Энергия магнитного поля

Энергия магнитного поля при наличии магнетиков

Пусть все рассматриваемое пространство заполняет однородный магнетик. В нем индукция магнитного поля, которое создают токи, изменяется в $\mu$ раз в сравнении с индукцией в вакууме. Во столько же изменяются магнитные потоки $Ф$ и $dФ.$ Элементарная работа, выполняемая внешним источником против электродвижущей силы индукции, будет равна:

Допустим, что магнитное поле создается двумя контурами. Если $L_{11}$ - индуктивность первого контура, $L_{22}$ - индуктивность второго контура, то можно записать, что:

Поток ${\Phi }_{12}$, который пересекает контур (1), создаваемый током во втором контуре равен:

где $L_{12}$- постоянная, взаимная индуктивность первого и второго контуров. Для второго контура имеем:

Из формул (2) - (4) следует, что если изменяются магнитные потоки в магнетике, то индукции контура и взаимные индукции увеличиваются в $\mu$ раз. Это значит, что взаимные индукции контуров равны:

При этом магнитные потоки в магнитике могут быть выражены как:

где $r_{21}=r_{12}$ - расстояния между элементами контуров с током $d\overrightarrow{l_1}и\ d\overrightarrow{l_2}$.

Формула же записанная для энергии магнитного поля, которое создано двумя контурами с токами для вакуума и магнетика (при отсутствии ферромагнетика) по форме не изменяется:

Если магнитное поле образуется $N$ контурами, то его энергию можно вычислить как:

Рисунок 1.

при $i=k$ коэффициент $L_{ik}$ называется индуктивностью контура ${\rm I}$, при $i\ne k$, этот же коэффициент называют взаимной индуктивностью ${\rm I}$-го и k-го контуров. Эти коэффициенты определяются формулами при $i\ne k$:

где $d\overrightarrow{l_i},d\overrightarrow{l_k}$ - элементы длины контуров ${\rm I}$-го и $k$-го. $r_{ik}-$расстояние между ними. При этом $L_{ik}=L_{ki}$. В результате получается, что энергия магнитного поля токов, которые текут в неограниченном однородном магнетике, изменяется в $\mu$ раз в сравнении с энергией этих же токов в вакууме.

Объемная плотность энергии магнитного поля

Магнитное поле, которое создают токи, распределено по всему пространству. Допустим, что магнитное поле создается одиночным контуром с током. Магнитная энергия поля в таком случае может быть представлена как:

где поток магнитной индукции можно выразить как:

где $L$ контур тока, $S$ - поверхность, которая натянута на контур $L$, $\overrightarrow{A}\ $- векторный потенциал, магнитного поля, которое создается током $I$. Замкнутый ток взаимодействует со своим магнитным полем. Каждый элемент тока $Id\overrightarrow{l}$ создает в пространстве собственное магнитное поле, с которым взаимодействуют другие элементы тока.

Подставим (11) в формулу (10), получим:

Проведем переход от линейных токов к объемным токам с помощью соотношения:

Из выражения (10) получим:

Используем известные формулы:

Преобразуем выражение (12), получим:

По теореме Остроградского - Гаусса имеем:

В том случае, если точки рассматриваются в конечной области пространства, на больших расстояниях от этой области $A\sim \frac{1}{r}$, $H\sim \frac{1}{r^2}$, то есть подынтегральное выражение убывает пропорционально $\frac{1}{r^3}$. Поверхность при этом растет пропорционально $r^2$, получаем, что интеграл уменьшается $\sim \frac{1}{r}.$ Получается, что при $r\to \infty$, второй интеграл в выражении (15) равен нулю, тогда полная энергия выражается формулой:

Тогда, можно сказать, что объемная плотность энергии магнитного поля в пространстве равна:

Энергия магнетика во внешнем поле

Если имеется фиксированное распределение токов в пространстве, то энергия магнетика в магнитном поле равна:

где $\overrightarrow{J}$ - намагниченность магнетика, $\overrightarrow{B_0}$ - магнитное поле в свободном пространстве.