДС. Источник ЭДС перекачивает заряд до тех пор пока разность потенциалов обкладок не достигнет заданной величины. Весь этот процесс означает, что внешние по отношению к полю конденсатора силы совершают работу (δAvnesh) против сил поля равную:
δAvnesh=(φ1−φ2)dq (1),где φ1−φ2=U -- разность потенциалов между обкладками. Работа сил поля (δA) самого конденсатора при этом равна:
δA=−δAvnesh=−(φ1−φ2)dq(2).Зарядка конденсатора
Зарядка конденсатора может сопровождаться выделением или поглощением тепла, изменением плотности диэлектрика. В данном случае будем считать эти эффекты не существенными. Это значит, что мы будем считать, что диэлектрическая проницаемость постоянна (ε=const). В таком случае вся работа внешних сил пойдет на увеличение электрической энергии конденсатора (W). В таком случае мы можем записать:/p> dW=(φ1−φ2)dq=qdqC (3).
Мы уже сказали, что в процессе зарядки конденсатора ε=const, следовательно, не изменится емкость конденсатора. Проинтегрируем уравнение (3), получим, что:
W=q22C (4).Или зная связь заряда, емкости и потенциала проводника:
C=qφ1−φ2=qU(5)выражение (4) можно записать как:
W=qU2C=12CU2 (6).Задание: Два конденсатора имеют емкости C1 и C2. Они заряжены до напряжений U1 и U2 соответственно. Конденсаторы соединили параллельно. Определите, какое количество тепла выделится при таком соединении?
Рис. 1
Решение:
Потенциалы обкладок, которые соединили стали одинаковыми. По закону сохранения сумма заряда на обкладках конденсаторов сохранилась.
Значит можно записать следующее:
q1+q2=~q1+~q2(1.1),где q1;q2 заряды конденсаторов до того как их соединили, соответственно ~q1;;~q2 - заряды конденсаторов после их соединения. Причем:
q1=C1U1,Количество тепла, которое выделится при соединении конденсаторов равно:
Q=W1−W2(1.3),где W1 -- суммарная энергия конденсаторов до соединения, W2 -- сумма энергий полей конденсаторов после соединения. Причем:
W1=12(C1U12+C2U22)(1.4).Подставим (1.5) и (1.4) в уравнение (1.3), получим:
Q=12(C1U12+C2U22)−СU22 (1.6).Емкость параллельного соединения конденсаторов (С) найдем как:
С=C1+C2(1.7).Если уравнение (1.1) переписать, заменив заряды, на соответствующие произведения емкостей и разностей потенциалов, то получим:
C1U1+C2U2=C1U+C2U (1.8).Выразим из (1.8) разность потенциалов на конденсаторах после их соединения:
C1U1+C2U2C1+C2=U (1.9).Подставим (1.9) в (1.6) найдем искомую теплоту:
Q=C1C2(U1−U2)22(C1+C2).Ответ: Q=C1C2(U1−U2)22(C1+C2).
Задание: Площадь обкладок плоского воздушного конденсатора равна S. Какую работу следует совершить, чтобы увеличить расстояние между обкладками конденсатора от d1 до d2. Если при этом постоянным поддерживается разность потенциалов (U) на конденсаторе. Процесс проводится медленно.
Решение:
Процесс проводится медленно, будем считать, что выделения тепла в системе не происходит, в таком случае изменение внутренней энергии конденсатора равно работе по перемещению обкладок, то есть запишем:
A=W2−W1 (2.1).Если неизменным остается напряжение на обкладках конденсатора в ходе наших манипуляций, а изменение энергии поля конденсатора происходит за счет изменения емкости, то выражение для энергии поля удобнее использовать в виде:
W= 12CU2 (2.2).В таком случае имеем:
A=12U2(C2−C1)(2.3),где C2,C1 -- емкости конденсатора до увеличения и после увеличения расстояния между обкладками. Емкость плоского конденсатора может быть найдена по формуле:
C=εε0Sd(2.4),где ε=1, так как по условию задачи конденсатор воздушный. Используем (2.4), подставим в (2.3) выражения для емкостей конденсатора в двух заданных состояниях, получим:
A=12U2(εε0Sd2−εε0Sd1)=12U2εε0S(d2−d1d2d1).Ответ: A=12U2εε0S(d2−d1d2d1).