В случае движения в электростатическом поле заряда силы электрические силы взаимодействия совершают работу. Любая система зарядов имеет некоторую энергию за счет уменьшения которой, и совершается эта работа.
Энергия взаимодействия множества зарядов
Предположим, что у нас имеются шары небольшого диаметра, обладающие зарядом. Распределение заряда шаров обладает сферической симметрией. Работа, совершаемая при разведении зарядов $q_1$ и $q_2$ от расстояния $r$ до $r=\infty $ равна:
где $A'>0$, если заряды имеют одинаковые знаки, $A' \[W'=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon}\frac{q_2}{r}q_1+\frac{1}{4 \varepsilon_0 \varepsilon}\frac{q_1}{r}q_2\right)=\frac{1}{2}\left({\varphi }'_1q_1+{\varphi }'_2q_2\right)\left(2\right),\]
где ${\varphi }'_1$- потенциал, который создает второй шар в центре первого, ${\varphi }'_2$- потенциал, который создает первый шар в центре второго. Формулу (2) легко обобщить на случай из множества шарообразных тел, имеющих заряды $q_i$:
Формула (3) представляет энергию взаимодействия множества зарядов.
Потенциальная энергия зарядов при их непрерывном распределении может быть найдена в соответствии с формулой:
где в элементе объема ($dV$) находится заряд $dq=\rho dV,$ $\varphi $ -- потенциал в точке объема $dV$.
Необходимо обратить внимание на то, что формула (3) представляет энергию взаимодействия между заряженными шарами, не учитывая энергию взаимодействия элементов самих шаров. Формула (4) учитывает оба вида энергии и энергию взаимодействия между шарами, и энергию взаимодействия их частей между собой. Энергию взаимодействия элементов заряженного тела называют собственной энергией. Если мы хотим рассчитать энергию взаимодействия заряженных тел по формуле (4), то проводим интегрирование по объемам этих тел ($V_i$), в нашем случае шаров:
Так в любой точке шара i потенциал ${\varphi }_i$ складывается из двух частей: ${{\varphi }_i}^{(1)}$, который создан зарядами других шаров, и ${{\varphi }_i}^{(2)}$, создан зарядами самого i --го шара. В таком случае формулу (5) можно записать в виде:
где ${\varphi }_i={{\varphi }_i}^{(1)}+{{\varphi }_i}^{(2)}$. Если, как в нашем случае мы имеем дела со сферически симметричным зарядом, то можно записать:
где ${\varphi }'_i$ - потенциал в центре шара, $q_i=\int\limits_{V_i}{\rho dV}-полный\ заряд\ шара.$ Тогда уравнение (6) можно записать как:
где $W'$ задана формулой (3). Собственная энергия тел $W^{(2)}_i$ зависит от величины заряда тела и закона распределения заряда. Если заряд имеет равномерное распределение, то собственная энергия шара равна ($W^{(2)}$):
Из (9) видно, что при стремлении радиуса шара к нулю его собственная энергия стремится к бесконечности, что ведет к проблемам при использовании понятия точечный заряд. Формулу (3) можно применять при исследовании взаимодействий точечных заряженных тел, так как она не содержит бесконечных собственных энергий. Как уже говорилось, формула (3) содержит лишь часть энергии -- энергию взаимодействия.
Энергия всего пространства
Энергию всего пространства в изотропном диэлектрике можно вычислить по формуле:
\[W=\frac{1}{2}\int\limits_V{\overrightarrow{E}\overrightarrow{D}}dV\left(10\right),\]где $\overrightarrow{E}$ -- напряженность электростатического поля, $\overrightarrow{D}$-вектор электрического смещения ($\overrightarrow{D}=\varepsilon {\varepsilon }_0\overrightarrow{E}$).
Интеграл (10) сводится к интегралу по пространству между телами (у нас шарами), где имеется электростатическое поле $\overrightarrow{E}$. Энергии и уравнении (4) и (10) равны, но носителями энергии в (4) являются заряды, а энергии в (10) является поле, энергия представляется локализованной во всем пространстве. Плотность электрической энергии в изотропном диэлектрике равна:
\[w=\frac{1}{2}\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{D}\left(11\right).\]Уравнение (8) можно представить в виде:
\[W'=W-\sum\limits_i{W^{(2)}_i}\left(12\right).\]Из (12) очевидно, что энергия взаимодействия между точечными зарядами может быть и положительной и отрицательной. Она больше нуля, когда их собственная энергия ($W^{(2)}_i)($всегда $W^{(2)}_i>0$) меньше полной энергии поля. Если все заряды кроме одного (выделенного) не движутся, тогда энергия выделенного заряда называется его потенциальной энергией. Изменение потенциальной энергии связано с изменением энергии поля. Из закона сохранения энергии следует, что уменьшение кинетической энергии частицы соответствует увеличению энергии поля и наоборот.
