Свойства передаточных функций
Передаточная функция – это способ математического описания динамической системы.
Передаточная функция в основном используется в цифровой обработке сигналов, а также в теории управления. Она представляет собой дифференциальный оператор, который выражает связь между выходом и входом линейной стационарной системы. Если известны передаточная функция и входной сигнал системы, то можно восстановить выходной сигнал. В теории управления передаточная функция непрерывной системы является отношением преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.
Преобразование Лапласа – это интегральное преобразование, которое связывает между собой функцию комплексного переменного с функцией вещественного переменного.
Статья: Передаточная функция
Передаточная функция какой-либо системы определяет все ее динамические свойства, таким образом первоочередная задача расчета системы управления сводится к определению ее передаточной функции. К основным свойствам передаточных функций относятся:
- Импульсная переходная функция представляет собой оригинал для передаточной функции.
- В физически реализуемых системах порядок полинома числителя передаточной функции не может быть больше порядка полинома ее знаменателя.
- Числитель и знаменатель передаточной функции представляют собой характеристические полиномы дифференциального уравнения перемещения линейной системы. Полюса передаточной функции являются корнями характеристического полинома знаменателя, а нули корни характеристического полинома числителя.
- Для систем с неизменяемыми параметрами компонентов и с сосредоточенными параметрами передаточная функция представляет собой дробно-рациональную функцию
Передаточная функция электрической цепи. Пример решения задач
Передаточная функция линейной электрической цепи представляет собой отношение электрической выходной величины к входному воздействию, которые выражены в операторной форме и рассматриваются при нулевых начальных условиях, таким образом выражение передаточной функции выглядит следующим образом:
$Н(р) = F2(p) / F1(p)$
где: F2 - выходная электрическая величина; F1 - входное воздействие.
Различают следующие основные виды передаточных функций для электрических цепей:
- Безразмерная (по напряжению) передаточная функция.
- Фазо-частотная характеристика.
- Амплитудно-частотная характеристика.
Общий вид передаточной функции по напряжению, которая очень часто используется для анализа электрических цепей частотными методами, следующий:
$H(jw) = F2(jw)/F1(jw)$
Рассмотрим схему электрической цепи, которая представлена на рисунке ниже:
Рисунок 1. Схема цепи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В комплексном виде передаточная функция для нее будет выглядеть следующим образом:
Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В вышеприведенном выражении модуль:
$|Hu(jw)|=Hu(w)=U2(w) / U1(w)$
Рассмотрим схему, которая представлена на рисунке ниже
Рисунок 3. Схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Необходимо определить коэффициент передачи по напряжению, а также амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики для вышеприведенной цепи. Для нее формула для расчета коэффициента передачи по напряжению будет иметь следующий вид:
$Hu(jw) = U2(jw) / U1(jw)$
Выражение комплексной функции U2(jw) будет иметь следующий вид:
$U2 = I(jw)*(1/jwC)=U1(jw) / (R+(1/jwC)) * 1/jwC = U1(jw) / (1+(jwRC)$
Если мы подставим формулу для U2 в выражение для Hu(jw), то получим комплексную передаточную функцию следующего вида:
$Hu(jw) = 1/(1+jwR*C)$
Таким образом амплитудно-частотную характеристику рассматриваемой цепи можно выразить:
Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Фазо-частотная характеристика определяется по формуле:
$фu = -arctgwR*C$
Если изменять частоту (w) от 0 до определенного значения, можно изобразить графики фазо-частотной и амплитудно-частотной характеристик.
Рисунок 5. Графики. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики могут быть представлены единым графиком, если построить зависимость комплексной передаточной функции от частоты w на комплексной плоскости. В данном случае конец вектора передаточной функции будет описывать кривую, называемую годографом комплексной передаточной функции.
Рисунок 6. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В некоторых случаях оперируют таким понятием, как логарифмическая амплитудно-частотная характеристика
$К =20lgН(w)$
