Определение, характеристики затухающих колебаний
В реальном мире любые колебания в системе, где нет источника энергии, являются затухающими. Рассмотрим реальный контур, сопротивление которого отлично от нуля. Примером простейшей системы, которую рассматривают в таком случае может служить контур включают сопротивление (R), конденсатор емкостью C, катушку индуктивности L, тогда такой контур имеет вид указанный на рис.1. Колебания в таком контуре являются затухающими.
Рисунок 1.
Причиной затухания колебаний в таком контуре является наличие сопротивления. Его существование ведет к тому, что в контуре происходят потери энергии на выделение джоулева тепла. В механике аналогом сопротивления являются силы трения.
Затухающие колебания характеризуют коэффициентом затухания (β), равным:
Из выражения (1) видно, что β является характеристикой контура. Иногда для характеристики затухания используют логарифмический декремент затухания (δ), который равен:
где a(t)- амплитуда какой -- либо величины (заряда, силы тока и т.д.). δ равен количеству колебаний (Ne) за время, в течение которого амплитуда уменьшается в e раз:
Для RLC контура:
где ω -- частота.
Если затухание небольшое (δ≪1), то полагают, что β≪ω0 (ω0=√1LC−собственнная частота), тогда ω≈ω0. В таком случае:
Рассматривая затухающие колебания, колебательный контур характеризуют его добротностью (O). Он равен:
Для слабого затухания добротность можно выразить как:
Также при слабом затухании электрических колебаний добротность можно выразить через отношение энергий:
где W -- энергия контура, △W- уменьшение энергии контура за одно колебание.
Уравнение затухающих колебаний
Обратимся вновь к контуру, который изображен на рис.1. Изменение заряда (q) на конденсаторе в таком контуре описывается дифференциальным уравнением вида:
Если сопротивление, которое входит в состав контура $R q(t)=A0e(−βt)sin(ωt+α0)=A0e(−βt)cos(ωt+α′0)=0(10) ,
где ω=√1LC−R24L2⋅β=R2L. Амплитуда равна:
В том случае, если при t=0 заряд на конденсаторе равен q0, тока в цепи нет, то для A0 можно записать:
Начальная фаза колебаний (α0) равна:
При R>2√LC изменение заряда не является колебаниями, разряд конденсатора называют апериодическим.
Сопротивление, при котором колебания превращаются в апериодический разряд конденсатора называется критическим (Rk). Величина Rk определяют условием:
График функции (10) изображают как на рис.2.
Рисунок 2.
Задание: Запишите закон убывания энергии, запасенной в контуре (W(t)), если W(t=0)=W0, колебания являются затухающими. Коэффициент затухания колебаний в контуре равен β. Собственная частота ω0.
Решение:
В качестве отправной точки для решения задачи используем уравнение изменения заряда на конденсаторе в RLC -контуре в виде:
q(t)=q0e(−βt)cos(ωt+α′0)=q0e(−βt)cos(ωt)(1.1) ,в выражении (1.1) мы предположили, что при t=0, α′0=0. Используя выражение:
I=dqdt(1.2).Найдем I(t), получим:
I(t)=−ω0q0e(−βt)sin(ωt+α)(1.3),где tgα=βω.
Следовательно, электрическая энергия контура (Wq) имеет вид:
Wq=q22C=q022Ce(−2βt)cos2(ωt)=W0e(−2βt)cos2(ωt) (1.4).Магнитная энергия контура (Wm) равна:
Wm=L2ω02q02e(−2βt)sin2(ωt+α)=W0e(−2βt)sin2(ωt+α)(1.5).Полная энергия равна:
W=Wq+Wm=W0e(−2βt)(cos2(ωt)+sin2(ωt+α))=W0e(−2βt)(1+βω0sin(2ωt+α) ),где sinα=βω0.
Ответ: W(t)=W0e(−2βt)(1+βω0sin(2ωt+α) ).
Задание: Используя результат Примера 1, запишите выражение для энергии, запасенной в контуре (W(t)), если колебания затухают в контуре очень медленно. Изобразите график убывания энергии запасенной в контуре.
Решение:
Если колебания в контуре затухают медленно, то это значит:
βω0≪1 (2.1).Следовательно, выражение для энергии, запасенной в контуре:
W(t)=W0e(−2βt)(1+βω0sin(2ωt+α) )(2.2)можно преобразовать к виду:
W(t)=W0e(−2βt)(2.3),так как выполняется условие (2.1), sin(2ωt+α) ≤1, значит:
βω0sin(2ωt+α)≪1.
Рисунок 3.
Ответ: W(t)=W0e(−2βt). Энергия контура убывает по экспоненте.