Расчет частотной и переходной характеристик электрической цепи

Назначение и виды электрических цепей

Большинство электрических цепей предназначены для передачи сигналов в нагрузку от источника. Электрические колебания, которые создаются на входе цепи называются входным воздействием — x(t). Сигнал, которые образуется на выходе электрической сети называют откликом или выходным сигналом — y (t). Связь между выходным и входным сигналами можно выразить следующим выражением:

$y(t) = Fx((t)a, b, c, …)$

Получается, что отклик зависит от воздействия, параметров элементов цепи (a,b,c), а также ее схемы. При гармоническом воздействии используются комплексные амплитуды, вместо значений сигналов, то есть x(t) – Xm, y(t) – Ym, а уравнение будет иметь следующий вид:

$Ym = H(a, b, c) Xm$

где, Н (a, b, c) – параметр электрической цепи, который зависит от элементов цепи и схемы их соединения, представляющий собой комплексную величину.

В зависимости от числа полюсов (выводов) все электрические цепи делятся на двухполюсники, четырехполюсники или многополюсники. Основными параметрами двухполюсников являются комплексное сопротивление и комплексная проводимость. Параметры четырехполюсника делятся на четыре группы: входные (комплексные входные сопротивление и проводимость), передаточные (характеризуют передачу сигналов четырехполюсника в прямом направлении), выходные (выходные сопротивление и проводимость), параметры обратной передачи (характеризуют передачу сигналов в обратном направлении).

Расчет частотных характеристик

В основе расчета частотной характеристики электрической цепи лежит метод комплексных амплитуд. Для простых электрических цепей частотная характеристика может быть найдена по законам Кирхгофа и Ома. Для сложных цепей применяются методы узловых потенциалов, контурных токов, эквивалентных преобразований и другие. Порядок применения метода комплексных амплитуд следующий.

Гармонические напряжения токи (x(t) = Xm cos(wt-фх) всех ветвей меняют на их комплексные амплитуды:

Рисунок 1. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

От исходной схемы элементов цепи (R, L, C) переходят к комплексной схеме замещения, то есть:

ZR = R; ZL = jwL; ZC = 1 / (jwC).

Затем составляется уравнение электрического равновесия цепи для комплексных изображений напряжений и токов при помощи законов Кирхгофа и Ома, а также другими способами.

Затем уравнение решается относительно комплексных амплитуд искомых напряжений и токов.

Для того, чтобы найти комплексную частотную характеристику цепи записывают отношение комплексной амплитуды отклика к комплексной амплитуде воздействия.

Далее переходят от комплексных амплитуд к гармоническим функциям времени.

Например, для цепи второго порядка комплексную частотную характеристику можно записать в следующем виде:

Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где, H(jw) – амплитудно-частотная характеристика.

Если в числителе и знаменателе выделить мнимые и действительные части и привести подобные члены, то амплитудно-частотная характеристика записывается в показательной форме

Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Откуда получают выражения для расчета фазо-частотной и амплитудно- частотной характеристик.

Рисунок 4. Формулы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Методы расчета переходной характеристики. Расчет переходной характеристики по передаточной функции

Переходные характеристики в зависимости от типа реакции и воздействия могут быть следующих видов:

• По сопротивлению.
• По току.
• По проводимости.
• По напряжению.

Размерность переходной характеристики зависит от отношения размерности реакции к размерности воздействия. Таким образом по сопротивлению размерность переходной характеристики будет измеряться в Омах, по проводимости в Сименсах, а по току и напряжения будет являться безразмерной величиной. Для расчет переходной характеристики могут применяться следующие методы: практический метод, заключающийся в наблюдении за импульсом на осциллографе; классический метод, который заключается в подключении соответствующего источника через ключ и определении реакции напряжения или тока; операторный метод, заключающийся в определении операторной реакции и нахождении функции времени по операторному коэффициенту передачи.

Допустим, что задана передаточная функция динамического звена, имеющая следующий вид:

Рисунок 5. Функция. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В этом случае переходную характеристику можно рассчитать по формуле:

Рисунок 6. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для определения переходной характеристики в этом случае используется разложение передаточной функции W(p) на сумму простых дробей, то есть:

Рисунок 7. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Корни уравнения равны:

р1 = -1; р2 = -4; р3 = 0

А коэффициенты К1, К2 и К3:

Рисунок 8. Коэффициенты. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Затем в формулу для нахождения переходной характеристики подставляем значения К1, К2, К3, р1 и р2 и получаем:

Рисунок 9. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для того, чтобы найти обратное преобразование Лапласа для данной функции используется следующее выражение:

Рисунок 10. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где, а и b — некоторые константы.

Получается, что:

Рисунок 11. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

График найденной переходной характеристики будет выглядеть следующим образом:

Рисунок 12. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