Параметры цепей синусоидального электрического тока
Переменный ток – это электрический ток, который изменяется во времени по какому-либо закону.
В том случае, когда форма кривых величины переменного тока и напряжения повторяется через одинаковые промежутки времени, то они являются периодическими. Наименьшее время, через которое повторяется форма кривых величины переменного тока и напряжения называется периодом. Количество периодов за одну секунду называется частотой, она может быть рассчитана по следующей формуле:
$f = 1 / T$
где, Т - период.
Самыми простыми периодическими переменными напряжения и величины тока являются токи и напряжения синусоидальной формы:
$u(t) = Um*sin(wt+фu)$
$i(t) = Im*sin(wt+фi)$
где, u(t), i(t) - мгновенные значения напряжения и тока; Im, Um - амплитудные значения тока и напряжения; фu, фi - начальные фазы напряжения и тока; w - угловая скорость.
Угол сдвига фаз – это разница начальных фаз тока и напряжения.
Угол сдвига фаз обозначается следующим образом:
$О = фu - фi$
Известно, что комплексное число можно представить в виде вектора на комплексной плоскости, а мнимая и действительная часть части комплексного числа являются проекциями вектора на мнимую и вещественную оси.
Рисунок 1. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В электротехнике за мнимую единицу принята буква j.
Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
где, А - модуль; ф - фаза или аргумент
Допустим, что вектор А на комплексной плоскости вращается против часовой стрелки с угловой скоростью, то комплексное число запишется следующим образом
Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 4. Оператор вращения. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Таким образом видно, что мгновенные значения синусоидального тока и напряжения похожи на мнимую часть вращающегося комплексного числа:
Рисунок 5. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
где, Im - комплексная амплитуда тока; Um - комплексная амплитуда напряжения.
Допустим, что
$i(t)=5sin(wt + 30)$
Тогда максимальное значение в комплексной форме будет выглядеть следующим образом
Рисунок 6. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Действующее значение в комплексной форме можно записать так:
Рисунок 7. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Если
Рисунок 8. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
То мгновенное значение можно записать в следующем виде:
Рисунок 9. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Получается, что мгновенные реальные значения синусоидального тока и напряжения могут быть заменены комплексной амплитудой или комплексным действующим значением напряжения и тока.
Расчет однофазной цепи синусоидального тока
Рассмотрим схему электрической цепи однофазного синусоидального тока, которая представлена на рисунке ниже
Рисунок 10. Схема цепи однофазного синусоидального тока. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Допустим, что нам известны следующие значения:
Рисунок 11. Формулы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В данном случае расчет будет производиться методом контурных токов. Значение контурного тока I22 принимается равным значению источника тока J1, уравнение для контурного тока I11 будет выглядеть следующим образом:
$I11 * (R3 + jx2) - I22 * jx2 = E3$
Отсюда
$I11 = (I22jx2 – E3) / (R3 + jx2) = (j1 *j10 – j10) / (10 + j10) = –1 \ A$
Ток в третьей ветви рассматриваемой цепи равен контурному току I11, который в показательной форме комплексного числа будет выглядеть следующим образом:
Рисунок 12. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Электрический ток во второй ветви цепи представляет собой алгебраическую сумму контурных токов, проходящих через эту ветвь:
Рисунок 13. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Полная мощность приемников может быть рассчитана следующим образом:
$Sпр = Рпр + Qпр$
где: Р - активная мощность приемников; Q - реактивная мощность приемников
Для расчета активной мощности рассматриваемой электрической цепи используется следующая формула:
Рисунок 14. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Реактивная мощность может быть определена следующим образом:
Рисунок 15. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Таким образом, полная мощность, выделяемая источниками в схему определяется по формуле:
Рисунок 16. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рассмотрим схему на рисунке ниже
Рисунок 17. Схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Нам известны следующие величины:
- U(t) = 10sin(wt+90)
- R1 = 2 Ом
- х1 = 2 Ом
- R2 = 2 Ом
- R3 = 2 Ом
- х3 = 4 Ом
Нам необходимо рассчитать I1 в неразветвленной части выше представленной схемы.
Функция времени U(t) = 10sin(wt + 90) в виде показательной комплексного числа будет выглядеть следующим образом:
Рисунок 18. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Сначала необходимо рассчитать входное сопротивление рассматриваемой схемы относительно зажимов источника напряжения:
$Z = R1 + x1 + (R2 * (R3 – jx3)) / (R2 + R3 + jx3) = 2 + j2 + ((4 – j8) / 4 – j4)) = 2 + j2 + ((4 – j8) * (4 + j4)) / 16 + 16 = 2 + j2 + ((16 – j32 + j16 + 32) / 16 + 16) = 2 + j2 + ((48 – j16) / 32) = 2 + j2 + 1.5 – j0.5 = 3.5 – j1.5$
Теперь можно рассчитать ток I1 по закону Ома
Рисунок 19. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рассмотрим схему на рисунке ниже
Рисунок 20. Схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Известны следующие значения
Рисунок 21. значения. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Необходимо определить напряжение U31
Принимаем за базисный узел - первый, то есть ф1 = 0. Потенциалы второго и четвертого узлов рассматриваемой схемы определяются следующим образом:
$ф2 = Е5$
$ф4 = –Е4$
Уравнение для третьего потенциала будет выглядеть следующим образом:
$ф3 * ((1 / –jx2) + (1 / (R3 – jx3))) – ф2 * (1 / (R3 + jx3)) + ф4 * (1 / –jx2) = –J1$
Если мы подставим в получившееся уравнение численные значения, то получим:
Рисунок 22. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Из последнего выражения можно выразить потенциал третьего узла
Рисунок 23. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Так как ф3 = U31, то мгновенное значение напряжения можно записать следующим образом:
Рисунок 24. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
