Энергия магнитного поля в веществе

Энергия магнетика, находящегося во внешнем магнитном поле

Допустим, что в пространстве магнитное поле создано фиксированным распределением токов. Индукция магнитного поля при этом равна: $\overrightarrow{B_0}\left(x,y,z\right)={\mu }_0\overrightarrow{H_0}\left(x,y,z\right).$ При этом энергия магнитного поля равна:

Заполним все пространство однородным магнетиком, магнитная проницаемость которого равна $\mu =const.$ При этом будем считать, что поле создано тем же распределением токов. В таком случае напряженность магнитного поля не изменится ($\overrightarrow{H}$=$\overrightarrow{H_0}$), индукция магнитного поля будет равна:

В таком случае из уравнения (1) и (2) следует, что энергия магнитного поля при наличии магнетика равна:

Из выражения (3) следует, что при заполнении пространства магнетиком энергия магнитного поля увеличилась. Это легко объяснить, так как источник такой энергии сторонние движущие силы, которые поддерживают постоянными токи при заполнении магнетиком пространства. Так как после того как пространство заполнено магнетиком все источники дополнительного поля такие же как и до заполнения пространства, то можно положить, что энергия магнетика (${W_m}^v$) во внешнем поле с напряжённостью $\overrightarrow{H_0\ }\ $равна:

Мы знаем, что вектор намагниченности можно связать с вектором напряженности выражением:

где $\varkappa$ - магнитная восприимчивость, которая для изотропных магнетиков связана с магнитной проницаемостью соотношением:

Преобразуем подынтегральное выражение в (4) и используем формулы (5) и (6), получим:

Из формул (4) и (7) получаем, что энергия магнетика равна:

Формула (9) по своей структуре аналогична формуле для энергии диэлектрика во внешнем электрическом поле (отличен знак в правой части выражения). Формула (9) получена для магнетика с постоянной магнитной проницаемостью, однако она справедлива и для произвольного случая.

Энергия магнетика при изменении магнитной проницаемости среды

Допустим, что магнетик с магнитной проницаемостью ${\mu }_1$ находится в среде с магнитной проницаемостью ${\mu }_2$. Тогда в соответствии с формулой (8) запишем, что:

где $\overrightarrow{H_2}-$ напряженность поля в точках магнетика с магнитной проницаемостью ${\mu }_2\ (как\ если\ бы\ другого\ магнетика\ не\ было)$, $\overrightarrow{H_1}$ - фактическая напряженность поля в магнетике с проницаемостью ${\mu }_1$, который находится в среде с магнитной проницаемостью ${\mu }_2.$

Если магнитная проницаемость среды изменяется на бесконечно малую величину $\delta \mu ={\mu }_1-{\mu }_2$, то энергия магнетика во внешнем магнитном поле напряженностью $\overrightarrow{H}\ $изменяется на ${{\delta W}_m}^v$. Подставим в (9) ${\overrightarrow{H}}_2=\overrightarrow{H},$ ${\overrightarrow{H}}_1=\overrightarrow{H}+\delta \overrightarrow{H}$, если откинуть величину $\delta \mu \delta \overrightarrow{H\cdot }\overrightarrow{H}$ как величину второго порядка малости, получим:

где $\mu \ $в общем случае может быть функцией различных параметров.