Задание: Рассчитать во сколько раз энергия кулоновского взаимодействия 2 электронов больше энергии их притяжения.
Решение:
Для того чтобы рассчитать энергию электрического взаимодействия электронов применим формулу:
\[W_e=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{q^2_e}{r}\left(1.1\right),\]где $\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }=9•{10}^9\frac{Нм^2}{{Кл}^2},\ где\ \varepsilon =1\ \left(для\ вакуума\right)$. $q_e=1,6\cdot {10}^{-19}Кл.$
Для вычисления энергии гравитационного взаимодействия можно применить формулу:
\[W_g=\gamma \frac{m^2_e}{r}\left(1.2\right),\]где $\gamma $=6,67$\cdot {10}^{-11}\frac{Нм^2}{{кг}^2}$ -- гравитационная постоянная, $m_e=9,1{\cdot 10}^{-31}кг.$
Найдем отношение ($\frac{W_e}{W_g}$):
\[\frac{W_e}{W_g}=\frac{\frac{1}{4 \varepsilon_0 \varepsilon}\frac{q^2_e}{r}}{\gamma \frac{m^2_e}{r}}=\frac{\frac{1}{4 \varepsilon_0 \varepsilon}q^2_e}{\gamma m^2_e}\ \left(1.3\right).\]Данные все записаны выше, проведем расчет:
\[\frac{W_e}{W_g}=\frac{9•{10}^9}{6,67•{10}^{-11}}{\left(\frac{1,6•{10}^{-19}}{9,1{•10}^{-31}}\right)}^2=\frac{23,04\cdot {10}^{-29}}{552,\ 34\cdot {10}^{-51}}=4,2\cdot {10}^{42}.\]Ответ: $\frac{W_e}{W_g}=4,2\cdot {10}^{42}$ раз.
Задание: Две тонкие концентрические сферы с имеющие заряды $q_1$ и $q_2$ имеют радиусы $R_1$ и $R_2$. Найдите полную энергию системы.
Решение:
Энергия взаимодействия сфер может быть найдена при использовании формулы:
\[W'=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{q_2}{R_2}q_1+\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{q_1}{R_2}q_2\right)=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{q_2q_1}{R_2}\left(2.1\right),\]Найдем собственную энергию первой сферы ($W_1$) c помощью формул:
\[W_1=\int{wdV},\ w=\frac{{\varepsilon }_0\varepsilon }{2}E^2\to W_1=\int\limits^{\infty }_{R_1}{\frac{{\varepsilon }_0\varepsilon }{2}E^2}\cdot 4\pi r^2dr=\frac{{\varepsilon }_0\varepsilon }{2}\int\limits^{\infty }_{R_1}{{\left(\frac{q_1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon r^2}\right)}^2}\cdot 4\pi r^2dr=\frac{1}{2\cdot 4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }{q_1}^2\int\limits^{\infty }_{R_1}{{\left(\frac{1}{r}\right)}^2}dr=\frac{{q_1}^2}{8\pi {\varepsilon }_0\varepsilon R_1}\left(2.2\right)\]По аналогии для сферы радиуса $R_2\ $ запишем:
\[W_2=\frac{{q_2}^2}{8\pi {\varepsilon }_0\varepsilon R_2}\left(2.3\right).\]В таком случае полную энергию системы (W) запишем как сумму:
\[W=W'+W_1+W_2=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{q_2q_1}{R_2}+\frac{{q_1}^2}{8\pi {\varepsilon }_0\varepsilon R_1}+\frac{{q_2}^2}{8\pi {\varepsilon }_0\varepsilon R_2}.\]Ответ: Полная энергия системы равна: $W=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{q_2q_1}{R_2}+\frac{{q_1}^2}{8\pi {\varepsilon }_0\varepsilon R_1}+\frac{{q_2}^2}{8\pi {\varepsilon }_0\varepsilon R_2}$.
