Сущность парадокса Бертрана
Некоторые задачи по теории вероятности требуют геометрического подхода, например, попадание орудия в мишень. В таких задачах предполагается, что все случайные точки распределены равномерно на некоторой области. Степень вероятности попадания в произвольную часть данной области пропорциональна площади, т.е. объему или длине. Из-за таких вероятностей возникает ряд парадоксов. К примеру, шансы попадания в центр мишени равны нулю. Но с другой стороны, в эту точку можно попасть. Из этого следует, что необходимо различать события, которые происходят с нулевой вероятностью, и невозможные события.
Парадокс Бертрана является проблемой классического определения теории вероятностей. Ж. Бертран описал данный парадокс в своей работе как пример того, что невозможно четко определить вероятность, пока не выбран метод или механизм определения случайной величины.
Для заданной окружности выбирается хорда случайным образом. Необходимо определить вероятность того, что данная хорда длиннее, чем сторона правильного треугольника, который вписан в окружность. Согласно парадоксу, такая вероятность определяется неоднозначно, поскольку различные методы дают разные результаты. Бертран рассмотрел три метода решения, которые описаны ниже (рисунок 1).
Рисунок 1. Методы решения в парадоксе Бертрана. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
Первый метод. В круге случайным образом выбирается точка. Данная точка определяет одну единственную хорду, для которой она является серединой. Эта хорда будет длиннее стороны правильного треугольника только в том случае, если ее середина расположена внутри круга, который вписан в треугольник. Радиус такого круга равняется 1/2 радиуса исходного, таким образом, площадь вписанного круга равна 1/4 исходного. Из этого следует, что вероятность нахождения внутри вписанного круга случайно выбранной точки равна 1/4.
Второй метод. По соображениям симметрии считается, что один конец хорды – это фиксированная произвольная точка, расположенная на окружности. Пускай такой точкой будет вершина треугольника, вписанного в окружность. Другой конец хорды выбирается случайно. Вершины треугольника разделяют окружность на три одинаковые дуги, а случайная хода будет длиннее стороны треугольника только в том случае, если пересекает данный треугольник. Таким образом, искомая вероятность равна 1/3.
Третий метод. Равномерно и случайным образом выбирается точка на радиусе окружности, а хорда располагается перпендикулярно данному радиусу и проходит через определенную нами точку. В этом случае случайная хорда будет длиннее стороны треугольника, вписанного в круг, если случайная точка находится на половине радиуса, расположенной ближе к центру. По соображениям симметрии не имеет значения, какой радиус выбран для построения, а искомая вероятность равняется 1/2.
С одной стороны, рассуждения во всех трех рассмотренных случаях верны, но при этом вероятность одного и того же события разная. Это объясняется тем, что рассматривались три совершенно разные задачи, т.е. мерой в трех случаях были различные множества:
- В первом методе мерой множества являлась площадь, на которой располагались рассматриваемые точки, и вычислялось отношение этих двух площадей.
- Во втором методе мерой множества точек, которые попадали в определенный угол, была величина соответствующего угла, а вычислялось отношение двух углов.
- В третьем же методе хорда «перемещалась» по диаметру и, рассматривая отрезок в качестве меры множества точек, расположенных на нем, вычислялось отношение длины этих отрезков.
Классическое решение и решение Джейнса
Классическое решение зависит от метода, с помощью которого выбрана хорда. Когда метод выбора задан, только тогда у проблемы есть четкое определенное решение. Методы выбора не уникальны, поэтому единственного решения не существует. Три решения, которые были представлены Бертраном, соответствовали различным методам выбора, а отсутствие дополнительных данных не является основанием выбора какого-либо одного метода.
Э. Джейнс в своей работе предложил метод решения парадокса Бертрана, который бал основан на принципе неопределенности: не обязательно использовать данные, которые не даны по условию. Джейнс заметил, что в проблеме Бертрана положение или размер круга не задается, поэтому утверждал, что в данном случае любые объективные и точные решения не должны зависеть от размера и положения.
Парадокс Бертрана в экономике
В коммерции и экономике парадокс Бертрана описывает ситуацию, когда два игрока достигают равновесия Нэша. Другими словами, две фирмы устанавливают цену, которая равна предельным издержкам.
Основой парадокса Бертрана является предпосылка, которая состоит в том, что моделях, подобных модели конкуренции Курно, увеличение количества предприятий связано с приближением цен к величине предельных издержек. В данных моделях парадокс Бертрана существует в олигополии небольшого числа предприятий, которые имеют положительную прибыль, устанавливая цены выше себестоимости.
Например, два предприятия А и В продают однородную продукцию, у каждого из которых одинаковая стоимость производства, а также распределения. Таким образом, покупатели отдают предпочтение тому или иному товару, основываясь только на его стоимости. Это значит, что спрос будет бесконечно эластичным по стоимости. Ни предприятие А, ни В не установят более высокую стоимость, чем другие, так как это станет причиной нарушения парадокса Бертрана.
Также может присутствовать и дополнительное равновесие в парадоксе Бертрана при смешанной стратегии и положительной экономической прибыли, если монопольная сумма бесконечна. При конечной прибыли невозможна положительная прибавка, поскольку существует ценовая конкуренция.
На реальной жизни парадокс Бертрана довольно редко встречается, так как продукты в большинстве случаев дифференцируются другим способом, помимо цены. У фирм имеются ограничения на собственные возможности по производству продукции и ее распространению. Поэтому у двух схожих предприятий редко наблюдаются одинаковые затраты.
