Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Затухающие колебания в контуре и их уравнение

Определение, характеристики затухающих колебаний

Определение 1

В реальном мире любые колебания в системе, где нет источника энергии, являются затухающими. Рассмотрим реальный контур, сопротивление которого отлично от нуля. Примером простейшей системы, которую рассматривают в таком случае может служить контур включают сопротивление (R), конденсатор емкостью C, катушку индуктивности L, тогда такой контур имеет вид указанный на рис.1. Колебания в таком контуре являются затухающими.



Рисунок 1.

Причиной затухания колебаний в таком контуре является наличие сопротивления. Его существование ведет к тому, что в контуре происходят потери энергии на выделение джоулева тепла. В механике аналогом сопротивления являются силы трения.

Затухающие колебания характеризуют коэффициентом затухания (β), равным:

Из выражения (1) видно, что β является характеристикой контура. Иногда для характеристики затухания используют логарифмический декремент затухания (δ), который равен:

где a(t)- амплитуда какой -- либо величины (заряда, силы тока и т.д.). δ равен количеству колебаний (Ne) за время, в течение которого амплитуда уменьшается в e раз:

Для RLC контура:

где ω -- частота.

Если затухание небольшое (δ1), то полагают, что βω0 (ω0=1LCсобственнная частота), тогда ωω0. В таком случае:

Рассматривая затухающие колебания, колебательный контур характеризуют его добротностью (O). Он равен:

Для слабого затухания добротность можно выразить как:

Также при слабом затухании электрических колебаний добротность можно выразить через отношение энергий:

где W -- энергия контура, W- уменьшение энергии контура за одно колебание.

«Затухающие колебания в контуре и их уравнение» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Уравнение затухающих колебаний

Обратимся вновь к контуру, который изображен на рис.1. Изменение заряда (q) на конденсаторе в таком контуре описывается дифференциальным уравнением вида:

Если сопротивление, которое входит в состав контура $R q(t)=A0e(βt)sin(ωt+α0)=A0e(βt)cos(ωt+α0)=0(10) , 

где ω=1LCR24L2β=R2L. Амплитуда равна:

В том случае, если при t=0 заряд на конденсаторе равен q0, тока в цепи нет, то для A0 можно записать:

Начальная фаза колебаний (α0) равна:

При R>2LC изменение заряда не является колебаниями, разряд конденсатора называют апериодическим.

Сопротивление, при котором колебания превращаются в апериодический разряд конденсатора называется критическим (Rk). Величина Rk определяют условием:

График функции (10) изображают как на рис.2.



Рисунок 2.

Пример 1

Задание: Запишите закон убывания энергии, запасенной в контуре (W(t)), если W(t=0)=W0, колебания являются затухающими. Коэффициент затухания колебаний в контуре равен β. Собственная частота ω0. 

Решение:

В качестве отправной точки для решения задачи используем уравнение изменения заряда на конденсаторе в RLC -контуре в виде:

q(t)=q0e(βt)cos(ωt+α0)=q0e(βt)cos(ωt)(1.1) ,

в выражении (1.1) мы предположили, что при t=0, α0=0. Используя выражение:

I=dqdt(1.2).

Найдем I(t), получим:

I(t)=ω0q0e(βt)sin(ωt+α)(1.3),

где tgα=βω.

Следовательно, электрическая энергия контура (Wq) имеет вид:

Wq=q22C=q022Ce(2βt)cos2(ωt)=W0e(2βt)cos2(ωt) (1.4).

Магнитная энергия контура (Wm) равна:

Wm=L2ω02q02e(2βt)sin2(ωt+α)=W0e(2βt)sin2(ωt+α)(1.5).

Полная энергия равна:

W=Wq+Wm=W0e(2βt)(cos2(ωt)+sin2(ωt+α))=W0e(2βt)(1+βω0sin(2ωt+α) ),

где sinα=βω0.

Ответ: W(t)=W0e(2βt)(1+βω0sin(2ωt+α) ).

Пример 2

Задание: Используя результат Примера 1, запишите выражение для энергии, запасенной в контуре (W(t)), если колебания затухают в контуре очень медленно. Изобразите график убывания энергии запасенной в контуре.

Решение:

Если колебания в контуре затухают медленно, то это значит:

βω01 (2.1).

Следовательно, выражение для энергии, запасенной в контуре:

W(t)=W0e(2βt)(1+βω0sin(2ωt+α) )(2.2)

можно преобразовать к виду:

W(t)=W0e(2βt)(2.3),

так как выполняется условие (2.1), sin(2ωt+α) 1, значит:

βω0sin(2ωt+α)1. 



Рисунок 3.

Ответ: W(t)=W0e(2βt). Энергия контура убывает по экспоненте.

Дата последнего обновления статьи: 26.04.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Затухающие колебания в контуре и их уравнение"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant