Причиной поляризации диэлектриков является то, что атомы и молекулы всех веществ содержат элементарные заряженные частицы. В результате воздействия внешнего поля происходит сдвиг этих частиц, вследствие чего возникает электрический момент. В разных диэлектриках эти смещения различны.
Что такое полярные и неполярные молекулы
Некоторые вещества построены из молекул, в состав которых входят незаряженные атомы, например, молекула кислорода. Такие молекулы названы неполярными.
Молекулы других веществ содержат атомы в заряженном состоянии, то есть ионы. Подобные молекулы называют полярными, например, молекула воды, содержащая отрицательный ион кислорода и два положительных иона водорода.
Неполярную молекулу в отсутствии внешнего поля можно уподобить в виде двух равномерно заряженных сфер, центры которых совпадают. Поле равномерно заряженной сферы во внешнем пространстве такое же, как поле точечного заряда той же величины, что и заряд сферы, помещенного в центр сферы. Электрический момент такой молекулы равен нулю. Если неполярная молекула попадает в электрическое поле, то заряды смещаются друг относительно друга в противоположные стороны. Молекула вызывает электрическое поле, которое совпадает (вне молекулы) с полем диполя. У такого диполя каждый из точечных зарядов равен заряду сферы, а плечо диполя равно расстоянию между центрами сфер.
Смещение зарядов в слабых полях можно считать пропорциональным напряженности внешнего электрического поля. При этом дипольный момент молекулы (${\overrightarrow{p}}_e$) можно считать равным:
\[\overrightarrow{p_e}=\beta {\varepsilon }_0\overrightarrow{E'}\left(1\right),\]где $\overrightarrow{E'}$ -- напряженность поля, действующего на молекулу (в жидкостях и газах $\overrightarrow{E'}\ne \overrightarrow{E}$, $\overrightarrow{E}$ -- среднее макроскопическое поле). Мы далее будем рассматривать газ, в нем $\overrightarrow{E'}=\overrightarrow{E}.$ $\beta $ -- коэффициент поляризуемость молекулы, величина, которая зависит от строения молекулы. Формула (1) применима к молекулам со сферической симметрией. Такой тип поляризации называют электронной поляризацией.
Величину $\beta $ можно оценить, если рассмотреть молекулу как проводящий шарик радиуса R. Во внешнем поле такой шарик приобретает дипольный момент равный:
\[\overrightarrow{p_e}={4\pi {\varepsilon }_0R}^3\overrightarrow{E}\left(2\right).\]Следовательно, $\beta $ для рассматриваемой модели равно:
\[\beta =4\pi R^3\left(3\right).\]Если молекула не обладает сферической симметрией, то направления векторов $\overrightarrow{E'}$ и $\overrightarrow{p_e}$ не совпадают. Линейная связь при этом между компонентами данных величин сохраняется. Однако вместо уравнения (1) теперь следует использовать выражение:
\[p_{ei}=\sum\limits_j{{\beta }_{ij}E_{j\ }\left(i,j=x,y,z\right)(4)},\]где ${\beta }_{ij}$ - тензор поляризуемости молекулы. Он зависит от строения молекулы и ее ориентации относительно координатных осей.
При выполнении условия $\overrightarrow{E'}=\overrightarrow{E}$ вектор поляризации $\overrightarrow{P}$=n$\overrightarrow{p_e}$ равен:
\[\overrightarrow{P}=\varkappa {\varepsilon }_0\overrightarrow{E}\ \left(5\right),\]где $\varkappa $ -- диэлектрическая восприимчивость (безразмерная величина), уравнение записано в системе СИ. $\varkappa =\varepsilon -1=n\beta .$ Диэлектрическая проницаемость газов, которые состоят из неполярных молекул, не зависит от температуры.
Ориентационная или дипольная поляризация
Рассмотрим диэлектрик с полярными молекулами. В данном случае каждая молекула имеет дипольный момент ($\overrightarrow{p_0}$) в отсутствии поля. Но так как в отсутствии внешнего поля в диэлектрике происходит тепловое движение, виду хаотичной направленности, векторная сумма всех моментов диполя равна нулю. Когда внешнее поле наложено на диэлектрик, каждый диполь стремится ориентироваться параллельно электрическому полю. Возникает частичное упорядочивание ориентаций векторов дипольных моментов. Степень порядка тем больше, чем сильнее поле или ниже температура диэлектрика. Электрический момент диэлектрика становится отличным от нуля. Такой тип поляризации называют ориентационной или дипольной поляризацией.
