Законы электромагнетизма

В этой статье мы не будем останавливаться на законах, которые описывают отдельно электрические и магнитные поля, что можно сделать, только если эти поля являются статическими.

Электрические и магнитные поля в общем случае необходимо рассматривать совместно, как полное электромагнитное поле, поскольку электрическое и магнитное поле – это разные составляющие одного объекта в физике.

Разделение электромагнитного поля на компоненты имеет относительный характер. Оно зависит от системы отсчета, в которой рассматривают происходящие явления. Поле может быть постоянным в одной системе отсчёта и переменным в другой.

Например, пусть два одинаковых заряда перемещаются в системе $XOY$ навстречу друг другу со скоростью по модулю, равной $v$. В системе отсчета $XOY$ мы сможем наблюдать два переменных поля (электрическое и магнитное). Отыскать некоторую систему отсчета, в которой можно рассматривать только одно из полей в этом случае невозможно.

Рассмотрим другой пример. В инерциальной системе отсчета $XOY$ заряд движется с постоянной скоростью $v$. В этом случае в системе отсчета $XOY$ мы сможем наблюдать переменные электрическое и магнитное поля, создаваемые рассматриваемым зарядом. Перейдем к новой инерциальной системе отсчета $X’O’Y’$, которая движется вместе с нашим зарядом (заряд относительно этой системы отсчета покоится). В системе отсчета $X’O’Y’$ мы можем наблюдать только электрическое поле.

Инвариантность заряда

Доказано, что полный электрический заряд изолированной системы не изменяется, какие бы движения не совершали носители заряда рассматриваемой системы. Примером этого может служить нейтральность газа. Рассмотрим водород. В его молекулах электроны перемещаются со скоростями существенно большими, чем скорости протонов. Значит, если бы заряд зависел от скорости, то при некоторых скоростях заряды электронов и протонов не были бы скомпенсированы и газ стал бы заряженным.

Так, фундаментальным свойством заряда является его инвариантность:

Заряд каждой частицы – это релятивистски инвариантный параметр, не связанный со скоростью частицы и выбором системы отсчета.

Инвариантность теоремы Гаусса

Анализ результатов опытов показал, что терема Гаусса для напряженности электрического поля:

$\oint {\vec{E}d\vec{S}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}\left( 1 \right)} $

является справедливой не только, если заряды неподвижны, но и если они перемещаются. Интеграл по поверхности вычисляется для одного момента времени в данной системе отсчета. Так как в соответствии с принципом относительности Галилея разные инерциальные системы отсчета (ИСО) эквивалентны друг другу, то можно сказать, что теорема Гаусса будет справедливой для всех ИСО.

Законы преобразования полей

При переходе от одной системы отсчета к другой поля $\vec E$ и $\vec B$ преобразуются определенным образом. Законы их преобразования устанавливает специальная теория относительности.

Если имеются две инерциальные системы отсчета. Скорость относительного движения второй системы относительно первой равна $\vec v$.

Известны величины магнитного и электрического полей в некоторой пространственно-временной точке неподвижной ИСО и движущейся ИСО, тогда законы преобразования полей запишем в виде:

$\vec{E}_{ǁ}^{'}=\vec{E}_{ǁ}\, \vec{B}_{ǁ}^{'}=\vec{B}_{ǁ}$;

$\vec{E}_{\bot }^{'}=\frac{\vec{E}_{\bot }+\left( \vec{v}\times \vec{B}\right)}{\sqrt {1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} }$;

$\vec{B}_{\bot }^{'}=\frac{\vec{B}_{\bot }+\left( \vec{v}\times \vec{E}\right)}{\sqrt {1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} }\left( 2 \right)$,

где символами ⊥ и ǁ отмечены продольные и поперечные относительно вектора скорости $\vec v$ компоненты полей; $c$ - скорость света в вакууме.

Из формул (2) видно, что любой вектор $\vec E’$ и $\vec H’$ можно выразить и через $\vec E$ и через $\vec H$, что говорит о единой природе электрического и магнитного полей.

Каждое поле (отдельно электрическое, отдельно магнитное) не имеет абсолютного смысла. Об электрическом и магнитном полях следует говорить, только указывая систему отсчета.

Обратим внимание на особенности законов преобразования полей:

1. При переходе от одной ИСО к другой продольные компоненты полей не изменяются.
2. Векторы $\vec E$ и $\vec B$ в разных системах отсчета связаны симметричным образом.
3. При необходимости получения формул обратного перехода от движущейся ИСО к неподвижной в выражениях (2) достаточно изменить все величины со штрихами на нештрихованные и знак перед скоростью $v$.

Формулы преобразования полей указывают на релятивистскую природу магнетизма.

Инвариантными величинами при рассмотрении электромагнитного поля являются следующие комбинации векторов напряженности электрического поля и индукции магнитного поля:

• $\vec E \vec B=inv$.
• $E^2-c^2B^2=inv$.

Инвариантность данных комбинаций величин относительно преобразований Лоренца - это следствие преобразования полей.

Закон электромагнитной индукции

В 1831 году М. Фарадей сделал одно из самых важных открытий электродинамики, он открыл явление электромагнитной индукции. Сущность его в том, что в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока, который охватывает наш контур, появляется электрический ток, названный индукционным током.

Возникновение тока индукции означает, что изменение потока магнитной индукции (не важен способ изменения) порождает электродвижущую силу индукции (ЭДС индукции).

Экспериментально доказано, что электродвижущая сила (ЭДС) ($Ɛ $) индукции в контуре равна:

$Ɛ=-\frac{dФ}{dt}\left( 3 \right)$,

где $Ф$ -переменный магнитный поток через замкнутый контур или его часть.

В общем случае изменение магнитного потока сквозь плоский контур вызвано:

• переменным во времени магнитным полем;
• движением контура в поле и переменой его ориентации.

Самоиндукция

Явление самоиндукции можно считать частным случаем электромагнитной индукции.

В соответствии с правилом Ленца явление самоиндукции препятствует изменению силы тока в контуре. Так, если цепь, имеющую источник постоянного тока замыкают, то сила тока становится номинальной не в одно мгновение, при размыкании цепи ток не исчезает сразу.

Магнитное поле, которое создается током в контуре или катушке постоянных размеров и формы, в каждой точке пропорционально сил тока $I$. Следовательно, магнитный поток $Ф$, который пронизывает контур, равен:

$Ф=LI$(4),

где $L$ - индуктивность контура (коэффициент самоиндукции). Она связана с размерами, формой контура, магнитными свойствами вещества, в котором находится контур.

Закон, которому подчиняется ЭДС самоиндукции:

$Ɛ=-L\frac{dI}{dt}\left( 5 \right)$.

Формула (5) показывает, что при постоянных размерах и форме контура ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна скорости изменения силы тока в контуре.

Уравнения Максвелла

Максвелл доказал, что сущностью электромагнитной индукции стало создание магнитным полем вихревого электрического поля. Индукционный ток является вторичным эффектом, который появляется в проводящих веществах. Трактовка электромагнитной индукции, которую дал Максвелл стала более общей.

Уравнения Максвелла стали математическим основанием классического электромагнетизма.

Запишем их в виде системы дифференциальных уравнений:

$rot\, \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\left( 6 \right)$;

$rot\, \vec{H}=\vec{j}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\left( 7 \right)$;

$div\, \vec{D}=\rho \left( 8 \right)$;

$div\, \vec{B}=0\left( 9 \right)$.

В выражениях (6)- (9) мы имеем:

$\vec E$ и $\vec D$ - напряженность и индукция электрического поля; $\vec H$ и $\vec B$ - напряженность и магнитная индукции; $\rho$ - объемная плотность электрического заряда; $\vec j$ - плотность тока.

Уравнения Максвелла у нас представлены в дифференциальной форме. Для однозначного описания электромагнитных полей уравнения Максвелла дополняют материальными уравнениями среды. В общем виде они записываются в виде функций:

$\vec D=\vec D(\vec E)$; $\vec B=\vec B(\vec H)$; $\vec j=\vec j(\vec E)$.