Энергия магнетика, находящегося во внешнем магнитном поле
Допустим, что в пространстве магнитное поле создано фиксированным распределением токов. Индукция магнитного поля при этом равна: $\overrightarrow{B_0}\left(x,y,z\right)={\mu }_0\overrightarrow{H_0}\left(x,y,z\right).$ При этом энергия магнитного поля равна:
Заполним все пространство однородным магнетиком, магнитная проницаемость которого равна $\mu =const.$ При этом будем считать, что поле создано тем же распределением токов. В таком случае напряженность магнитного поля не изменится ($\overrightarrow{H}$=$\overrightarrow{H_0}$), индукция магнитного поля будет равна:
В таком случае из уравнения (1) и (2) следует, что энергия магнитного поля при наличии магнетика равна:
Из выражения (3) следует, что при заполнении пространства магнетиком энергия магнитного поля увеличилась. Это легко объяснить, так как источник такой энергии сторонние движущие силы, которые поддерживают постоянными токи при заполнении магнетиком пространства. Так как после того как пространство заполнено магнетиком все источники дополнительного поля такие же как и до заполнения пространства, то можно положить, что энергия магнетика (${W_m}^v$) во внешнем поле с напряжённостью $\overrightarrow{H_0\ }\ $равна:
Мы знаем, что вектор намагниченности можно связать с вектором напряженности выражением:
где $\varkappa $ - магнитная восприимчивость, которая для изотропных магнетиков связана с магнитной проницаемостью соотношением:
Преобразуем подынтегральное выражение в (4) и используем формулы (5) и (6), получим:
Из формул (4) и (7) получаем, что энергия магнетика равна:
Формула (9) по своей структуре аналогична формуле для энергии диэлектрика во внешнем электрическом поле (отличен знак в правой части выражения). Формула (9) получена для магнетика с постоянной магнитной проницаемостью, однако она справедлива и для произвольного случая.
Энергия магнетика при изменении магнитной проницаемости среды
Допустим, что магнетик с магнитной проницаемостью ${\mu }_1$ находится в среде с магнитной проницаемостью ${\mu }_2$. Тогда в соответствии с формулой (8) запишем, что:
где $\overrightarrow{H_2}-$ напряженность поля в точках магнетика с магнитной проницаемостью ${\mu }_2\ (как\ если\ бы\ другого\ магнетика\ не\ было)$, $\overrightarrow{H_1}$ - фактическая напряженность поля в магнетике с проницаемостью ${\mu }_1$, который находится в среде с магнитной проницаемостью ${\mu }_2.$
Если магнитная проницаемость среды изменяется на бесконечно малую величину $\delta \mu ={\mu }_1-{\mu }_2$, то энергия магнетика во внешнем магнитном поле напряженностью $\overrightarrow{H}\ $изменяется на ${{\delta W}_m}^v$. Подставим в (9) ${\overrightarrow{H}}_2=\overrightarrow{H},$ ${\overrightarrow{H}}_1=\overrightarrow{H}+\delta \overrightarrow{H}$, если откинуть величину $\delta \mu \delta \overrightarrow{H\cdot }\overrightarrow{H}$ как величину второго порядка малости, получим:
где $\mu \ $в общем случае может быть функцией различных параметров.
Задание: Плотность энергии магнитного поля соленоида с током без сердечника равна $0,1 \frac{Дж}{м^3}$. Во сколько увеличится плотность энергии поля, если в соленоид вставить железный сердечник не изменяя силы тока?
Решение:
При расчете магнитного поля соленоида без сердечника учтем, что магнитная проницаемость среды равна $\mu =1.$ Для расчета напряженности магнитного поля соленоида примем формулу:
\[w=\frac{\mu {\mu }_0H^2}{2}\left(1.1\right).\]Выразим из (1.1) напряженность, получим:
\[H=\sqrt{\frac{2w}{\mu {\mu }_0}}\left(1.2\right).\]Напряженность магнитного поля не изменится, если в соленоид вставить сердечник. Для того чтобы найти индукцию магнитного поля для соленоида с железным сердечником вычислим напряжённость:
\[H=\sqrt{\frac{2\cdot 0,1}{4\pi \cdot {10}^{-7}}}=0,4\cdot {10}^3\left(\frac{A}{м}\right).\]Для того чтобы по напряженности магнитного поля найти магнитную индукцию, в железном сердечнике используют справочные материалы (в виде таблиц или графиков). Так, напряженности магнитного поля $H=400 \frac{A}{м}$ соответствует магнитная индукция $B\approx 1Тл.$
Найдем плотность магнитной энергии поля соленоида с сердечником, он равна:
\[w'=\frac{BH}{2}\left(1.3\right).\]Вычислим $w'$, получим:
\[w'=\frac{1\cdot 400}{2}=200\ \left(\frac{Дж}{м^3}\right).\]Найдем искомое отношение плотностей энергий:
\[\frac{w'}{w}=\frac{200}{0,1}=2000.\]Ответ: Плотность энергии увеличится в $2000$ раз.
Задание: Найдите энергию магнитного поля в зазоре железной рамки квадратного сечения ($W_{m1}$), полную энергию магнитного поля ($W_m$), если на рамке имеется обмотка из $N$ витков, по которой течет ток $I$. Площадь поперечного сечения рамки $S$, длина средней линии рамки равна $d$. В рамке имеется прорезь шириной $a$. Считать, что рассеяния поля на краях прорези нет. Магнитная проницаемость рамки при заданных условиях равна $\mu $.
Решение:
Найдем напряженность магнитного поля в рамке и ее зазоре, используя теорему о циркуляции:
\[\oint\limits_L{\overrightarrow{H}d\overrightarrow{l}=\sum\limits^N_{k=1}{I_k\left(2.1\right).}}\]Для условий нашей задачи выражение (2.1) будет иметь вид:
\[H\left(d-a\right)+Ha=IN\to H=\frac{IN}{d}\ \left(2.2\right).\]В зазоре магнитная индукция равна:
\[\overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{H}\left(2.3\right).\]Подставим (2.3), выразим индукцию магнитного поля в зазоре:
\[H\left(d-a\right)+\frac{B}{{\mu }_0}a=IN\to B=\frac{{\mu }_0IN}{a}-\frac{{\mu }_0\left(d-a\right)H}{a}\left(2.4\right).\]Найдем энергию магнитного поля в зазоре ($W_{m1}$):
\[W_{m1}=\frac{BH}{2}S\cdot a=\frac{1}{2}\left(\frac{{\mu }_0IN}{a}-\frac{{\mu }_0\left(d-a\right)\frac{IN}{d}}{a}\right)\frac{IN}{d}\cdot S\cdot a=\frac{1}{2}\frac{{\mu }_0a{(IN)}^2S}{d}(2.5).\]Магнитная энергия в сердечнике может быть выражена как:
\[W_{m2}=\frac{\mu {\mu }_0H^2}{2}S\left(d-a\right)=\frac{\mu {\mu }_0S}{2}{\left(\frac{IN}{d}\right)}^2\left(d-a\right)\left(2.6\right).\]Полную энергию поля ($W_m$) найдем как:
\[W_m=W_{m1}+W_{m2}=\frac{1}{2}\frac{{\mu }_0{a(IN)}^2S}{d}+\frac{\mu {\mu }_0S}{2}{\left(\frac{IN}{d}\right)}^2\left(d-a\right)=\frac{1}{2}{\mu }_0S\frac{{\left(IN\right)}^2}{d}\left(a+\frac{\mu }{d}\left(d-a\right)\right).\]Ответ: $W_{m1}=\frac{1}{2}\frac{\mu_0a{(IN)}^2S}{d},\ W_m=\frac{1}{2}\mu_0S\frac{{\left(IN\right)}^2}{d}\left(a+\frac{\mu}{d}\left(d-a\right)\right).$