Если рассматривать газ с полярными молекулами, например, CO, то вектор поляризации будет направлен вдоль вектора напряженности внешнего поля ($\overrightarrow{E}$) его величина будет равна:
\[\overrightarrow{P}=\frac{n{p_0}^2}{3kT}\overrightarrow{E\ }\left(6\right),\]где $n$ -- количество молекул в единице объема, $k$ -- постоянная Больцмана, $T$ -- абсолютная температура газа. Формула (4) справедлива для случая $\frac{p_0E}{kT}\ll 1.$
В действительности полярные молекулы в электрическом поле не только разворачиваются, но и деформируются, то есть приобретают индуцированные дипольные моменты. Поляризуемость диэлектрика в общем случае складывается из ориентационной части и деформационной. Деформационная часть не зависит от температуры, а ориентационная обратно пропорциональна абсолютной температуре.
Диэлектрические кристаллы
Существуют диэлектрические кристаллы (ионные кристаллы), которые строятся из ионов противоположного знака. Подобный кристалл состоит из двух кристаллических решеток, положительной и отрицательной, вдвинутых одна в другую. Кристалл в целом можно уподобить гигантской молекуле. При наложении электрического поля происходит сдвиг одной решетки относительно другой, так происходит поляризация ионных кристаллов. Существуют кристаллы, которые поляризованы и без поля.
Задание: Докажите, исходя из энергетических соображений, что тензор поляризуемости симметричен $({\beta }_{ij}={\beta }_{ji}).$
Решение:
Допустим, что при изменении поля на dE заряды внутри молекулы смещаются на $dr_a$, тогда над молекулой совершается работа равная:
\[\delta A=\sum\limits_a{q_a\overrightarrow{E}dr_a=\overrightarrow{E}d\overrightarrow{p}}\ \left(1.1\right).\]Эта работа идет на приращение потенциальной энергии деформации молекулы, то есть:
\[dW=\overrightarrow{E}d\overrightarrow{p}\ \left(1.2\right).\]Потенциальная энергия -- функция состояния, не зависит от пути перехода в конечное состояние. Будем считать, что изменяем поле так, что направление вектора напряженности не изменяется. Пусть векторы $\overrightarrow{E}и\ \overrightarrow{p}$ будут векторами в конечном состоянии. Если напряженность увеличится в $\lambda \ раз$ так как связь между $\overrightarrow{E}и\ \overrightarrow{p}$ линейна, то в $\lambda \ раз$ увеличится $\overrightarrow{p}$, с сохранением направления, то есть:
\[{\overrightarrow{E}}'=\lambda \overrightarrow{E},\ {\overrightarrow{p}}'=\ \lambda \overrightarrow{p}\left(1.3\right).\]Тогда приращение потенциальной энергии равно:
\[dW=\overrightarrow{E}\overrightarrow{p}\lambda d\lambda \ \left(1.4\right),\]где $0\le \lambda \le 1.$ Проинтегрируем выражение (1.4), получим:
\[W=\frac{1}{2}\overrightarrow{p}\overrightarrow{E}\left(1.5\right).\]Возьмем от энергии в (1.5) дифференциал, приравняем его к дифференциалу из (1.2) получим:
\[\overrightarrow{E}d\overrightarrow{p}=\overrightarrow{p}d\overrightarrow{E}\left(1.6\right).\]Запишем выражение (1.6) в координатном представлении, получим:
\[\sum{\sum{{\beta }_{ij}E_jdE_i=}}\sum{\sum{E_i{\beta }_{ji}dE_j}}\left(1.7\right).\]В виду произвольности $dE_i$, следует, что ${\beta }_{ij}={\beta }_{ji}$.
Ответ: Симметричность тензора поляризуемости доказана.
Задание: Объясните причину того, что связь между напряженностью внешнего электрического поля ($\overrightarrow{E}$) и электрического дипольного момента ($\overrightarrow{p_e}$) линейна на примере атома водорода.
Решение:
Для определения рода зависимости между $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{p_e}$ надо учитывать, что дипольный момент неполярных молекул возникает во внешнем электрическом поле, напряженность которого существенно меньше, чем напряженность внутренних полей, которые действуют в атомах и молекулах. Так в нормальном состоянии среднее расстояние электрона от ядра в атоме водорода составляет $r_H=0,53\cdot {10}^{-10}м$ (Боровский радиус). Электрическое поле, которое создается ядром на таком расстоянии равно:
\[E=k\frac{q}{r^2}\approx 9\cdot {10}^9\frac{1.6\cdot {10}^{-19}}{{\left(0.53\cdot {10}^{-10}\right)}^2}\approx 5,12\cdot {10}^{11}\left(\frac{В}{м}\right).\]Для получения искры между двумя металлическими шариками радиусами 2,5 см, если они находятся на расстоянии в 1см друг от друга в сухом воздухе следует их поместить в поле порядка $E\approx 3\cdot {10}^6\frac{В}{м}$. Такое поле приблизительно в ${10}^4$ раз слабее, чем внутренне поле атома водорода. При таких условиях смещения зарядов внутри молекулы при поляризации ничтожно малы, и можно считать, что индуцированный дипольный момент линеен по отношению к напряженности поля.
